Bode-diagram kézi rajzolása

A Bode-diagram kézi rajzolása több tantárgyból is előjöhet. Ehhez nyújt segítséget az alábbi leírás, melyet Ndroo készített a Keviczky-féle Szabályozástechnika-könyv alapján.

A Bode-diagram készítésének lépései

1. Átviteli függvény átalakítása

Az aszimptotikus Bode-diagramm rajzolásához először "Bode normál alakra" kell hoznunk az átviteli függvényt:

$L(s)={K \over s^{i}}\cdot {\sum _{k}\left({1+sT_{k}}\right)\cdot \sum _{m}\left(1+s\cdot 2\xi _{m}T_{m}+s^{2}T_{m}^{2}\right) \over \sum _{l}\left({1+sT_{l}}\right)\cdot \sum _{n}\left(1+s\cdot 2\xi _{n}T_{n}+s^{2}T_{n}^{2}\right)}$

Ebből az alakból leolvasható a rendszer $K$ körerősítése és $i$ típusszáma (integrátorok száma).

Ha tehát a feladatban ehhez hasonló alak van: $L(s)={\frac {10\cdot (s+10)}{s^{3}+51s^{2}+50s}}$, akkor át kell alakítani ilyen alakká: $L(s)={2 \over s}\cdot {\frac {(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}}$

Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani, aztán annyit emelünk ki, hogy az "s" nélküli tagok értéke 1 legyen:

$L(s)={\frac {10\cdot (s+10)}{s^{3}+51s^{s}+50s}}=10{\frac {s+10}{s(s+1)(s+50)}}=10{\frac {10}{50}}{\frac {1+0.1s}{s(1+s)(1+0.02s)}}={2 \over s}\cdot {\frac {(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}}$.

Így minden tényező $1+sT$ alakú lesz. Ha eleve így adták meg, akkor ezt a lépést ki kell hagyni.

Megjegyzés: Ha komplex konjugált gyökpárok is kijöttek volna a gyöktényezős felbontás során, akkor azok $1+s\cdot 2\xi T+s^{2}T^{2}$ alakú tagokat hoztak volna be.

2. Pólusok/zérusok felírása

Zérusok - Azok a helyek ahol a számláló értéke 0 lesz: $z_{1}=-10$

Pólusok - Azok a helyek, ahol a nevező értéke lesz 0: $p_{1}=0,\;p_{2}=-1,\;p_{3}=-50$

3. Fel/letörések meghatározása

Ezek után készítsük el az alábbi táblázatot, melynek első sorában a pólusok és a zérusok abszolút értékük szerinti növekvő sorrendbe vannak rendezve (ezek lesznek a töréspontok):

Pólusok/zérusok abszolút értéke	$|p_{1}|=0$	$|p_{2}|=1$	$|z_{1}|=10$	$|p_{3}|=50$
Index	+1	+1	-1	+1
Multiplicitás	1	1	1	1

Az index értéke zérus esetén -1, pólus esetén +1.

A multiplicitás pedig azt jelenti, hogy „hányszoros gyök”. Azaz például ha a -1 háromszoros gyöke lenne a nevezőnek, akkor a multiplicitása 3 lenne. Továbbá a komplex konjugált pólus/zérus-párok esetén mindkét gyök abszolút értéke ugyanaz, így azok alapból 2-szeres multiplicitásúnak számítanak.

A jelleggörbe meredeksége a következő képlet szerint alakul:

$\left(-20{dB \over dek}\right)\cdot (multiplicitas)\cdot (index)$

Ez a meredekség érték mindig az előző meredekséghez hozzáadódik!

4. A görbe kezdő meredeksége

Ha van a zárt körben integrátor (i>0), akkor a fenti képlet a kezdő meredekséget is tökéletesen megadja. Azaz 1 integrátornál a kezdő meredekség -20 dB/dek, 2 integrátornál -40 dB/dek...

Ha azonban nincs az zárt körben integrátor (i=0), akkor az amplitúdó görbe kezdő meredeksége zérus, azaz egy vízszintes szakasszal indul.

A fenti példában egyszeres integrátor van, azaz -20dB/dekád a kezdő meredekség.

(Ha esetleg olyan állna elő, hogy i<0, azaz a nincs 0 értékű pólus, de van legalább egy 0 értékű zérus, akkor a kezdő meredekség szintén a képlet szerint alakul. Azaz +20 dB/dek, +40 dB/dek.... )

5. Az omega tengely metszésének pontja

Most már tudjuk, hogyan néz ki az aszimptotikus amplitúdó görbe menete, de még szükségünk van az $\omega$ tengely metszéspontjára, azaz $\omega _{c}$ vágási körfrekvencia értékére.

Ez legtöbb esetben a kezdeti meredekség és a körerősítés alapján meghatározható. Ha nincs integrátor a zárt körben (i=0), akkor a kezdeti szakasz vízszintes, így ez a módszer sajnos nem használható. Ha azonban i>0, akkor tudjuk, hogy az integrátor egyenese (van annak meghosszabbítása) ${\sqrt[{i}]{K}}$ körfrekvencián metszi az $\omega$ tengelyt. Ha ez előtt a pont előtt nincs töréspont, akkor a tényleges amplitúdógörbe is itt fogja metszeni az $\omega$ tengelyt.

Jelen esetünkben azonban 1 integrátor van, tehát az integrátor egyenese (vagy annak meghosszabbítása) K=2-nél metszi a $\omega$ tengelyt. Mivel azonban $\omega =1$-nél az integrátor egyenesének kezdeti -20 dB/dek meredekségéhez -20 dB/dek hozzáadódik a képletnek megfelelően, tehát még $\omega =2$ előtt -40 dB/dek lesz a meredeksége, így a tényleges amplitúdó görbe nem 2-nél, hanem egy annál kisebb értéknél metszi az $\omega$ tengelyt!

Az integrátor egyenese $\omega =1$ körfrekvencián $log\left({2 \over 1}\right)dek\cdot 20{db \over dek}=6dB$ értéket vesz fel, hiszen $log\left({2 \over 1}\right)$ dekád távolság van az 1 és 2 körfrekvencia értékek között, és $-20{db \over dek}$ az integrátor egyenesének meredeksége. Tudjuk, hogy a tényleges amplitúdó görbe $\omega =1$ körfrekvenciától $-40{db \over dek}$ meredekséggel halad, tehát kiszámíthatjuk, hogy az amplitúdó görbe $1+{6dB \over 40{dB \over dek}}=1+0.15dek=1\cdot 10^{0.15}=1.412\approx {\sqrt {2}}$-nél metszi az $\omega$ tengelyt.

Előfordul még olyan eset is, amikor az amplitúdó görbe duplán törik az integrátor egyenesének tengelymetszete előtt, méghozzá úgy hogy például -20 dB/dek-ről vízszintes szakaszba megy át, majd újra -20 dB/dek-re törik le. Ilyenkor a vágási körfrekvencia annyi dekáddal nagyobb az integrátor egyenesének tengelymetszeti pontjánál, ahány dekád széles az amplitúdó görbe vízszintes szakasza.

Általánosan elmondható, hogy érdemes először lerajzolni a görbe menetét és logikázni az ismert pontok alapján. Geometriai úton legtöbb esetben kihozható egy ismert tengelymetszetből a vágási körfrekvencia, azonban figyelni kell hogy az Y tengely dB skálában van, míg az X tengely pedig dekád skálában.

Felhasználható azonosság még, hogy az integrátor egyenese (vagy annak meghosszabbítása) $\omega =1$ körfrekvencián $20\cdot log(K)$ értéket vesz fel dB-ben.

6. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása

Itt az eddigieket kell összegyúrni eggyé. Először felrajzolod az görbe vonalát a megfelelő meredekségekkel (ezeket rá is kell írni) és törésekkel. Ezután behúzod az $\omega$ tengelyt úgy, hogy már tudjuk a kiszámolt értékből, hogy az amplitúdó görbe melyik szakaszára (melyik két töréspont közé) esik a vágási körfrekvencia - Jelen esetben ez az 1 és az 10 közötti szakasz. Ezután jelölöd az $\omega$ tengelyen a töréspontok értékeit és a vágási körfrekvencia értékét. Végül behúzod $|L(j\omega |$ tengelyt.

7. Fázis-körfrekvencia görbe

Ezt a legegyszerűbb úgy megszerkeszteni, hogy az Y tengelyt felosztjuk 90°-onként. A fenti fel/letöréseknek megfelelően megy át a fázisgörbe egyik sávról a másikra. Ha feltörik, akkor az érték 90°-al nő, ha letörik, akkor 90°-al csökken. Értelemszerűen, ha többszörös multiplicitású pólus/zérus okozza a törést, akkor annyiszor 90°-al változik a fázisgörbe menete, ahányszoros multiplicitású a törést kiváltó pólus/zérus.

Ez viszont nem egyik pillanatról a másikba megy végbe, hanem "átmenetszerűen", rajzban ez azt jelenti, hogy a törésponti körfrekvencián már PONTOSAN félúton van az új állapot felé.

8. Fázisgörbe kezdőértéke

Ez a rendszer típusszámán (i) és a körerősítésén (K) múlik:

1. Ha a K körerősítés pozitív, akkor a kezdőérték 0°, ha negatív, akkor -180°
2. A fent kikalkulált kezdőértéket az integrátorok i*90°-al változtatják meg:
   • Ha nincs integrátor (i=0), akkor pozitív K esetén 0°, negatív K esetén -180°
   • Ha egy integrátor van (i=1), akkor pozitív K esetén -90°, negatív K esetén -270°
   • Ha két integrátor van (i=2), akkor pozitív K esetén -180°, negatíb K esetén -360° = 0°
   • Ha a nevezőben nincs integrátor, de van 0 értékű zérus (i= -1), akkor pozitív K esetén +90°, negatív K esetén -90°

9. Fázistartalék(többlet) meghatározása

A fázistartalék $\varphi _{t}$ értéke megadja, hogy a fázisgörbe a vágási körfrekvencián mennyivel van -180° felett. Azaz ahol az amplitúdó görbe metszi az $\omega$ tengelyt, ott megnézed a $\varphi (\omega )$ görbe értéke mennyivel van -180° felett.

Ennek a közelítő leolvasásához célszerű egy jó aszimptotikus amplitúdó görbét rajzolni és alá egy fázisgörbét, bár erről csak az látszik általában hogy a fázistartalék pozitív, avagy negatív. Jelen esetben sajnos még ezt is nehézkes eldönteni...

Szerencsére a fázisgörbe függvénye egzaktul megadható az átviteli függvényből, az alábbi általános képlet alapján - ha K negatív, akkor még 180°-ot le kell vonni belőle:

$\varphi (\omega )=-i\cdot 90^{\circ }+\sum _{k}arctg\left({1 \over |z_{k}|}\cdot \omega \right)-\sum _{l}arctg\left({1 \over |p_{l}|}\cdot \omega \right)$

A mi esetünkben:

$\varphi (\omega )=-1\cdot 90^{\circ }+arctg\left({1 \over |-10|}\cdot \omega \right)-arctg\left({1 \over |-1|}\cdot \omega \right)-arctg\left({1 \over |-50|}\cdot \omega \right)=$

$=-90^{\circ }+arctg\left(0.1\cdot \omega \right)-arctg\left(\omega \right)-arctg\left(0.02\cdot \omega \right)$

Tehát a fázistartalék:

$\varphi _{t}=\varphi (\omega _{c})+180^{\circ }=180^{\circ }-90^{\circ }+arctg\left(0.1\cdot \omega _{c}\right)-arctg\left(\omega _{c}\right)-arctg\left(0.02\cdot \omega _{c}\right)\approx$

$\approx 90^{\circ }+arctg\left(0.1\cdot {\sqrt {2}}\right)-arctg\left({\sqrt {2}}\right)-arctg\left(0.02\cdot {\sqrt {2}}\right)=$

$=90^{\circ }+arctg\left(0.1414\right)-arctg\left(1.414\right)-arctg\left(0.02828\right)$

Felhasználva az alábbi közelítéseket:

$arctg(1)=45^{\circ },arctg(0.1)\approx 5^{\circ },arctg(10)\approx 85^{\circ }$

$\varphi _{t}\approx 90^{\circ }+5^{\circ }-55^{\circ }-0^{\circ }=40^{\circ }$

10. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása

Az itt lévő rajz kicsit csalóka, de a görbe menete jól látszik. A fázistartalék viszont +40°!

11. A rendszer stabilitásvizsgálata

Stabilis-e a rendszer: Vagy azt nézed, hogy a fázistöbblet pozitív-e, vagy azt, hogy a jobboldali számsíkon van-e pólus - Ha nincs, akkor stabilis.

12. Statikus hiba

Megnézed az integrátorok számát, az adja a típusszámot, és azt a sort írod le a táblázatból (Lásd: könyv 140. oldal).

Típusszám	0	1	2
Egységugrás	${\frac {1}{1+K}}$	0	0
Sebességugrás	$\infty$	${\frac {1}{K}}$	0
Gyorsulásugrás	$\infty$	$\infty$	${\frac {1}{K}}$

• 0 jelentése: hiba nélkül követi
  
• $\infty$ jelentése: nem tudja követni