„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 129. sor: | 129. sor: | ||
* Amiből: | * Amiből: | ||
<math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math> | <math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math> | ||
}} | |||
<big>2)</big> <small>[2016V2]</small> Számítsuk ki az alábbi integrált: <math>\int_0^\infty \frac{\cos t-e^{-t}}{t} dt</math> | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
Laplace tulajdonságok miatt <math>\int_0^\infty \frac{f(t)}{t} dt = \int_0^\infty \mathcal{L}(f)(s) ds</math>. | |||
Jelen esetben <math>f(t) = \cos t - e^{-t}</math>, számoljuk ki az integrált: | |||
<math>\int_0^\infty \mathcal{L}(f) ds = \int_0^\infty \frac{s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} ds = \int_0^\infty \frac12 \frac{2s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} = </math> | |||
<math>\left[ \frac12 \ln|s^2+1| - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \sqrt{|s^2+1|} - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \frac{\sqrt{|s^2+1|}}{|s+1} \right]_0^\infty = \ln 1 - \ln 1 = 0</math> | |||
}} | }} | ||