„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

680. sor:

Az [1,2] tartományon ennek a maximuma <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math> ami nagyobb, mint 1, ezért itt az iteráció még csak nem is konvergens. A [2, 3] tartományon a maximum <math>\frac{2}{\sqrt{17}} \approx 0.485</math>, tehát itt az iteráció gyorsabban konvergál.

}}

<big>4)</big> <small>[2016V1]</small> Newton (érintő) módszerrel keressük a <math>f(x) = 0</math> egyenlet megoldását. Adjuk meg <math>x_{k+1}</math>-et <math>x_k</math> és <math>f</math> segítségével!<br>

Legyen <math>f(x) = e^x - 1,~x\in[-a, a]</math>. Adjuk meg <math>a</math>-t úgy, hogy a módszer konvergáljon!<br>

Mi a konvergencia sebessége?

{{Rejtett

|mutatott=Megoldás:

|szöveg=

A konvergencia feltétele: <math>|I| \left| \frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2} \right| < 1</math> a tartomány összes pontján, illetve ezt közelíthetjük a számláló maximumával és nevező minimumával:

<math>2a \left| \frac{\max_I ((e^x - 1) e^x)}{\min_I (e^x)^2} \right| = 2a \frac{(e^a - 1) e^a}{\left(e^{-a}\right)^2} = 2a (e^a - 1) e^{3a} < 1</math>

A konvergencia sebessége: <math>\epsilon_{k+1} \le \frac{|f''|}{2|f'|} \epsilon_k^2</math>, vagy egyszerűbb alakban: <math>d_k \le d_0^{2k}</math>

}}

@@ 680. sor: / 680. sor: @@
 Az [1,2] tartományon ennek a maximuma <math>\frac{2}{\sqrt{3}}</math> ami nagyobb, mint 1, ezért itt az iteráció még csak nem is konvergens. A [2, 3] tartományon a maximum <math>\frac{2}{\sqrt{17}} \approx 0.485</math>, tehát itt az iteráció gyorsabban konvergál.
+}}
+<big>4)</big> <small>[2016V1]</small> Newton (érintő) módszerrel keressük a <math>f(x) = 0</math> egyenlet megoldását. Adjuk meg <math>x_{k+1}</math>-et <math>x_k</math> és <math>f</math> segítségével!<br>
+Legyen <math>f(x) = e^x - 1,~x\in[-a, a]</math>. Adjuk meg <math>a</math>-t úgy, hogy a módszer konvergáljon!<br>
+Mi a konvergencia sebessége?
+{{Rejtett
+|mutatott=Megoldás:
+|szöveg=
+<math>x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math>
+A konvergencia feltétele: <math>|I| \left| \frac{f(x)f''(x)}{f'(x)^2} \right| < 1</math> a tartomány összes pontján, illetve ezt közelíthetjük a számláló maximumával és nevező minimumával:
+<math>2a \left| \frac{\max_I ((e^x - 1) e^x)}{\min_I (e^x)^2} \right| = 2a \frac{(e^a - 1) e^a}{\left(e^{-a}\right)^2} = 2a (e^a - 1) e^{3a} < 1</math>
+A konvergencia sebessége: <math>\epsilon_{k+1} \le \frac{|f''|}{2|f'|} \epsilon_k^2</math>, vagy egyszerűbb alakban: <math>d_k \le d_0^{2k}</math>
 }}