Matematika A3 - Differenciálegyenlet-rendszerek
Tartalomjegyzék
Homogén differenciálegyenlet-rendszerek
Definíció
Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével.
[math] \underline{x}'(t) = \underline{\underline{A}} \underline{x}(t) [/math]
[math] \Updownarrow [/math]
[math] x_1' = A_{11} x_1 + A_{12} x_2 [/math]
[math] x_2' = A_{21} x_1 + A_{22} x_2 [/math]
Példa
[math] x_1' = x_1 + 2x_2 [/math]
[math] x_2' = 2x_1 + x_2 [/math]
Kezdeti feltételek:
[math] x_1(0) = 1 [/math]
[math] x_2(0) = -1 [/math]
A probléma kétféleképpen oldható meg: analitikusan és Laplace-transzformáció segítségével.
Az analitikus megoldás
A megoldás általános alakja
[math] x_{ha} = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{k} [/math]
ahol [math] \underline{\underline{\Phi}} [/math] az alaprendszer mátrixa, [math] \underline{k} [/math] pedig egy konstans vektor.
[math] \underline{\underline{\Phi}}(t) = \left[ \begin{array}{rr} \underline{s}_1 e^{\lambda_1 t} & \underline{s}_2 e^{\lambda_2 t} \\ \end{array} \right] [/math]
ahol [math] \lambda_i [/math]-k [math] \underline{\underline{A}} [/math] sajátértékei, [math] \underline{s}_i [/math]-k pedig az i. sajátértékhez tartozó sajátvektorok.
A fenti példa analitikus megoldása
[math] x_1' = x_1 + 2x_2 [/math]
[math] x_2' = 2x_1 + x_2 [/math]
[math] \Updownarrow [/math]
[math] \underline{\underline{A}} = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] [/math]
Sajátértékek kiszámítása:
[math] \det(\underline{\underline{A}} - \lambda \underline{\underline{I}}) = 0 [/math]
[math] \Downarrow [/math]
[math] \left| \begin{array}{rr} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{array} \right| = \left( 1-\lambda \right)^2 -2^2 = 0 [/math]
[math] \Downarrow [/math]
[math] \lambda_1 = 3 \;\;\;\;\; \lambda_2=-1 [/math]
A [math] \lambda_1 [/math]-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:
[math] \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_1 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_1 = 0 [/math]
[math] \left[ \begin{array}{rr} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{11} \\ s_{12} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] [/math]
[math]-2s_{11} + 2 s_{12} =0[/math]
[math]2s_{11} - 2 s_{12} =0[/math]
[math] \Updownarrow [/math]
[math] s_{11} = s_{12} \Rightarrow \; Legyen: \; \underline{s}_1 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ 1 \end{array} \right] [/math]
A [math] \lambda_2 [/math]-hez tartozó sajátvektor kiszámítása:
[math] \left( \underline{\underline{A}} - \lambda_2 \underline{\underline{I}} \right) \underline{s}_2 = 0 [/math]
[math] \left[ \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} s_{21} \\ s_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right] [/math]
[math]2s_{21} + 2 s_{22} =0[/math]
[math]2s_{21} + 2 s_{22} =0[/math]
[math] \Updownarrow [/math]
[math] s_{21} = -s_{22} \Rightarrow \; Legyen: \; \underline{s}_2 = \left[ \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right] [/math]
Tehát az alaprendszer mátrixa:
[math] \underline{\underline{\Phi}}(t) = \left[ \begin{array}{rr} e^{3t} & e^{-t} \\ e^{3t} & -e^{-t} \end{array} \right] [/math]
Tehát a homogén, általános megoldás:
[math] \underline{x}_{ha}(t) = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{k} [/math]
[math] \Downarrow [/math]
[math] x_{ha1}(t) = k_1 e^{3t} + k_2 e^{-t} [/math]
[math] x_{ha2}(t) = k_1 e^{3t} - k_2 e^{-t} [/math]
Kezdeti feltételek érvényesítése:
[math] x_1(0) = 1 \Rightarrow k_1 + k_2 = 1 [/math]
[math] x_2(0) = -1 \Rightarrow k_1 - k_2 = -1 [/math]
[math] \Downarrow [/math]
[math] k_1 = 0 \Rightarrow k_2 = 1 [/math]
[math] \Downarrow [/math]
[math] x_{ha1}(t) = e^{-t} [/math]
[math] x_{ha2}(t) = - e^{-t} [/math]
Megoldás Laplace-transzformációval
A megoldás általános alakja
Ha adott egy differenciálegyenlet(-rendszer), ahol ismertek a kezdeti feltételek, akkor alkalmazható a Laplace-transzformációs megoldás: az egyenlet(rendszer) minden elemére alkalmazzuk a Laplace-transzformációt, ezáltal egy egyszerű algebrai egyenlet(rendszer)hez jutunk. Ezt megoldjuk, majd a megoldást visszatranszformáljuk.
Fontosabb Laplace-transzformáltak
A Laplace-transzformált jelölése: [math] \displaystyle\mathcal{L} \left\{ f(t) \right\} = F(s) [/math]
| [math] f(t) [/math] | [math] F(s) [/math] |
| [math] 0 [/math] | [math] 0 [/math] |
| [math] t^n [/math] | [math] \frac{n!}{s^{n+1}} [/math] |
| [math] e^{at} [/math] | [math] \frac{1}{s-a} [/math] |
| [math] \sin(\alpha t) [/math] | [math] \frac{\alpha}{s^2 + \alpha^2} [/math] |
| [math] \cos(\alpha t) [/math] | [math] \frac{s}{s^2 + \alpha^2} [/math] |
| [math] f'(t) [/math] | [math] sF(s) - f(0) [/math] |
| [math] \int f(t) dt [/math] | [math] \frac{F(s)}{s} [/math] |
| [math] f(t-t_0) [/math] | [math] e^{-t_0 s} F(s) [/math] |
| [math] e^{-\alpha t} f(t) [/math] | [math] F(s+\alpha) [/math] |
A fenti példa megoldása Laplace-transzformáció segítségével
[math] x_1' = x_1 + 2x_2 [/math]
[math] x_2' = 2x_1 + x_2 [/math]
Kezdeti feltételek:
[math] x_1(0) = 1 [/math]
[math] x_2(0) = -1 [/math]
A Laplace-transzformáció után a következő egyenletrendszer adódik:
[math] sX_1 -1 = X_1 + 2X_2 \Rightarrow X_1(s-1) = 1+2X_2 \Rightarrow \underbrace{X_1 = \frac{2X_2 + 1}{s-1}}_{\searrow} [/math]
[math] sX_2 +1 = 2X_1 + X_2 \Rightarrow 1+X_2(s-1) = 2X_1 \Rightarrow X_2(s-1) = 2 \frac{2X_2 + 1}{s-1} -1 [/math]
[math] X_2(s-1) = 2 \frac{2X_2 + 1}{s-1} -1 [/math]
[math] X_2(s-1)^2 = 4X_2 + 2 - (s-1) [/math]
[math] X_2 \left[ (s-1)^2 -4 \right] = 2 - (s-1) [/math]
[math] X_2 = \frac{2 - (s-1)}{(s-1)^2 -4} = \frac{3-s}{s^2 -2s -3} = \frac{-(s-3)}{(s-3)(s+1)} = -\frac{1}{s+1} [/math]
[math] \displaystyle\mathcal{L}^{-1} \left\{ -\frac{1}{s+1} \right\} = x_2(t) = -e^{-t} [/math]
Ezt visszahelyettesítve az eredeti első egyenletbe:
[math] X_1(s-1) = 1 -2 \frac{1}{s+1} [/math]
[math] X_1 = \frac{1}{s-1} - \frac{2}{s-1} \frac{1}{s+1} = \frac{s+1}{(s+1)(s-1)} - \frac{2}{(s+1)(s-1)} = \frac{s+1-2}{(s+1)(s-1)} = \frac{s-1}{(s+1)(s-1)} = \frac{1}{s+1} [/math]
[math] \displaystyle\mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s+1} \right\} = x_1(t) = e^{-t} [/math]
Visszakaptuk az analitikus módszerrel nyert megoldásainkat.
Inhomogén differenciálegyenlet-rendszerek
Definíció
Olyan egyenletrendszer, mely a változóinak deriváltjait megadja a változóinak konstans-szorosának összegével, valamint további időfüggvényekkel.
[math] \underline{x}'(t) = \underline{\underline{A}} \underline{x}(t) + \underline{b}(t) [/math]
[math] \Updownarrow [/math]
[math] x_1' = A_{11} x_1 + A_{12} x_2 + b_{1}(t) [/math]
[math] x_2' = A_{21} x_1 + A_{22} x_2 + b_{2}(t) [/math]
A megoldás általános alakja
Differenciálegyenlet-rendszerek esetében is az inhomogén általános megoldást a homogén általános megoldás és az inhomogén egyenletrendszer egy partikuláris megoldásának összege adja.
[math] \underline{x}_{ia}(t) = \underline{x}_{ha}(t) + \underline{x}_{ip}(t) [/math]
A homogén, általános megoldás megkeresésének két módja fent látható. Az inhomogén partikuláris megoldás megtalálására alkalmas pedig az úgynevezett állandók variálásának módszere. Azért hívják ennek, mert látszólag ugyanúgy kell elkezdeni, mint a homogén rendszer megoldását, csak a konstansok helyett t-től függő függvényekkel ([math] c_i(t) [/math]) kell megszorozni a változók oszlopvektorait.
[math] \underline{x}_{ip} = c_1(t) \underline{x}_1 + c_2(t) \underline{x}_2 = \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{c}(t) [/math]
Ezt behelyettesítve az eredeti egyenletrendszerbe, azt nyerjük, hogy:
[math] \underline{\underline{\Phi}}(t) \underline{c}'(t) = \underline{b}(t) [/math]
Innen, tehát, _c_ deriváltja meghatározható úgy, mint:
[math] \underline{c}'(t) = \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) [/math]
Tehát _c_:
[math] \underline{c}(t) = \int \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) dt [/math]
Tehát, az inhomogén, partikuláris megoldás:
[math] \underline{x}_{ip}(t) = \underline{\underline{\Phi}}(t) \int \underline{\underline{\Phi}}^{-1}(t) \underline{b}(t) dt [/math]
