Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

← Vissza az előző oldalra – Matematika A4 - Valószínűségszámítás

2003/04 ősz 2. ZH

1. Feladat:

Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

Megoldás

$X:$ élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq 0$

$F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq 0$

$P(x\geq 2)=0.2$

$e^{-\lambda 2}=0.2$

$-\lambda 2=ln0.2$

$\lambda =-{\frac {ln0.2}{2}}\approx 0.8$

$m={\frac {1}{\lambda }}$

$1-e^{-0.8x}={\frac {1}{2}}$

$e^{-0.8x}={\frac {1}{2}}$

$-0.8x=ln{\frac {1}{2}}$

$x={\frac {-ln{\frac {1}{2}}}{0.8}}={\frac {ln2}{0.8}}=0.86$

2. Feladat:

Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

Megoldás

$\varphi [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$

$X=\sin \varphi$

$F(x)=p(X<x)$

$P(\sin \varphi <x)=P(\varphi <\arcsin x)={\frac {\arcsin x+{\frac {\pi }{2}}}{\pi }}$

$f(x)=F(x)'={\frac {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\pi }}$

3. Feladat:

Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

Megoldás

a) Kérdés

Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót.

$X:RND1^{2}$

$Y:RND2^{3}$

$f1(x)={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\;\;\;\;\;0<x<1$

$f2(y)={\frac {1}{3}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\;\;\;\;\;0<y<1$

$f(x,y)=f1(x)f2(y)={\frac {1}{6}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\;\;\;\;\;0<x<1\;\;\;\;\;0<y<1$

$P(X>Y)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{x}{\frac {1}{6}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{y^{2}}}}\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

a) Kérdés egyszerűbben

$P(RND1^{2}>RND2^{3})=P(RND1>RND2^{\frac {3}{2}})=$

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

$y^{\frac {3}{2}}=x$

vagyis a

$y=x^{\frac {2}{3}}$

görbe alatti terület számítására.

$=\int _{0}^{1}x^{\frac {2}{3}}\mathrm {d} x=[{\frac {x^{\frac {5}{3}}}{\frac {5}{3}}}]_{0}^{1}={\frac {3}{5}}$

b) Kérdés

$X:f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1)$

$Y:f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1)$

$Y:f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0<x<1)\;\;\;\;\;(0<y<1)$

$P(X^{2}>Y^{3})=P(X^{\frac {2}{3}}>Y)=$

$=\int \limits _{A}\int 4xy\;\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y=$

$=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{x^{\frac {2}{3}}}4xy\;\;\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

2005/06 ősz 2. ZH

1. Feladat:

Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?

Megoldások

$X:RND1$

$Y:RND2$

valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek

• Két eset lehetséges:

$X<Y-X<1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y>X$

$Y<X-Y<1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X>Y$

• Az első eset - $Y>X$

$P[(X<Y-X)\cap (Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap (Y<{\frac {X}{2}}+{\frac {1}{2}})]=ter(A)$

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).

• Második eset - $X>Y$

A szimmetria miatt az első esetben számított terület $x=y$ tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.

Teljes megoldás: $P(...)=2*ter(A)$

2. Feladat:

Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!

Megoldások

$X:{\sqrt[{3}]{RND}}$

$P(A<{\sqrt[{3}]{RND}}<B)=P(A^{3}<RND<B^{3})=B^{3}-A^{3}=\int _{A}^{B}3x^{2}\mathrm {d} x$

$f(x)=3x^{2}\;\;\;\;\;0<x<1$

$F(x)=\int _{0}^{x}3x^{2}\mathrm {d} x=[x^{3}]_{0}^{x}\;\;\;\;\;0<x<1$

• Várható érték = első momentum

$E(x)=\int _{0}^{1}x*3x^{2}\mathrm {d} x={\frac {3}{4}}$

Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:

$F(x)=P(X<x)=P({\sqrt[{3}]{RND}}<x)=P(RND<x^{3})=x^{3}\;\;\;\;\;0<x<1$

$f(x)=F'(x)=3x^{2}\;\;\;\;\;0<x<1$

3. Feladat:

Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)

Megoldások

$X=$ ahány balkezes

Binomiális eloszlás

$p=0,4$

$n=2400$

Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.

$m=p*n=960$

$\sigma ={\sqrt {n*p*(1-p)}}=24$

$P(0.39<{\frac {x}{2400}}<0.41)=P(936<x<984)=$

$=P({\frac {936-960}{24}}<{\frac {x-960}{24}}<{\frac {984-960}{24}})=$

$=\phi (1)-\phi (-1)=68\%$