„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 168. sor: | 168. sor: | ||
* Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet <math>\hat{y}</math>-ra): | * Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet <math>\hat{y}</math>-ra): | ||
<math>-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}' = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)</math> | <math>-s^2 \hat{y} + -\hat{y} - s\hat{y}' = \sqrt{2\pi}i\delta'(s)</math> | ||
}} | |||
<big>3)</big> <small>[2016V1]</small> Fourier transzformáció segítségével határozzuk meg u(x, t)-t, ha | |||
<math>\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0</math> | |||
<math>u(x, 0) = 1,~x \in \mathcal{R},y \geq 0</math> | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
Egy u(x, y) függvény x szerinti Fourier trafójának a definíciója: | |||
<math> \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx </math> | |||
Az egyenlet x szerinti Fourier trafója tehát: | |||
<math> -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0</math> | |||
Oldjuk meg a diff-egyenletet y-ra (az y szerinti deriváltat jelölje a vessző): | |||
<math> \hat{u}_s''(y) - s^2 \hat{u}_s(y) = 0</math> | |||
<math> \lambda^2 = s^2 </math> | |||
<math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{sy} + c_2(s) e^{-sy}</math> | |||
Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó: | |||
<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{sy} + c_2(s) e^{-sy} = 0</math> | |||
Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>. | |||
Tehát: | |||
<math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-sy}</math> | |||
A kezdeti feltétel Fourier trafója: | |||
<math> \hat{u}(0) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)</math> | |||
A két egyenletet összevetve: | |||
<math>c_2(s) = \sqrt{2 \pi} \delta (s)</math> | |||
Vagyis: | |||
<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-sy}</math> | |||
<math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját: | |||
}} | }} | ||