Fizika 1 vizsga, 2013.06.03.

Megjegyzés: Ez nem a hivatalos javítókulcs, az esetleges hibákért felelősséget nem vállalok!

Feladatok

1. Egy gépkocsi 21 m/s-os egyenletes sebességgel egyenes úton halad. Abban a pillanatban, amikor egy parkoló motoros rendőr mellé ér, a rendőr 2,2 m/s² állandó gyorsulással üldözni kezdi. Mennyi utat tesz meg a rendőr, amíg utoléri a gépkocsit?

   a = 2.2 m/s. A gépkocsihoz rögzített koordinátarendszerben a rendőr Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v_0 = -21 \mathrm{\frac ms}} sebességről indul. Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x = -v_0 t + \frac a2 t^2 = 0} esetén van a két autó egymás mellett. Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t = 0} vagy Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t = 19.0909} , nyílván a második eset érdekel minket. A földhöz képest a rendőr nulla kezdősebességű, egyenletesen gyorsuló mozgást végez, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle s = \frac a2 t^2 = \frac{2.2}2 19.0909^2 = 400.909\,\mathrm m}

2. Mennyivel nyúlik meg az ábra szerinti elrendezésben a két test közé iktatott rugó, amikor az összekapcsolt rendszer egyenletesen gyorsuló mozgásban van? (A csiga, a rugó és a fonál tömegét ne vegyük figyelembe. Legyen m=1 kg; a súrlódási együttható 0,2; a rugóállandó 4 N/cm)

   

   Erők

   m = 1 kg, µ = 0.2, D = N/cm. Feltesszük hogy a rugó nyugalomban van (nem rezeg), így a rendszer együtt mozog, a gyorsulása legyen a. Eredő erő az egyes testekre:

   Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \addtolength\arraycolsep{-3.5pt} \begin{array}{rl} ma &= mg - K_1 \\ ma &= K_1 - K_2 - F_s = K_1 - K_2 - \mu mg \\ ma &= K_2 - F_s = K_2 - \mu mg \end{array} }

   Az egyenleteket megoldása:

   Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \addtolength\arraycolsep{-3.5pt} \begin{array}{rl} K_1 &= mg - ma \\ K_2 &= ma + \mu mg \\ ma &= (mg - ma) - (ma + \mu mg) \mu mg = -2ma -2\mu mg + mg \\ 3ma &= m(1-2\mu)g \\ a &= \frac{(1-2\mu)g}3 = \frac{0.6\cdot 10}3 = 2 \frac{\mathrm m}{\mathrm s^2} \\ K_2 &= 1\cdot(2 + 0.2\cdot10) = 4\,\mathrm{N} \end{array} }

   A rugót 4 N erő húzza, Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle -K_2 = -D x} , ebből Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle x = \frac{K_2}D = \frac44 = 1\,\mathrm{cm}}

3. Az ábrán látható felfüggesztett test tömege 200kg. A rúd súlya elhanyagolható. Határozzuk meg a kötélben ébredő erőt!

   

   Erők

   m = 200 kg, g = 10 m/s². A súlyt mg húzza lefele, a kötélerő iránya a kötéllel párhuzamos és felfele mutat. Vízszintes irányban csak K és T hat, így ezeknek egyensúlyban kell lenniük: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle K_x + T_x = -K \cos 30^\circ + T \cos 30^\circ = 0} , vagyis T és K nagysága megegyezik. Függőleges irányban: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle K_y + T_y = 2K \sin 30^\circ = mg} , ebből Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle K = \frac{mg}{2\sin 30^\circ} = 2000\,\mathrm{N}} .

4. A tér egy tartományában az elektromos térerősség E = (-3xe_x + 4e_z) N/C. Az A és B pontok az x tengelyen vannak, x_A = 3 m és x_B = 5 m. Az U_B - U_A potenciálkülönbség

   Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec E = -3x \vec i + 4 \vec k} , Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec A = 3\vec i\,\mathrm{m}} , Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec B = 5\vec i\,\mathrm{m}} . Elektromos tér esetén Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec E = -\operatorname{grad}\vec U} , tehát Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec U = \frac{3x^2}2 \vec i - 4z \vec k + \vec C} , ahol C egy valamilyen vektor (integrálás miatt jön be, mivel úgyis csak különbség kell, úgyis kiesik). Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle U(B) - U(A) = \frac{3\cdot5^2}2 \vec i - 4z \vec k + \vec C - \frac{3\cdot3^2}2 \vec i + 4z \vec k - \vec C = \frac32\left(5^2-3^2\right) = 24 \vec i\,\mathrm V} .

5. Függőleges irányú harmonikus rezgéseket végző vízszintes fémlapon egy pénzdarab helyezkedik el. Megfigyelték, hogy első ízben akkor sikerült becsúsztatni egy vékony papírlapot, a pénzdarab és a fémlap közé, amikor a rezgésszám elérte a 18-at másodpercenként. Mennyi volt a fémlap rezgésének amplitúdója?

   f = 18 Hz. Papírlapot akkor lehet becsúsztatni, ha a fémlap gyorsabban süllyed, mint ahogy a pénzérme esik (szabad esésben), vagyis a > g. Harmonikus rezgésnél Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle a_{\mathrm{max}} = A\omega^2 = A\left(2\pi f\right)^2 = g} , vagyis Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle A = \frac{g}{4\pi^2f^2} = \frac{10}{4\pi^2 18^2} = 0.000781\,\mathrm m = 0.781\,\mathrm{mm}} .

6. Mesterlövész balról jobbra haladó célpontra céloz. A mesterlövész függőleges tengely körül forog, a cső 70°-os szöget zár be a függőlegessel. A puska szögsebessége 1,8 rad/s abban a pillanatban, amikor a 7 gramm tömegű lövedék 850m/s sebességgel éppen kirepül a csőből. A forgó rendszerben mekkora Coriolis erő hat a lövedékre a cső elhagyásának pillanatában? A Föld forgásától tekintsünk el.

   m = 0.007 kg, v = 850 m/s. Rögzítsük a koordinátarendszerünket úgy, hogy a lövész van a középpontban, a z tengely körül forog (így xy sík a vízszintes), a vadász pedig +x felé lő. Ekkor a golyó v sebessége: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v_x = v \cos \alpha = 850\cdot \cos 20^\circ = 798.74 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} , Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v_z = v \sin \alpha = 290.72\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} (azért 20°, mert nekünk a vízszintessel bezárt szög kell). A forgás szögsebessége: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec\omega = 1.8 \vec k} . Ezekből a Coriolis-erő számolható: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_{\mathrm{cor}} = 2mv \times \omega = \left| \begin{matrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 11.182 & 0 & 4.071 \\ 0 & 0 & 1.8 \\ \end{matrix} \right| = 1.8 \left| \begin{matrix} \vec i & \vec j \\ 11.182 & 0 \\ \end{matrix} \right| = 1.8 \cdot (-11.182 \vec j) = -20.13\vec j\,\mathrm{N} } .

7. A súlytalan, merev, szigetelő anyagból készült, 0,2m hosszú rúddal összekötött, Q₁ = +3x10^-9C és Q₂ = -3x10^-9 C töltéssel ellátott két fémgömböt 10⁶ N/C térerősségű homogén elektromos térbe tesszük úgy, hogy az O felezőponton keresztülmenő, a papír síkjára merőleges tengely körül elfordulhat. Mekkora munkával lehet a rendszert a legkisebb energiával bíró helyzetéből a legnagyobb energiával bíró helyzetbe átvinni?

   d = 0.2 m, Q = 3·10^-9, E = 10⁶ N/C. A két töltés 0.2 m-re egymástól dipólust alkot, így a dipólusokra vonatkozó képleteket kell használni (ha valaki a pontszerű töltésekre vonatkozó képleteket használta, és abból hozta ki valahogy a helyes eredményt, azt nem fogadták el). A dipólmomentum: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \vec p = Q \vec d} , nagysága: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle p = Q d = 3\cdot10^{-9}\cdot0.2 = 6\cdot10^{-10}\,\mathrm{Cm}} . Dipólus potenciális energiája: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle U = -\vec p \cdot \vec E = -pE \cos \alpha} . Látható hogy utóbbi akkor minimális, ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \cos \alpha = 1} , és akkor maximális, ha Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \cos \alpha = -1} . Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle W = U_{\mathrm{max}} - U_{\mathrm{min}} = (-pE \cdot -1) - (-pE \cdot 1) = 2pE = 2\cdot6\cdot10^{-10}\cdot10^6 = 1.2\cdot10^{-3}\,\mathrm{J}} .

8. 

   8. feladat

   Az ábra szerinti kapcsolásban az AB pontokra 120V feszültséget kapcsolunk. Mekkora a töltés a kondenzátoron?

   U = 120 V, R₁ = 150Ω, R₂ = 600Ω, C = 5µF. Miután a kondenzátor feltöltődött, nem folyik áram rajta, tehát olyan mintha csak a két ellenállás lenne az áramkörben. Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle I = \frac U{R_1 + R_2} = \frac{120}{150+600} = 0.16\,\mathrm A} . Így R₂-n Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle U_2 = I R_2 = 96\,\mathrm{V}} feszültség esik, vagyis ennyi lesz a potenciálkülönbség a két lába között. Ez persze csak akkor lehet, ha a kondenzátor két lába között is ekkora a potenciálkülönbség. Tehát Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle Q = CU = 5\cdot10^{-6} \cdot 96 = 4.8\cdot10^{-4}\,\mathrm{C}} .

9. Egy 4,5 V-ra feltöltött 2µF-os kondenzátorral párhuzamosan kötünk egy ismeretlen kapacitású, töltetlen kondenzátort, aminek hatására a feszültség 3,9 V-tal csökken. Mekkora az ismeretlen kapacitás?

   U₁ = 4.5 V, C₁ = 2 µF, U₂ = 0.6 V. Eredetileg Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle Q = C_1U_1 = 2\cdot10^{-6}\cdot 4.5 = 9\cdot10^{-6}\,\mathrm{C}} . A két kondenzátor eredő kapacitása Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle C_e = C_1 + C_2 = \frac{Q}{U_2}} (a töltés nem változik meg a folyamatban). Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle C_2 = \frac{Q}{U_2} - C_1 = \frac{9\cdot10^{-6}}{0.6} - 2\cdot10^{-6} = 1.3\cdot10^{-5}\,\mathrm{F} = 13\,\mathrm{\mu F}} .

10. 1,25 m magasból a 0,1 kg tömegű golyó a 0,1 s időtartamú kölcsönhatás után 80 cm magasra pattan vissza. (g=10 m/s²) Mekkora átlagos erőt fejtett ki a talaj a golyóra?

    h₁ = 1.25 m, h₂ = 0.8 m, m = 0.1 kg, t = 0.1 s. A pattanás előtt h₁ magasságból indul, az ütközés előtti sebesség kiszámolható: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle mgh_1 = \frac12m v_1^2} , Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2\cdot10\cdot1.25} = 5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} . Az ütközés utáni sebesség hasonlóan: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2\cdot10\cdot0.8} = 4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} . v₁ és v₂ azonban ellentétes irányú, így Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \Delta v = 9 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} . Ebből a gyorsulás számolható: Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \Delta v = at} => Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle t = \frac{\Delta v}{t} = \frac{9}{0.1} = 90\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}} . Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F_1 = ma = 0.1\cdot 90 = 9\,\mathrm{N}} . Ez azonban még nem minden, a labdát ezen kívül még a gravitációs erő is húzza, ami az ütközés ideje alatt szintén a padlót nyomja, tehát Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle F = F_1 + mg = 9 + 1 = 10\,\mathrm{N}} .