Matematika A3 - Magasabbrendű differenciálegyenletek

Lineáris, homogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek

Definíció

A $\sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(x)=a_{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+...+a_{1}y'(x)+a_{0}y(x)=0$ alakú egyenletek, ahol $a_{i}$-k konstansok, lineáris, homogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

A megoldás általános alakja

Írjuk fel a karakterisztikus polinomot, ami a következőképpen néz ki:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}\lambda ^{i}=a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+...+a_{1}\lambda +a_{0}=0$

Ekkor a homogén, általános megoldásra a következő állítások igazak:

1. Ha $\lambda _{i}$ gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor $e^{\lambda _{i}x}$ gyöke a differenciálegyenletnek.
2. Ha az ${e^{\lambda _{1}x};e^{\lambda _{2}x};...;e^{\lambda _{n}x}}$ megoldások, akkor ezek a pontok, mint vektorok, kifeszítik a differenciálegyenlet magterét.
3. A homogén, általános megoldás előáll a következő alakban:

• • Ha a karakterisztikus egyenletnek _n_ darab, különböző $\lambda _{i}$ megoldása van, akkor $y_{ha}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{\lambda _{i}x}=c_{1}e^{\lambda _{1}x}+c_{2}e^{\lambda _{2}x}+...+c_{n}e^{\lambda _{n}x}$
  • Ha a karakterisztikus egyenletnek $\lambda _{i}$ m-szeres multiplicitású gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepelnek a következő tagok: $e^{\lambda _{i}x};xe^{\lambda _{i}x};x^{2}e^{\lambda _{i}x};...;x^{m-1}e^{\lambda _{n}x}$
  • Ha a karakterisztikus egyenletnek $\lambda _{i}=a+jb$ komplex gyöke, akkor a homogén, általános megoldás kifejezésében mindenképpen szerepel az $e^{ax}(c_{1}\cos(bx)+c_{2}\sin(bx))$ tag, valamint szerepelnie kell továbbá a gyökök között $\lambda _{i}$ komplex konjugáltjának is.

Lineáris, inhomogén, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek

Definíció

A $\sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(x)=a_{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}y^{(n-1)}(x)+...+a_{0}y(x)=f(x)$ alakú egyenletek, ahol $a_{i}$-k konstansok, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenletek.

A megoldás általános alakja

Az inhomogén differenciálegyenlet inhomogén, általános megoldása a homogén, általános megoldás és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összege, vagyis:

$y_{ia}(x)=y_{ha}(x)+y_{ip}(x)$

Az $y_{ha}$ megtalálása $f(x)=0$ helyettesítéssel, majd a keletkező homogén egyenlet megoldásával történik. Az $y_{ip}$ pedig az $f(x)$ (_"zavarófüggvény"_) alakjában keresendő. Ebben a következő táblázat segít ($K$ -k és $C$ -k konstansok):

$f(x)$	$y_{ip}$
$Ke^{\alpha x}$	$Ce^{\alpha x}$
$Kx^{n}$	$\sum _{i=0}^{n}C_{i}x^{i}$
$K_{1}\cos(ax)$ vagy $K_{2}\sin(bx)$	$C_{1}\cos(ax)+C_{2}\sin(bx)$
$x^{n}e^{\alpha x}$	$e^{\alpha x}\sum _{i=0}^{n}C_{i}x^{i}$

A táblázat alapján meghatározott $y_{ip}$ -t helyettesítsük be az eredeti egyenletbe (értelem szerűen az _y_ helyébe), így nyerünk egy olyan egyenletet, amelyből a _C_ konstansok meghatározhatók. A következő példából világosabb lesz, hogy miről is van szó:

Példa

$y''+5y'+4y=3-2x-x^{2}$

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: $\lambda ^{2}+5\lambda +4=0$ $\Downarrow$ $\lambda _{1}=-4$ $\lambda _{2}=-1$ $\Downarrow$ $y_{ha}(x)=c_{1}e^{-4x}+c_{2}e^{-x}$

Az inhomogén, partikuláris megoldás

$y_{ip}(x)=Ax^{2}+Bx+C$ $y_{ip}'(x)=2Ax+B$ $y_{ip}''(x)=2A$

Behelyettesítve:

$2A+5(2A+B)+4(Ax^{2}+Bx+C)=3-2x-x^{2}$

Rendezgetés után,

• $x^{2}$ együtthatói: $4A=-1\Rightarrow A=-{\frac {1}{4}}$
• $x$ együtthatói: $10A+4B=-2\Rightarrow B={\frac {1}{8}}$
• Konstans tag: $2A+5B+4C=3\Rightarrow C={\frac {23}{32}}$

Tehát $y_{ip}(x)=-{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x+{\frac {23}{32}}$

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

$y_{ia}(x)=c_{1}e^{-4x}+c_{2}e^{-x}-{\frac {1}{4}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x+{\frac {23}{32}}$

Példa

$y''-6y'+13y=x+\sin(3x)$

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: $\lambda ^{2}-6\lambda +13=0$ $\Downarrow$ $\lambda _{1}=3+j2$ $\lambda _{2}=3-j2$ $\Downarrow$ $y_{ha}(x)=e^{3x}(c_{1}\cos(2x)+c_{2}\sin(2x))$

Az inhomogén, partikuláris megoldás

$y_{ip}(x)=Ax+B+C\sin(3x)+D\cos(3x)$ $y_{ip}'(x)=A+3C\cos(3x)-3D\sin(3x)$ $y_{ip}''(x)=-9C\sin(3x)-9D\cos(3x)$

A visszahelyettesítést követően $A={\frac {1}{13}};B={\frac {6}{169}};C={\frac {1}{85}};D={\frac {9}{170}}$. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

$y_{ip}(x)={\frac {x}{13}}+{\frac {6}{169}}+{\frac {\sin(3x)}{85}}+{\frac {9\cos(3x)}{170}}$

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

$y_{ia}(x)=e^{3x}(c_{1}\cos(2x)+c_{2}\sin(2x))+{\frac {x}{13}}+{\frac {6}{169}}+{\frac {\sin(3x)}{85}}+{\frac {9\cos(3x)}{170}}$

Rezonancia

Definíció

Ha a homogén, általános megoldás egyik tagja megegyezik az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának egy tagjával.

A megoldás általános alakja

A próbafüggvény megfelelő tagját meg kell szorozni x-szel.

Példa

$y''+3y'+2y=e^{x}+2e^{3x}$

A homogén, általános megoldás

Karakterisztikus egyenlet: $\lambda ^{2}+3\lambda +2=0$ $\Downarrow$ $\lambda _{1}=1$ $\lambda _{2}=2$ $\Downarrow$ $y_{ha}(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}$

Az inhomogén, partikuláris megoldás

$y_{ip}(x)=Ae^{x}+Be^{3x}$

Vegyük észre, hogy a homogén, általános megoldás és az inhomogén, partikuláris megoldás feltételezett alakjának első tagjai rezonálnak egymással! Mi történik, ha nem foglalkozunk a rezonanciával?

$y_{ip}(x)=Ae^{x}+Be^{3x}$ $y_{ip}'(x)=Ae^{x}+3Be^{3x}$ $y_{ip}''(x)=Ae^{x}+9Be^{3x}$

Behelyettesítve:

$Ae^{x}+9Be^{3x}-3Ae^{x}-9Be^{3x}+2Ae^{x}+29Be^{3x}=e^{x}+2e^{3x}$

Láthatjuk, hogy a bal oldalon az utolsó tag kivételével mindegyik kiesik, így nincs megoldás. Az inhomogén, partikuláris megoldás meghatározása helyesen:

$y_{ip}(x)=Axe^{x}+Be^{3x}$ $y_{ip}'(x)=A(xe^{x}+e^{x})+3Be^{3x}$ $y_{ip}''(x)=2Ae^{x}+Axe^{x}+9Be^{3x}$

A visszahelyettesítést követően $A=-1;B=1$. Az inhomogén, partikuláris megoldás tehát:

$y_{ip}(x)=-xe^{x}+e^{3x}$

Tehát, az inhomogén általános megoldás:

$y_{ia}(x)=c_{1}e^{x}+c_{2}e^{2x}-xe^{x}+e^{3x}$