Matematika A3 - Vizsgakérdések az elégségesért

Nguyen Xuan Ky, Serény György, Tóth János

BME TTK Algebra és Matematikai Analízis Tanszék

2006. december 5.

Aki elérte a 40 százalékot, az szóbelizik a kettesért. Javaslat: kapjon egy-egy kérdést, és ha kettőre válaszol, menjen át.

Ugyan ez már nem így működik, de attól még rengeteg hasznos fogalom, definíció és képlet fellelhető benne a szóbelihez!

---

Ha tudod valamelyikre a választ, írd bele!

1. Differenciálegyenletek

1. Mit nevezünk homogén egyenletnek? Mit nevezünk homogén lineáris differenciálegyenletnek?

y'(x)+a(x)y(x)=b(x), ahol b(x)=0. Lineáris, ha a polinómfüggvény minden tagjának azonos a fokszáma. Homogén: nem szerepel konstans, vagy csak a független változót tartalmazó tag.

Amúgy meg: http://www.sosmath.com/diffeq/first/homogeneous/homogeneous.html

2. Mit nevezünk közvetelnül integrálható differenciálegyenletnek?

Ahol az előbbi egyenletben a(x)=0.

3. Mit nevezünk autonóm differenciálegyenletnek?

? G(y(x))-G(y0)=x-c ? Autonóm differenciál egyenletnek nevezzük azt a közönséges diffegy-et, amely nem függ független változóktól. http://en.wikipedia.org/wiki/Autonomous_differential_equation

4. Mit nevezünk szétválasztható változójú egyenletnek?

Általános alak: y'=g(x)*h(y).

5. Mit nevezünk elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek?

Elsőrendű: csak 1. deriváltak szerepelnek, lineáris: az ismeretlen függvénynek és deriváltjának csak 1. hatványa szerepel, és nem szerepel a szorzatuk.

6. Az állandók variálásának módszere?

Az elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet partikuláris megoldása az állandó variálásának módszerével kapható meg. Az inhomogén egyenlet y0 partikuláris megoldását a homogén egyenlet már ismert általános megoldásához hasonló szerkezetűnek tételezzük fel, csak az abban szereplő C állandót most egy C(x) függvénynek képzeljük. Az eredeti egyenletbe visszahelyettesítve megkapjuk C(x)-et.

7. Milyen elégséges feltételt ismer kezdeti érték problémák megoldásának létezésére?

Ha a kezdeti érték feltétel $m(0)=Me^{-kt}\,\,\,t\in \mathbb {R}$ alakú. Az alábbi feltétel leszámítva a Lipschitz feltételt ha teljesül akkor létezik megoldás.

8. Milyen elégséges feltételt ismer kezdeti érték problémák megoldásának létezésére és egyértelműségére?

Cauchy-Lipschitz feltétel: ha az n+1 változós függvény az n+1 dimmenziós tér valamely zárt korlátos tartományán folytonos, és éppen a részhalmazon legfeljebb az első változót leszámítva eleget tesz a Lipschitz-feltételnek, akkor az y^(n)=(x,y,ydeivált,...,y n-1. deriváltja) differenciálegyenlethez és a tartomány egy belső pontjához a kezdeti érték probléma egyértelműen megoldható. Lipschitz feltétel: abszolutérték (f(x,y1)-f(x,y2))>=abszolutérték (y2-y1)

9. Mit nevezünk kontrakciónak?

Zsugorítást. ha d(T(x),T(y))<qd(x,y) és q[0,1[, akkor T operátor kontrakció.

10. Mi az Euler-módszer lényege?

y'(x)=f(x,y(x)) y_hullam(x0+h)=y0+hf(x0,y0) y_hullam(x0+2h)=y0(x0+h)+hf(x0,y_hullam(x0+h))

11. Milyen függvények esetén értelmezhető a Laplace-transzformáció?

Az olyan függvények esetén, ahol az a jól ismert improprius integrál létezik, és minden P esetén éppen az improprius integrál értékét adja vissza függvényértékként.

12. Számolja ki egy függvény deriváltjának Laplace-transzformáltját!

Ha ${\mathcal {L}}\left(f(x)\right)=F(p)$, akkor ${\mathcal {L}}\left(f'(x)\right)=p\cdot F(p)-f(0)$

13. Mikor mondjuk, hogy az $F(x;y(x))+y'(x)G(x;y(x))=0$ differenciálegyenlet egzakt?

A diffegyenlet akkor egzakt, ha F y szerinti parciális deriváltja egyenló G x szerinti parciális deriváltjával. Azaz ${\frac {\partial F}{\partial y}}={\frac {\partial G}{\partial x}}$

14. Mit nevezünk integráló tényezőnek?

Integráló tényezővel megszorozva a differenciálegyenletet, az egzakttá tehető.

15. Mit nevezünk iránymezőnek?

Az y'=f(x,y) differenciálegyenlet megoldása geometriailag a következőkéépen szemléltethető. Az f függvény értelmezési tartományának minden egyes (x,y) pontjához rendeljük hozzá a rajta átmenő y'=f(x,y) iránytangensű egyenesnek a pontot tartalmazó "kicsiny" szakaszát. Ezen szakaszok összessége a differenciálegyenlet iránymezőjét alkotja. A szakaszokból elég sokat ábrázolva kapjuk a differenciálegyenlet megoldásának geometriai képépt.

16. Mit nevezünk irányvonalnak vagy izoklínának?

Azt a görbét, amelynek a pontjaihoz azonos irányú, azaz párhuzamos vonalelemek tartoznak, izoklínának (izoklína görbének) nevezzük. Tehát az izoklína olyan vonal, amelynek minden pontjában y' értéke ugyanaz.

2. Vektoranalízis

1. A gradiens definíciója és kiszámításának módja?

A gradiens a skalártér növekedésének nagyságát és irányát adja meg.

http://upload.wikimedia.org/math/e/7/b/e7bc6b383d3d3f6361661ed8bfb2ea03.png

http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient

2. A rotáció definíciója és kiszámításának módja?

A rotáció a vektortérben található hurkokat méri.

Rotáció: a deriváltoperátor vektorinvariánsának a kétszerese. Kiszámítása: $\displaystyle {}rot{\rm {v(x,y,z)=\left|{\begin{array}{ccc}{\underline {i}}&{\underline {j}}&{\underline {k}}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{array}}\right|=\left({\frac {\partial v_{z}}{\partial _{y}}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial _{z}}};{\frac {\partial v_{x}}{\partial _{z}}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial _{x}}};{\frac {\partial v_{y}}{\partial _{x}}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial _{y}}}\right)}}$

http://en.wikipedia.org/wiki/Curl

3. A divergencia definíciója és kiszámításának módja?

A divergencia a vektortérben egy pontból kiinduló vagy egy pontban összefutó erõvonalak (források és nyelõk) mennyiségi jellemzõje A deriváltoperátor skalárinvariánsa

http://upload.wikimedia.org/math/e/3/a/e3a1359fa5494e48a3691ad5bf316ef9.png

http://hu.wikipedia.org/wiki/Divergencia_%28vektoranal%C3%ADzis%29

4. A vonalintegrál definíciója és kiszámításának módja?

$\int \limits _{r}v\mathrm {d} r=\int \limits _{t}v(r(t))*r'(t)\mathrm {d} t$

http://en.wikipedia.org/wiki/Line_integral

5. Adja meg a csavarvonal paraméteres alakját!

$r(t)=Rcost{\underline {i}}+Rsint{\underline {j}}+ct{\underline {k}}$

6. Mit nevezünk egy görbe ívhossz szerinti paraméterezésének?

$s=\int _{t1}^{t2}|r'(t)|dt$

7. Mit nevezünk tenzornak?

Ha a v vektormező additív és homogén, akkor tenzornak nevezzük. A tenzor lineáris operátor=összeg és aránytartó. Vektor-vektor típusú leképezéseknél alkalmazzuk. v=rA Additív: v(x1+x2,y1+y2,z1+z2)=v(x1,y1,z1)+v(x2,y2,z2)

Homogén: v(ax,ay,az)=a*v(x,y,z)

http://hu.wikipedia.org/wiki/Tenzor

8. Mit nevezünk egy tenzor skalárinvariánsának?

A mátrix rangja, a főátló elemösszege, a főátló aldeterminánsösszege, a mátrix determinánsa. Független az alapvektorrendszertől.

10. Mit nevezünk egy vektormező skalárpotenciáljának?

V vektorfüggvénynek U skalárfüggvény skalárpotenciálja, ha gradU=V

http://en.wikipedia.org/wiki/Scalar_potential

11. Mit nevezünk egy vektormező vektorpotenciáljának?

V vektorfüggvénynek U vektorfüggvény skalárpotenciálja, ha v(r)=rot(u(r))

http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_potential

12. Mi jellemzi a potenciálos erőtereket?

Ha $rot{\underline {v}}(r)=0$ akkor potenciálos, tehát zárt görbén $\int {\underline {v}}(r)\mathrm {d} r=0.$

13. Mit nevezünk egyszeresen összefüggő tartománynak?

Olyan tartományt, melyen bármely zárt görbe belseje is része a tertománynak

14. Mit nevezünk fluxusnak?

Egy vektorfüggvény valamely felületre vonatkozó felületi integrálja a felületre vonatkozó fluxusa

http://en.wikipedia.org/wiki/Flux

16. Mit mond ki a Newton-Leibniz-tétel három dimenzióban?

$\int _{a}^{b}v'(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{V}div\,{\underline {v}}\,\mathrm {d} V=\int \limits _{F1}\,{\underline {v}}\,\mathrm {d} f+\int \limits _{F2}\,{\underline {v}}\,\mathrm {d} f=v(b)-v(a)$

Fizikai jelentése: Egy cső két végén be- és kiáramló folyadék mennyiségének különbsége a csőben keletkező és eltűnő folyadák mennyiségével egyenlő, amely nem más, mint a hosszegységenként keletkező (eltűnő) folyadékmennyiségnek, azaz a hosszegységenkénti folyadékmennyiség-változásnak a cső hosszára vett integrálja.�

17. Mit mond ki a Gauss-Osztrogradszkij-tétel?

A Gauss�-Osztogradszkij tétel a Newton-Leibniz tétel többdimenzióra való általánosítása. Egy vektormező zárt felületen vett integrálja egyenlő a vektormező divergenciájának a térfogaton vett integráljával.

$\iint \limits _{F}{\underline {v}}\,dF=\iiint \limits _{V}div\,{\underline {v}}\,dV$

http://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem

18. Mit mond ki a Green-tétel?

http://en.wikipedia.org/wiki/Green_theorem

19. Mit mond ki a Stokes-tétel?

Egy vektormező zárt vonalmenti integrálja egyenlő a vektormező rotációjának a felületen vett integráljával. (ugye ez az?)

$\int \limits _{G}{\underline {v}}\,dG=\iint \limits _{F}rot\,{\underline {v}}\,dF$

http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes_theorem

20. Mi jellemzi az örvénymentes vektormezőket?

a) v potenciálos rot v(r) = 0, bármely zárt görbén vett integrál 0 b) örvénymentes c) konzervativ $\int \limits _{L}rdr=0$

21. Mi jellemzi a forrásmentes vektormezőket?

a) div v = 0 b) v vektormezo vektorpotencialja omega, ha v = rot omega c) minden zárt felületre a fluxus = 0, $\oint \oint \limits _{F}{\underline {G}}df=0$

3. Komplex függvénytan

3. Mit mondanak ki a Cauchy-Riemann egyenletek?

$\displaystyle {}{\frac {\partial U}{\partial x}}={\frac {\partial V}{\partial y}}$

$\displaystyle {}{\frac {\partial U}{\partial y}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}$

Szükséges, de nem elégséges feltételek z=u(x,y)+jv(x,y) totális diffhatóságára.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_Riemann_equations

4. Mikor nevezünk egy komplex függvényt regulárisnak?

Egy függvény reguláris egy pontban, ha létezik olyan környezete, melyben differenciálható (a pontban is)

http://en.wikipedia.org/wiki/Meromorphic_function

5. Mikor nevezünk egy többváltozós függvényt harmonikusnak?

Ha teljesül a laplace egyenlet: deriváljuk kétsze x szerint, kétszer y szerint, és ha ezek összege 0 akkor teljesül.

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function

6. Mit nevezünk egy függvény harmonikus párjának?

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_conjugate

Olyan függvényt, mellyel együtt reguláris függvényt alkot

7. Milyen függvénynek van harmonikus párja?

Ha egy függvény harmónikus T egyszeresen összefüggő tartományon, akkor van harmónikus társa t-n

11. Hogyan értelmezzük a komplex kitevős hatványokat?

$a^{z}=a^{x}*a^{jy}$

14. Vonalintegrálokra vonatkozó Newton–Leibniz-tétel?

$\exists F:F'(z)=f(z)\,$ $\forall z\in T$, ahol tetszőleges (nyílt, összefüggő) tartomány $L\in T\Rightarrow \int f(z)dz=F(B)-F(A)$

15. Mit mond ki Cauchy tétele?

Ha f reguláris az egyszeresen összefüggő tartományon, akkor bármely T-beli egyszerű zárt görbére: $\int f(z)dz=0$

16. Mit mond ki a Cauchy-féle integráltétel?

Ha f reguláris az egyszeresen összefüggő T tartományon, akkor bármely $L\subset T$ sima egyszerű zárt görbére $\int \limits _{L}\,f=0$ (FIXME: itt lehet, hogy az integrálforumlára gondolt?)

17. Mit nevezünk egy Laurent-sor fő részének?

Főrész: A negatív kitevőjű tagokat tartalmazó rész.

18. Mit nevezünk izolált szingularitásnak?

Olyan szingularitás (a függvény nem értelmezett pontja), amelynek tetszőlegesen kis környezetében a függvény értelmezve van.

19. Mit nevezünk megszüntethető szingularitásnak?

ha lim z>z0 f(z)=A komplex szám

20. Mit nevezünk n-edrendű pólusnak?

pólus ha lim z>z0 f(z)=végtelen, és n-ed rendű ha lim z>z0 (z-z0)^nf(z)=A!=0

21. Mit nevezünk lényeges szingularitásnak?

ha lim z>z0 f(z) nem létezik, sem véges sem végtelen határérték

22. Hogyan látszik az a körüli Laurent-soron, hogy a megszüntethető szingularitás?

Nincs főrésze, azaz nem tartalmaz negatív kitevőjű hatványokat, tehát 0-tól szummázunk.

23. Hogyan látszik az a körüli Laurent-soron, hogy a n-edrendű pólus?

Véges sok tagból álló főrésszel rendelkezik, vagyis n-től szummázunk.

24. Hogyan látszik az a körüli Laurent-soron, hogy a lényeges szingularitás?

Végtelen sok tagból álló főrésze van: - végtelentől +végtelenig szummázunk

25. Mi az f függvény reziduuma az a pontban?

Res(f,a)=c^-1. A Laurent-sor c^-1 együtthatóját az f függvény z-a helyhez tartozó rezidumának nevezzük.

26. Hogyan számítható ki a reziduum a Laurent-sor együtthatóiból?

A reziduum a Laurent-sorban a $z^{-1}$-es tag szorzója. Pl. $L=2z+{\frac {3}{z}}+{\frac {5}{z^{2}}}+...$ esetén Res=3.

27. Hogyan számítható ki a reziduum elsőrendű pólusban?

lim z>z0 (z-z0)f(f)

29. Mit mond ki a reziduumtétel?

http://en.wikipedia.org/wiki/Residue_theorem

-- Robi - 2007.01.12.