Algoritmuselmélet - Vizsga, 2013.05.30. forrásának megtekintése

{{Vissza|Algoritmuselmélet}}

==2013.06.06. vizsga megoldásai==
===1. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===2. Feladat (Van megoldás)===
Adja meg a 2-3 fa definícióját! Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

'''Adja meg a 2-3 fa definícióját!'''
*Elemeket csak a levelekben tárolunk.
*Az elemek balról jobbra növekvő sorrendben állnak. 
*Minden belső csúcsnak 2, vagy 3 fia lehet, se több, se kevesebb. ''(Kivéve, ha csak 1 elemet tárolunk a fában, mert akkor a gyökérnek csak 1 fia van.)''
*A fa levelei a gyökértől egyenlő távolságra vannak (vagyis a levelek 1 szinten vannak).
*A belső csúcsokban mutatókat (M) és 1, vagy 2 kulcsot (S) tárolunk.
**Ha a csúcsnak 2 fia van, akkor 2 mutatót, és egy kulcsot tárol. [[File:2_3_2.png|300px]]
***A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
***A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1).
**Ha a csúcsnak 3 fia van, akkor 3 mutatót, és 2 kulcsot tárol. [[File:2_3_3.png|400px]]
***A bal részfában az elemek kisebbek, mint S1.
***A középső részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S1 (vagyis az 1. elem S1), de kisebbek, mint S2.
***A jobb részfában az elemek nagyobb-egyenlőek, mint S2 (vagyis az 1. elem S2). 
:::::::::::::::::[[File:2_3_pelda.PNG|400px]]

'''Adjon felső becslést a fa szintszámára n tárolt elem esetén, állítását bizonyítsa is!'''

<math>log_2n+1\leq m \leq log_3n+1</math>, ahol <math>m</math> a fa szintszáma.

''Bizonyítás:''
*<math>log_2n+1\leq m</math>
**Minden belső csúcsnak legalább 2 fia van, így az <math>i.</math> szinten legalább <math>2^{i-1}</math> csúcs van, tehát: <math>2^{m-1} \geq n \Rightarrow m-1 \geq log_2n \Rightarrow m \geq log_2n+1</math>
*<math>m\leq log_3n+1</math>
**Minden belső csúcsnak maximum 3 fia van, így az <math>i.</math> szinten maximum <math>3^{i-1}</math> csúcs van, tehát: <math>3^{m-1} \leq n \Rightarrow m-1 \leq log_3n \Rightarrow m \leq log_3n+1</math>
}}

===3. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===4. Feladat (Van megoldás)===
Van egy tábla <math> (n</math> <big>x</big> <math>m</math> kockákból álló<math> ) </math>. Az <math> A </math> <math> n</math> <big>x</big> <math>m</math>-es mátrixban adott, hogy az egyes kockákban hány mogyoró van (a mogyorók nem lógnak át egyik kockából a másikba). Két gyerek akar osztozkodni a csokin, úgy, hogy a csokit kéfelé törik (egyenes vonal mentén, párhuzamosan a tábla valamelyik szélével). Egy osztkozkodás igazságtalansági faktorát a következőképpen kaphatjuk: ha az egyik darabban <math> k_1 </math> kocka csoki, és <math> m_1 </math> darab mogyoró van, a másikban pedig <math> k_2 </math> kocka csoki és <math> m_2 </math> darab mogyoró, akkor az igazságtalansági faktor <math> \left | \left ( k_1+m_1 \right ) -(k_2+m_2)\right | </math>. Adjon <math> O(nm) </math> lépést használó algoritmust, ami eldönti, hogy melyik szétosztásnak a legkisebb az igazságtalansági faktora. (Egy lépésnek számít, ha kiolvasunk egy értéket az <math> A </math> mátrixból vagy ha összeadást, illetve kivonást hajtunk végre két számon.)

{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=
[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_csoki.PNG|200px]]
*Hozzunk létre egy <math> n </math> elemű <math> TN </math> tömböt, ahol az <math> i. </math> cellában az szerepel, hogy az <math> A </math> mátrix annyiadik oszlopában mennyi a <math> k+m </math>. ''(ez <math> n*m </math> kiolvasás, és <math> n*(m-1) </math> összeadás, vagyis <math> \Rightarrow O(nm) </math>.
*Hozzunk létre egy <math> m </math> elemű <math> TM </math> tömböt, ahol az <math> i. </math> cellában az szerepel, hogy az <math> A </math> mátrix annyiadik sorában mennyi a <math> k+m </math>. ''(ez <math> m*n </math> kiolvasás, és <math> m*(n-1) </math> összeadás, vagyis <math> \Rightarrow O(nm) </math>.
[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_tn_tm.PNG|200px]]
*Hozzunk létre egy <math> (n-1) </math> x <math> 2 </math>-es <math> N </math> tömböt, ahol az 1. sorban balról jobbra nézzük, mennyi a <math> k+m </math>, a 2. sorban pedig jobbról balra. ''<math>(</math>1. sor a <math> (k_1+m_1) </math>, 2. sor pedig a hozzá tartozó  <math> (k_2+m_2) .)</math>
**<math>N[1,1]= TN[1] </math> majd <math>N[i,1]= N[i-1,1]+TN[i] , i=2...(n-1)</math>.
**<math>N[1,2]= \sum_{i=2}^{n}TN[i] </math> majd <math>N[i,2]= N[i-1,2]-TN[i] , i=2...(n-1)</math>.
*Hozzunk létre egy <math> (m-1) </math> x <math> 2 </math>-es <math> M </math> tömböt, ahol az 1. sorban fentről lefele nézzük, mennyi a <math> k+m </math>, a 2. sorban pedig alulról felfele. ''<math>(</math>1. sor a <math> (k_1+m_1) </math>, 2. sor pedig a hozzá tartozó <math> (k_2+m_2) .)</math>
**<math>M[1,1]= TM[1] </math> majd <math>M[i,1]= M[i-1,1]+TM[i] , i=2...(m-1)</math>.
**<math>M[1,2]= \sum_{i=2}^{m}TM[i] </math> majd <math>M[i,2]= M[i-1,2]-TM[i] , i=2...(m-1)</math>.
[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_N_M.PNG|200px]]
*Az <math> N </math> és <math> M </math> tömbök létrehozása <math> O(n) </math> és <math> O(m) </math> lépést igényel.
*Nincs is más dolgunk, mint végigmenni az <math> N </math> és <math> M </math> tömbökön úgy, hogy az <math> i. </math> oszlopban vesszük a 2 szám különbségének abszolút értékét, vagyis az igazságtalansági faktort számoljuk, és mindig elmentjük egy változóba a minimumot, és a ehhez tartozó törésvonalat. Ez is <math> O(n) </math> és <math> O(m) </math> lépés.
*Összesen tehát <math> O(nm)+O(nm)+O(n)+O(m)+O(n)+O(m)=O(nm) </math> lépéssel megoldottuk a feladatot.
:::::[[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_1.PNG|400px]]              [[File:algel_vizsga1_2013tavasz_4_2.PNG|400px]]

}}

===5. Feladat (Van megoldás)===
Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy <math> T(n) = T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)</math> és tudjuk azt is, hogy <math> T(1)=T(2)=T(3)=1</math>. Bizonyítsa be, hogy <math> T(n)=O(n^2)</math>.
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

Van olyan <math> c > 0</math> és <math> n_0</math>, hogy <math> n>n_0</math> esetén 
<math> T(n)=T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+O(n^2) \leq T\left(\left \lfloor  \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+cn^2 \leq T\left(\left \lfloor  \frac{n}{16} \right \rfloor\right)+c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)\right) \leq T\left(\left \lfloor  \frac{n}{64} \right \rfloor\right) + c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)+\left(\frac{n^2}{16^2} \right)\right) \leq \dots </math>
<math> \dots \leq 1+cn^2\cdot\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{16}  \right )^i\right)</math>

Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:<br>
<math>\sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} </math>, ahol <math> k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = \frac{1}{16}</math>, vagyis <math>\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}}</math><br>

<math>\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}} < 2 ,</math><big>ha</big> <math> n \geq 1</math> ''(A lényeg, hogy felülről becsüljük!)''

Tehát <math> T(n) = \dots \leq 1+2 \cdot cn^2=O(n^2)</math>

}}

===6. Feladat===
Egy ország ''n'' kis szigetből áll. Szeretnénk néhány hajójáratot indítani a szigetek között úgy, hogy bárhonnan bárhova el lehessen jutni (esetleg átszállással). Ehhez ismerjük bármely két szigetre, hogy mennyibe kerül egy évben a hajójárat fenntartása közöttük, illetve azt, hogy mekkora az itt várható éves bevétel. Adjon algoritmust, ami ezen adatok ismeretében <math>O(n^2)</math> időben meghatározza, hogy hol indítsuk el a hajójáratokat, ha a lehető legnagyobb várható éves hasznot (vagy a lehető legkisebb veszteséget) szeretnénk elérni. (Egy szigeten egy hajóállomás van csak).
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===7. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

===8. Feladat===
TODO
{{Rejtett
|mutatott=<big>'''Megoldás'''</big>
|szöveg=

TODO
}}

[[Kategória:Infoalap]]