Matematika A2a - Vektorfüggvények - Vizsga, 2008.06.04.

A VIK Wikiből
A nyomtatható változat már nem támogatott, és hibásan jelenhet meg. Kérjük, frissítsd a böngésződ könyvjelzőit, és használd a böngésző alapértelmezett nyomtatás funkcióját.



1. feladat

Legyen , ahol . Határozza meg rangját függvényében!

Megoldás

rangja egyenlő a legnagyobb nem 0 részdetermináns méretével.

Ha , akkor , és így a mátrix rangja 3.

Ha , akkor , a mátrix rangja 2. (Található benne 2*2-es nem 0 részdetermináns.)

2. feladat

Határozza meg -on a tengely körüli -os forgatás szokásos bázisbeli mátrixának 102-edik hatványát!

Megoldás

A +15°-os elforgatás mátrixának (F) 102-edik hatványa egyenlő 102*15°-os elforgatás mátrixáéval. 102*15=1530=4*360+90. Tehát tulajdonképpen a 90°-os z körüli elforgatás mátrixát keressük, legyen ez T. Ha T-t szorozzuk a bázisvektorokkal, majd ezeket egy mátrixba pakoljuk, megkapjuk T mátrixát.

3. feladat

Deriválhatóak-e a következő függvények a megadott pontban?

(a)

(b)

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, számítsa ki a derivált értékét!

Megoldás

(a) Az y=0 síkmetszet: f(x,0)=|x|, az x=0 síkmetszet: f(0,y)=|y|. Mivel az f(x)=x| függvény nem deriválható az x=0 pontban, ez a kétváltozós függvény sem lesz deriválható a (0,0) pontban. (A függvény képe egyébként egy origó csúcsú, z tengelyű, a tengellyel 45°-os szöget bezáró palástú, felfelé nyíló kúp.)

(b)

4. feladat

Számítsa ki az értékét! (Használja ki, hogy az eredmény független az integrálás sorrendjétől!)

Megoldás

Az integrálási határok alapján ábrázoljuk a , tartományt. Mivel adott sorrendben nem tudunk integrálni, megcseréljük a sorrendet. Ehhez az kell, hogy a tartomány leírásakor x legyen független, és y függjön x-től. A tartomány ábrájából leolvashatjuk, hogy , és is leírja ezt a tartományt. Így megcserélve az integrálás sorrendjét:


Ez alakú, aminek az integrálja

5. feladat

Létezik-e olyan hatványsor, melynek határfüggvénye minden valós x-re

(a)

(b)

Azon eset(ek)ben, mely(ek)re a válasz igen, adjon meg egy ilyen hatványsort!

Megoldás
TODO

6. feladat

(a) Igaz-e egy tetszőleges -es mátrix esetén, hogy
(a1) pontosan akkor invertálható, ha oszlop és sorrangja megegyezik.
(a2) pontosan akkor invertálható, ha oszlopvektorai között van olyan, amely lineárisan független a többi oszlopvektortól.

(b) Legyen tetszőleges kétváltozós függvény, a sík tetszőleges pontja és az pont egy tetszőleges környezete. Igaz-e, hogy'
(b1) ha parciális deriváltjai folytonosak -ban, akkor deriválható -ban.
(b2) ha -ban parciális deriváltjai: és léteznek, akkor az deriváltja is létezik -ban és

(c) Legyen > 0 minden -re. Igaz-e, hogy
(c1) ha numerikus sor konvergens, akkor a is konvergens.
(c2) ha a numerikus sor konvergens, akkor a is konvergens.

Megoldás

(a1) Hamis. Csak akkor invertálható, ha mindkettő egyenlő -nel.

(a2) Hamis. Minden oszlopvektorának lineárisan függetlennek kell lennie a többitől.

(b1) Igaz. Ha a parciális deriváltak folytonosak, akkor ott a függvény folytonosan differenciálható, tehát totálisan is differenciálható.

(b2)

(c1) Hamis. Ellenpélda: .

(c2) Igaz. Bontsuk szét -t két sorozatra: a páratlan indexű, a páros indexű elemek részsorozata. Ekkor mindkettő konvergens. Ebből is konvergens, tehát is konvergens.