Analízis (MSc) típusfeladatok

Integrál trafók témakör

Laplace trafó diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \dot{x}(t) = 2y(t) - x(t) + 1}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \dot{y}(t) = 3y(t) - 2x(t)}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(0) = 0,~y(0) = 1}

Megoldás:

• Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját (Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle X := Laplace(x),~ Y := Laplace(y)} ):

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle sX - x(0) = 2Y - X + \frac{1}{s}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle sY - y(0) = 3Y - 2X}

• Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (s+1)X + (-2)Y = \frac{1}{s}}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (2)X + (s-3)Y = 1}

• Mátrixos alakra hozva:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{1}{s} \\ 1\end{bmatrix}}

• Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}\frac{1}{s} & -2 \\ 1 & s-3\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s+1 & -2 \\ 2 & s-3\end{bmatrix}\right)} = \frac{\frac{s-3}{s} + 2}{(s+1)(s-3)+4} = \frac{3 (s-1)}{s(s^2 - 2s + 1)} = \frac{3 (s-1)}{s(s-1)^2} = \frac{3}{s(s-1)}}

• Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \frac{A}{s} + \frac{B}{s-1} = \frac{A(s-1) + Bs}{s(s-1)} = \frac{3}{s(s-1)}}

• Együtthatókat összehasonlítva:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A + B = 0, -A = 3, \to B = 3}

• Vagyis Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle X(s) = \frac{-3}{s} + \frac{3}{s-1}}

• Tehát a táblázat alapján Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(t) = -3 + 3e^t}

---

2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \ddot{x}(t) = 2x(t) - 3y(t)}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \ddot{y}(t) = x(t) - 2y(t)}

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1}

---

3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y'' + xy' = x} differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Laplace trafó szabályok alkalmazása

1) [2016PZH] Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \lim_{x \to 0+}f'(x) = ?, ~ \lim_{x \to 0+}f''(x) = ?} ,

ha f Laplace transzformáltja, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \overline{f}(s) = \frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}}

Fourier diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y'(x) - 4y(x) = 8}

2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle y'' + xy' = x} differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) [2015ZH1] Számítsuk ki az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x) = 3xe^{-x}H(x)} Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}}

Disztribúciók

1) [2015ZH1] Adjuk meg Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta} és Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta'} lineáris kombinációjaként az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle e^{3x-2}\delta'(x)} disztribúciót!

2) [2016ZH1] Számítsuk ki a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle T = e^{-x^2}} reguláris disztribúcuó és a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta'} disztribúció konvolúciójának hatását a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \psi(x) = x^2} függvényre: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (T * \delta')x^2 = ?}

3) [2016ZH1] Mi az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (x-3)f = 0} disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

4) [2016ZH1] Adjuk meg az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle e^{3x}\delta''(x-2)} disztribúciót a Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \delta} eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

5) [2016PZH] Legyen u az Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x) = x - 3} által generált reguláris disztribúció, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \psi(x) = e^{-x^2}} . Számítsuk ki Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle (\sigma_2\tau_3\delta' * u)\psi} -t!

Wavelet trafók

1) [2015ZH1] Legyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \psi(x) = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}} , a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle f(x) = e^{-|x|}} . Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F(W_{\psi}f_a(b)) = ?}

b) Legyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle g(x) = x^2} . Tudjuk, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_{R}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}} . Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle W_{\psi}g_a(b) = ?}

2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \psi_n(x) = H(x) \frac{x-n}{n!} x^{n-1} e^{-x}}

a) Mutassuk meg, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})'} , ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x \geq 0}

b) Mutassuk meg, hogy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \int_R \psi_n(x)dx = 0}

c) Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle C_{\psi_n} = ?}

3) [2016PZH] Legyen Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \psi(x) = xe^{-|x|}, f(x) = e^{-\frac{x^2}{2}}} . Adjuk meg f Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \psi} által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=4{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(0,t)=u(3,t)=0,~u(x,0)=sin{\frac {4\pi }{3}}x,~{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=2\sin {\frac {\pi }{3}}x$

2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=9{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(x,0)=12\cos {\frac {3\pi }{5}}x,~{\frac {\partial u}{\partial x}}(0,t)=~{\frac {\partial u}{\partial x}}(5,t)=0$

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, $h={\frac {1}{2}}$ felosztás mellett adjuk meg az $u_{1,2}$ értékét, ha

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(0,t)=3,~u(3,t)=0,~u(x,0)=3-x,~{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=0$

2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha $x\in [0,5],t\geq 0$, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz $u(2,{\frac {1}{18}})$?

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=9{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(x,0)=12\cos {\frac {3\pi }{5}}x,~{\frac {\partial u}{\partial x}}(0,t)=~{\frac {\partial u}{\partial x}}(5,t)=0$

Jordan normál-forma

1) [2016ZH2] Adjuk meg az $x=Bx+b$ egyenlet megoldását, ha $B={\frac {1}{6}}{\begin{bmatrix}3&1&-2\\0&4&-2\\0&1&1\end{bmatrix}},~b={\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.$

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) [2015ZH2] Keressük a ${\sqrt {1+coshx}}-2=x$ egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

2) [2016ZH2] Tekintsük az $e^{x}-2=x$ egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

3) [2016PZH] Az $arsh2x=x$ egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?

Lagrange multiplikátor módszer

1) [2015ZH2] Keressük meg az $f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}(x,y,z>0)$ szélsőértékét az $x+2y+3z=6$ feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $3x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy$ függvénynek az $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

3) [2016PZH] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2xy-2xz$ függvénynek az $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!

Variáció számítás

1) [2015ZH2] Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\int _{-1}^{2}y'^{2}+x^{3}-2xydx$

$y(-1)={\frac {1}{6}},~y(2)={\frac {5}{3}}$

2) [2015ZH2] Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\int _{-1}^{2}y'^{3}+x^{3}-2xydx$

$y(-1)={\frac {1}{6}},~y(2)={\frac {5}{3}}$