Bode-diagram kézi rajzolása

A Bode-diagram kézi rajzolása több tantárgyból is előjöhet. Ehhez nyújt segítséget az alábbi leírás, melyet Ndroo készített a Keviczky-féle Szabályozástechnika-könyv alapján.

A Bode-diagram készítésének lépései

1. Átviteli függvény átalakítása

Az aszimptotikus Bode-diagramm rajzolásához először "Bode normál alakra" kell hoznunk az átviteli függvényt:

$L(s)={K \over s^{i}}\cdot {\sum _{k}\left({1+sT_{k}}\right)\cdot \sum _{m}\left(1+s\cdot 2\xi _{m}T_{m}+s^{2}T_{m}^{2}\right) \over \sum _{l}\left({1+sT_{l}}\right)\cdot \sum _{n}\left(1+s\cdot 2\xi _{n}T_{n}+s^{2}T_{n}^{2}\right)}$

Ha tehát a feladatban ehhez hasonló alak van: $L(s)={\frac {10\cdot (s+10)}{s^{3}+51s^{2}+50s}}$, akkor át kell alakítani ilyen alakká: $L(s)={2 \over s}\cdot {\frac {(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}}$

Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá kell alakítani, aztán annyit emelünk ki, hogy az "s" nélküli tagok értéke 1 legyen:

$L(s)={\frac {10\cdot (s+10)}{s^{3}+51s^{s}+50s}}=10{\frac {s+10}{s(s+1)(s+50)}}=10{\frac {10}{50}}{\frac {1+0.1s}{s(1+s)(1+0.02s)}}={2 \over s}\cdot {\frac {(1+0.1s)}{(1+s)(1+0.02s)}}$.

Így minden tényező $1+sT$ alakú lesz. Ha eleve így adták meg, akkor ezt a lépést ki kell hagyni.

Megjegyzés: Ha komplex konjugált gyökpárok is kijöttek volna a gyöktényezős felbontás során, akkor azok $1+s\cdot 2\xi T+s^{2}T^{2}$ alakú tagokat hoztak volna be.

2. Pólusok/zérusok felírása:

1. Pólusok/zérusok felírása: Zérusok: azok a helyek ahol a számláló értéke 0 lesz, pólusok: azok a helyek, ahol a nevező értéke lesz 0. Minden szorzatalakra fel kell írni a következőt: $1+sT=0$, itt lesz a számláló/nevező értéke nulla, pl.: $1+0,02s=0~\rightarrow ~s=-50$ az egyik pólus, a többi: $s=-1$-nél, $s=0$-nál van, a zérus: $s=-10$-nél van.

3. Fel/letörés:

1. Fel/letörés: Ez az amplitúdó-körfrekvencia görbéhez kell (a dB-es). A pontok, ahol a görbe fel/letörik: $1+sT$ alakból vagy s abszolútértéke, vagy ${\frac {1}{T}}$ értéke (a kettő abszolútértékben ugyanaz, úgy számold ki, ahogy jól esik). A görbe feltörik, ha zéruson megy át, ilyenkor a meredeksége 20dB/dekáddal nő (a függvény meredekéségét magasabbra rajzolod), illetve letörik, ha póluson megy át, a meredeksége itt 20dB/dekáddal csökken.

4. A görbe kezdő meredeksége:

1. A görbe kezdő meredeksége: ezt az integrátorokból (szimpla s szorzótagok az átviteli függvényben) nézhető meg, ha nincs ilyen: a meredekség 0, a görbe vízszintesen indul, ha egy van (egyszeres integrátor): -20dB/dekád a kezdő meredekség, ha kettő van, azaz $s^{2}$ van (kétszeres integrátor): -40dB/dekád. A fenti példában egyszeres integrátor van, azaz -20dB/dekád a kezdő meredekség.

5. Az x tengely metszésének pontja:

1. Az x tengely metszésének pontja: (vágási körfrekvencia, $\omega _{c}$): ezt a meredekség és az átviteli függvény szorzókonstansa (K) határozzák meg: ha a görbe meredeksége 0dB/dekád akkor nem metszi az x tengelyt (mert vízszintesen halad), ha -20dB/dekád, akkor K-nál metszi, ha -40dB/dekád, akkor ${\sqrt {K}}$-nál. Az egyes fel/letörések miatt úgy lehet nyomon követni, hol lesz a metszés helye, hogy megnézzük az integrátorokat/a kezdő meredekséget: ha K-ig nem változik a görbe meredeksége, akkor a meredekségnek megfelelően metszi (pl: egyszeres integrátor, K=5, ekkor -20dB/dekádos meredekséggel megy át az x tengelyen 5-nél), ha előtte megváltozik, akkor annak megfelelően (pl: kétszeres integrátor, K=16, 2-nél feltörik, ekkor 2-ig -40dB/dekád a meredekség, a tengelyt ${\sqrt {16}}$-nál metszené, de a feltörés miatt 2 után -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt 16-nál.). A fenti példában K=2, egyszeres integrátor, -1-nél letörés van, ezért -40dB/dekád meredekséggel a ${\sqrt {2}}$ pontban metszi.

6. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Amplitúdó-körfrekvencia görbe felrajzolása: (Lásd: könyv 88. old.) Itt az eddigieket kell összegyúrni eggyé, előbb bejelölöd a pontokat, ahol történik valami, majd utána rajzolod meg a görbét, az y tengelyen $|L(j\omega |$, az x tengelyen $\omega$ értékével.
   

7. Fázisgörbe értéke:

1. Fázisgörbe értéke: (ez a másik görbe, a $\varphi$-s, rendes nevén: fázis-körfrekvencia görbe) a görbéhez képzeljünk el sávokat, ahol 90° a lépték az egyes értékek közt. A fenti fel/letöréseknek megfelelően változik, ha feltörik, akkor az érték nő 90°-al, ha letörik, akkor csökken 90°-al. Viszont ez nem egyik pillanatról a másikba megy végbe, hanem "átmenetszerűen", rajzban ez azt jelenti, hogy fel/letörésnél már félúton van az új állapot felé.
   

8. Fázisgörbe kezdőértéke:

1. Fázisgörbe kezdőértéke: ez az integrátorok, és az átviteli függvény szorzókonstansán múlik:
   1. a konstans ha pozitív, akkor 0° a kezdőérték, ha negatív, akkor -180°
   2. az integrátor(ok) miatt 0-ban -90°-al jobban változik (-180°-al, ha kétszeres)
   3. ha a számlálóban volt egy szimpla s tag, akkor az 90°-al növeli.
   4. Pl: konstans negatív, egyszeres integrátor: -180°+(-90°)=-270°, konstans pozitív, számlálóban egy szimpla s: 0°+90°=90°. A fenti példában konstans pozitív, egyszeres integrátor: 0°-90°=-90°.

9. Fázistöbblet meghatározása:

1. Fázistöbblet meghatározása: (Lásd: könyv 190-191. old) fázistöbblet fázis-körfrekvencia görbe értékének különbsége -180°-tól a vágási körfrekvenciánál. Azaz ahol a dB-es görbe metszi az x tengelyt, ott megnézed a $\varphi$-s görbe értéke mennyire tér el a -180°-os vonaltól. Ezt a meredekség határozza meg mekkora lesz: ha -20dB/dekáddal metszi az x tengelyt: a fázistöbblet biztosan pozitív (Lásd: könyv 191.old, 5.35 ábra), ha -40dB/dekáddal metszi: a fázistöbbletet nem lehet meghatározni biztosan, olyat rajzolsz, mint az 5.36-os ábrán, ha -60dB/dekáddal metszi: a fázistöbblet biztosan negatív, ekkor a 180°-os vonal alatt megy el. A fenti példában -40dB/dekád meredekséggel a ${\sqrt {2}}$ pontban metszi az x tengelyt a dB-es függvény, ezért a fázistöbbletet nem tudjuk meghatározni biztosan, a stabilitás határhelyzetében van.

10. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:

1. Fázis-körfrekvencia görbe felrajzolása:
   

11. A rendszer stabilitásvizsgálata:

1. Stabilis-e a rendszer: vagy azt nézed, hogy a fázistöbblet pozitív-e, vagy azt, hogy a jobboldali számsíkon van-e pólus: ha nincs, akkor stabilis.

12. Statikus hiba:

1. Statikus hiba: megnézed az integrátorok számát, az adja a típusszámot, és azt a sort írod le a táblázatból (Lásd: könyv 140. oldal).

Típusszám	0	1	2
egységugrás	${\frac {1}{1+K}}$	0	0
sebességugrás	$\infty$	${\frac {1}{K}}$	0
gyorsulásugrás	$\infty$	$\infty$	${\frac {1}{K}}$

• 0 jelentése: hiba nélkül követi
  
• $\infty$ jelentése: nem tudja követni