Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok

← Vissza az előző oldalra – Elektromágneses terek alapjai

Itt gyűjtjük a szóbeli vizsgán kapott feladatokat. A bennük szereplő számadatok nem túl lényegesek, a feladattípusokat próbáljuk összegyűjteni. Kérlek bővítsétek a szóbelin ténylegesen kapott feladatokkal, amennyiben időtök engedi, részletesebb megoldásokkal. Sablon:Noautonum

42. Feladat: Áramsűrűség

Stacionárius áramlási térben az áramsűrűség $J=e_{z}*5{kA \over m^{2}}$. Mekkra a z-tengellyel 60°-os szöget bezáró $A=80cm^{2}$ felületen átfolyó áram?

Megoldás

A J áramsűrűség-vektor megadja a rá merőleges, egységnyi felületen átfolyó áram nagyságát. A J áramsűrűség-vektor z irányú, nekünk a felületre normális komponensével kell számolnunk.

$I=\int _{A}JdA$, esetünkben $I=J*A*\sin 60^{\circ }=5000*80*10^{-4}*\sin 60^{\circ }=34.64A$

50. Feladat: Két áramjárta vezető

Két egymással párhuzamos végtelen hosszú vezető egymástól 4 m távolságban. Az egyiken 2 A, a másikon 3 A folyik. Mekkora erő hat az egyik vezeték 1 m-es szakaszára?

Megoldás

Az egyikre ható erő egyenlő a másikra ható erővel (Newton erő-ellenerő törvénye). A megoldáshoz az Ampere-féle gerjesztési törvényre, és a Lorentz-erőre van szükség.

$\oint Hds=\int JdA=I$, ahol a H-t egy kör vonalán integráljuk, aminek a középpontját merőlegesen döfi át a vezeték, csak az egyik áram egy át rajta, a másik pont nem.

$H_{1}2d\pi =I_{1}\rightarrow H_{1}={\frac {I_{1}}{2d\pi }}$

$F=q(v\times B)=I(l\times B)$, ahol I a konstans áramerősség, l pedig a vezetéken folyó áram irányának vektora, hossza a megadott 1 m. Derékszöget zárnak be a vektorok, így egyszerű szorzás lesz.

Tudjuk még, hogy $B=\mu _{0}H$ vákuumban.

Innen a megoldás:

$F_{12}=I_{2}lB_{1}=I_{2}l\mu _{0}H_{1}={\frac {\mu _{0}lI_{1}I_{2}}{2d\pi }}={\frac {4\pi 10^{-7}\cdot 1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 4\cdot \pi }}=3\cdot 10^{-7}N$

Fordított indexeléssel ugyanez jönne ki a másikra is. Jobbkéz-szabályból következik, hogy ha azonos irányba folyik az áram, akkor vonzzák egymást, ha ellentétes irányba, taszítják. Szóbelin még érdemes megemlíteni, hogy ez a jelenség adja az Ampere mértékegység definícióját, 1 m hosszú szakasz, 1 m távolság, 1-1 A áramerősség esetén az erő:

$F=2\cdot 10^{-7}N$

58. Feladat: Toroid tekercs

Hányszorosára változik egy L önindukciós együtthatóval rendelkező I1=2A árammal átjárt toroid belsejében a mágneses fluxus, ha az áramerősséget nagyon lassan I2=5A-re növeljük? Hányszorosára változik a tekercs mágneses mezejében tárolt energia?

Megoldás

Mivel az áram nagyon lassan változik, így a kezdő és végállapotot vehetjük két egymástól független stacioner állapotú esetnek.

Egy bármilyen tekercs fluxusa az $\Psi =L*I$ képletből számolható. Ez alapján a toroid fluxusváltozása: ${\frac {\Psi _{2}}{\Psi _{1}}}={\frac {L*I_{2}}{L*I_{1}}}={\frac {I_{2}}{I_{1}}}=2.5$

Egy bármilyen tekercs energiája számolható a $W={\frac {1}{2}}*L*I^{2}$ képlet alapján. Tehát a toroid energiaváltozása: ${\frac {W_{2}}{W_{1}}}={\frac {{\frac {1}{2}}*L*I_{2}^{2}}{{\frac {1}{2}}*L*I_{1}^{2}}}={\frac {I_{2}^{2}}{I_{1}^{2}}}=2.5^{2}=6.25$

81. Feladat: Távvezeték megadott feszültségű pontjának meghatározása

Adott egy végtelen hosszú távvezeték, melynek paraméterei az alábbiak: $R'=20{m\Omega \over m}$ és $G'=5{\mu S \over m}$. Egy $U_{0}$ egyenfeszültségű feszültség forrást kapcsolunk rá. Határozza meg azt a z távolságot, ahol a feszültség $U_{0}/2$ lesz!

Megoldás

Első körben meg kell határoznunk, hogy mennyi a távvezeték csillapítása (alfa), feltéve hogy omega=0, mivel egyenfeszültséggel gerjesztjük a távvezetéket:

$\alpha =Re\left\{\gamma \right\}=Re\left\{{\sqrt {(R'+j\omega L')(G'+j\omega C')}}\right\}=Re\left\{{\sqrt {R'*G'}}\right\}={\sqrt {R'*G'}}={\sqrt {0.02*5*10^{-6}}}=3.16*10^{-4}{1 \over m}$

Most meg kell határoznunk, hogy a távvezeték mely "z" távolságú pontjára csillapodik a a feszültség amplitúdója az eredeti érték felére:

$U_{0}*e^{-\alpha *z}={U_{0} \over 2}$

$e^{-\alpha *z}=0.5$

$-\alpha *z=\ln 0.5\longrightarrow z=-{\ln 0.5 \over \alpha }=-{\ln 0.5 \over 3.16*10^{-4}}=2.192km$

86. Feladat: Ideális távvezeték, számítás lánckarakterisztikával

Adott egy ideális távvezeték, hullámimpedanciája $500\Omega$, hossza ${\frac {\lambda }{8}}$. A távvezeték végén adott az áram és a feszültség komplex amplitúdója: 2A illetve 500V. Határozzuk meg a feszültség komplex amplitúdóját a távvezeték elején.

Megoldás

$\beta ={\frac {2*\pi }{\lambda }}$ így $(\beta l)={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {\lambda }{8}}={\frac {\pi }{4}}$. Miután ez van, felírjuk az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának első egyenletét: $U_{1}=cos(\beta l)*U_{2}+j*sin(\beta l)*Z_{0}*I_{2}$, és ebbe behelyettesítve megkapjuk a megoldást.

94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram

Egy $R=5\Omega$ ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa $\phi (t)=30*sin(\omega t)mVs$, ahol $\omega =1{krad \over s}$. Mekkora a keretben folyó áram effektív értéke?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: $u_{i}=-{d\phi (t) \over dt}=-\omega *30*cos(\omega t)$. Behelyettesítve a körfrekvencia értékét: $u_{i}=-30*cos(\omega t)V$. Innen a feszültség effektív értéke $U_{eff}={30 \over {\sqrt {2}}}V$, az áram effektív értéke pedig $I_{eff}={U_{eff} \over R}={6 \over {\sqrt {2}}}A$.

98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség

Az xy síkon helyezkedik el egy 3m sugarú kör alakú zárt "l" görbe. A mágneses indukció a térben homogén, z irányú komponense 40 ms idő alatt 0,8T értékről lineárisan zérusra csökken. Mekkora feszültség indukálódik eközben a "l" görbe mentén?

Megoldás

Az indukálási törvény alapján: $u_{i}=-{d\phi (t) \over dt}=-A*{dB(t) \over dt}=-r^{2}\pi *{\bigtriangleup B \over \bigtriangleup t}=-r^{2}\pi *{B_{2}-B_{1} \over \bigtriangleup t}=-3^{2}\pi *{0-0.8 \over 0.04}=565.5V$

107. Feladat: Hengeres vezetőben disszipált hőteljesítmény

Egy $A=1.5mm^{2}$ keresztmetszetű, 3 m hosszú hengeres vezetőben 10 A amplitúdójú 50 Hz-es szinuszos áram folyik. A behatolási mélység $\delta =9.7mm$, a fajlagos vezetőképesség pedig $\sigma =3.7*10^{7}{S \over m}$. Mennyi a vezetőben disszipált hőteljesítmény?

Megoldás

A vezető sugara: $r={\sqrt {1.5 \over \pi }}=0.691mm<<\delta$

Mivel a vezető sugara jóval kisebb mint a behatolási mélység, így a vezető vehető egy sima "l" hosszúságú, "A" keresztmetszetű és "szigma" fajlagos vezetőképességű vezetékdarabnak.

$R={1 \over \sigma }*{l \over A}={1 \over 3.7*10^{7}}*{3 \over 1.5*10^{-6}}=54m\Omega$

A vezetékben disszipálódó hőteljesítmény (vigyázat csúcsérték van megadva és nem effektív):

$P={1 \over 2}*R*I^{2}={1 \over 2}*0.054*10^{2}=2.7W$

109. Feladat: Hengeres vezető belsejében az elektromos térerősség

Egy 2 mm sugarú, hosszú hengeres vezető 35 MS/m fajlagos vezetőképességű anyagból van, a behatolási mélység 80 µm. A térerősség időfüggvénye a vezető felszínén ${\vec {E}}(t)=10*cos(\omega t)*{\vec {n}}_{0}$. Itt n egy vektor, ami a vezető hosszanti tengelyével párhuzamos. Adja meg az áramsűrűség időfüggvényét a felülettől 2 behatolási mélységnyi távolságra!

Megoldás

$r<<\delta$

A mélység (z) függvényében a térerősség komplex amplitúdójának változása: $E(z)=E_{0}*e^{-\gamma z}=E_{0}*e^{-z/\delta }*e^{-jz/\delta }$

A differenciális Ohm törvény: ${\vec {J}}=\sigma *{\vec {E}}$

Ezeket egybefésülve és áttérve időtartományba: ${\vec {J}}(z,t)=Re\left\{\sigma *E_{0}*e^{-z/\delta }*e^{-jz/\delta }*e^{j\omega t}\right\}*{\vec {n}}_{0}=\sigma *E_{0}*e^{-z/\delta }*cos\left(\omega t-{z \over \delta }\right)*{\vec {n}}_{0}$

Behelyettesítés után $z=2\delta$ mélységben: ${\vec {J}}(t)=35*10^{6}*10*e^{-2\delta /\delta }*cos\left(\omega t-{2\delta \over \delta }\right)*{\vec {n}}_{0}=47.37*cos\left(\omega t-2\right)*{\vec {n}}_{0}{MA \over m^{2}}$

143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény

Egy Hertz-dipólus az origó síkjában $\vartheta =0$ szögben áll. Írja fel az összes kisugárzott teljesítményt $\vartheta \in \left\{0,{\pi \over 2}\right\}$ tartományban a Poynting-vektor és a Hertz-dipólus irányhatásának segítségével!

Megoldás

A Hertz-dipólus által kisugárzott teljes teljesítmény:

$P={1 \over 2}*I^{2}*R_{s}={1 \over 2}*I^{2}*80\pi ^{2}\left({l \over \lambda }\right)^{2}$

A megadott tartomány az xy sík feletti félteret írja le. Mivel a Hertz-dipólus iránykarakterisztikája az xy síkra szimmetrikus, így a felső féltérbe a teljes teljesítmény fele sugárzódik ki.

149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény

Koaxiális kábelben egyenáram folyik, a dielektrikumban kialakuló elektromos és mágneses térerősség hengerkoordináta-rendszerben leírva a következő:<br\>$E(r)={\frac {U_{0}}{r}}*{\vec {e_{r}}}$ (ahol ${\vec {e_{r}}}$ a radiális irányú egységvektor), <br\>$H(r)={\frac {I_{0}}{r}}*{\vec {e_{\varphi }}}$ (ahol ${\vec {e_{\varphi }}}$ a fi irányú egységvektor).<br\> Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara r₁, a külső vezető belső sugara r₂, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a z irányú.

Megoldás

A Poynting-vektor kifejezése: $S=E\times H\Rightarrow S(r)=E(r)*H(r)*{\vec {e_{z}}}$ (ahol ${\vec {e_{z}}}$ a z irányú egységvektor). <br\>Innen a teljesítmény: $P=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {U_{0}I_{0}}{r^{2}}}\mathrm {d} \varphi \mathrm {d} r=2\pi U_{0}I_{0}({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}})=2\pi U_{0}I_{0}{\frac {r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}}}$