Algoritmuselmélet - PZH, 2013.04.24.

2013.04.24. PZH megoldásai

1. Feladat (Van megoldás)

Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy $T(n)=T\left(\left\lfloor {\frac {n}{4}}\right\rfloor \right)+O(n^{2})$ és tudjuk azt is, hogy $T(1)=T(2)=T(3)=1$. Bizonyítsa be, hogy $T(n)=O(n^{2})$.

Megoldás

$T(n)=T\left(\left\lfloor {\frac {n}{4}}\right\rfloor \right)+O(n^{2})=T\left(\left\lfloor {\frac {n}{16}}\right\rfloor \right)+O\left({\frac {n^{2}}{4}}\right)+O(n^{2})=...=1+O(n^{2})*\left(\sum _{i=0}^{\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor }\left({\frac {1}{4}}\right)^{i}\right)$
Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:
$\sum _{i=0}^{k}r^{i}={\frac {1-r^{k+1}}{1-r}}$ ahol $k=\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor ,r=0.25$, vagyis ${\frac {1-0.25^{\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor +1}}{1-0.25}}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {1-0.25^{\left\lfloor log_{4}n\right\rfloor +1}}{1-0.25}}={\frac {1}{0.75}}$

Tehát $T(n)=...=1+{\frac {1}{0.75}}O(n^{2})=O(n^{2})$

2. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

3. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

4. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

5. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

6. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

7. Feladat

TODO

Megoldás

TODO

8. Feladat

TODO

Megoldás

TODO