A nyomtatható változat már nem támogatott, és hibásan jelenhet meg. Kérjük, frissítsd a böngésződ könyvjelzőit, és használd a böngésző alapértelmezett nyomtatás funkcióját.
Explicit differenciálegyenletek
A megoldás általános alakja
Tehát a megoldás:
Példa
Tehát:
Szeparabilis differenciálegyenletek
A megoldás általános alakja
Amennyiben
, akkor
Tehát a megoldás:
Példa
Tehát:
Példa
Ha
, akkor:
Tehát:
Ha pedig
, akkor:
szintén jó megoldás.
Példa
Ha
, akkor:
Mivel
, így:
Tehát:
Ha pedig
, akkor
, ami szintén kielégíti az eredeti egyenletet.
Példa
Ha
, akkor:
És, mivel
, így:
Tehát:
Ha pedig
, az is kielégíti az eredeti egyenletet.
Szeparabilisra visszavezethető differenciálegyenletek
Homogén fokszámú differenciálegyenletek
Az
elsőrendű differenciálegyenlet homogén fokszámú, ha
és
ugyanolyan fokszámú homogén függvények. Ekkor az egyenlet megoldása során mindig megtehetjük a következő helyettesítést:
Tehát igaz lesz, hogy:
Tehát az is igaz lesz, hogy:
Példa
Végezzük el a helyettesítést,
:
Ha
, akkor:
De mivel
, így:
Ha pedig
, akkor az eredeti egyenletbe helyettesítve:
is igaz.
Lineáris argumentumú differenciálegyenletek
Ha
, ahol
,
és
konstansok, bevezethető a következő helyettesítés:
Innen tehát:
Illetve:
Példa
Helyettesítéssel:
Ha
, akkor:
De, mivel
, így:
Ha pedig
, tehát az eredeti egyenletbe helyettesítve helyes eredményt ad.
Egzakt differenciálegyenletek
Egy
alakú elsőrendű differenciálegyenlet egzakt
. Ekkor
függvény, amelyre
és
. Ez az
függvény az
,
függvénypár potenciálja. Egy egzakt differenciálegyenlet általános megoldása
, ahol
.
Példa
Egzakt?
Egzakt, tehát keressük
függvényt! Mivel
, így:
Tehát:
Példa
Egzakt?
Egzakt, tehát keressük
függvényt!
Tehát:
Egzaktra visszavezethető differenciálegyenletek
Ha egy differenciálegyenlet nem egzakt, de létezik olyan
multiplikátor, hogy
már egzakt legyen, akkor ez egy egzaktra visszavezethető differenciálegyenlet.
meghatározására az alábbi három speciális eset valamelyike szolgál:
Értelmezés sikertelen (MathML SVG vagy PNG tartalékkal (modern böngészők és kisegítő eszközök számára ajánlott): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \text{Ha \textit{M} es \textit{N} azonos fokszamu homogen fuggvenyek es } M(x,y)x + N(x,y)y \neq 0 \Rightarrow m=\frac{1}{M(x,y)x + N(x,y)y} }
Példa
Egzakt?
Nem egzakt, de visszavezethető-e?
Az
-el szorzott egyenlet már egzakt?
Már egzakt! Tehát a megoldás:
Tehát:
Példa
Egzakt?
Nem, de visszavezethető?
Tegyük fel, hogy
. Az
-el szorzott egyenlet már egzakt?
Már egzakt! Tehát a megoldás:
Tehát:
Ha pedig
, az is kielégíti az eredeti egyenletet.
Kezdeti érték problémák
Amikor a differenciálegyenleten kívül meg van adva a keresett függvény egy pontbeli értéke. Ez alapján megadható egy partikuláris megoldás.
Példa
Tehát az általános megoldás:
De, mivel tudjuk, hogy
, így:
Tehát a partikuláris megoldás: