„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 194. sor: | 194. sor: | ||
<math> \lambda^2 = s^2 </math> | <math> \lambda^2 = s^2 </math> | ||
<math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{ | <math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{|s|y} + c_2(s) e^{-|s|y}</math> | ||
Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó: | Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó: | ||
<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{ | <math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{|s|y} + c_2(s) e^{-|s|y} = 0</math> | ||
Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>. | Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>. | ||
| 204. sor: | 204. sor: | ||
Tehát: | Tehát: | ||
<math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{- | <math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-|s|y}</math> | ||
A kezdeti feltétel Fourier trafója: | A kezdeti feltétel Fourier trafója: | ||
| 215. sor: | 215. sor: | ||
Vagyis: | Vagyis: | ||
<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{- | <math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-|s|y}</math> | ||
<math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját: | <math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját: | ||
<math> \hat{u}(s, y) = \mathcal{F}(1) \cdot e^{-|s|y}</math> | |||
<math> u(x, y) = 1 * \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y})</math> | |||
<math> \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{x^2 + y^2}</math> | |||
<math> u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi</math> | |||
}} | }} | ||