„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
aNincs szerkesztési összefoglaló |
|||
| 109. sor: | 109. sor: | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
* Számoljuk ki <math>\mathcal{L}'(f)</math>-et! | * Számoljuk ki <math>\mathcal{L}'(f)</math>-et! | ||
<math>\mathcal{L}'(f) = s\mathcal{L}(f) | <math>\mathcal{L}'(f) = s\mathcal{L}(f) - \lim_{x \to 0+}f(x)</math> | ||
* Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét: | * Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét: | ||
** Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: <math>lim_{s \to \infty}\mathcal{L}'(f)=0</math> | ** Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: <math>lim_{s \to \infty}\mathcal{L}'(f)=0</math> | ||
** <math>lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0</math> | ** <math>lim_{s \to \infty}s\mathcal{L}(f) = lim_{s \to \infty}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8} = 0</math> | ||
* Tehát: | * Tehát: | ||
<math>0 = 0 | <math>0 = 0 - f(0+)</math> | ||
* Amiből: | * Amiből: | ||
<math>f(0+) = 0</math> | <math>f(0+) = 0</math> | ||
* Csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}''(f)</math>-re! | * Csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}''(f)</math>-re! | ||
<math>\mathcal{L}''(f) = s^2\mathcal{L}(f) | <math>\mathcal{L}''(f) = s^2\mathcal{L}(f) - sf(0+) - f'(0+)</math> | ||
* Vagyis: | * Vagyis: | ||
<math>0 = \frac{1}{5} | <math>0 = \frac{1}{5} - 0 - f'(0+)</math> | ||
* Amiből: | * Amiből: | ||
<math>f'(0+) = | <math>f'(0+) = \frac{1}{5}</math> | ||
* Végül csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}'''(f)</math>-re! | * Végül csináljuk meg ugyanezt <math>\mathcal{L}'''(f)</math>-re! | ||
<math>\mathcal{L}'''(f) = s^3\mathcal{L}(f) | <math>\mathcal{L}'''(f) = s^3\mathcal{L}(f) - s^2f(0+) - sf'(0+) - f''(0+)</math> | ||
* Itt a határérték picit bonyolultabb: | * Itt a határérték picit bonyolultabb: | ||
<math>0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} | <math>0 = lim_{s \to \infty}(\frac{s}{5} - 0 - \frac{s}{5} - f''(0+))</math> | ||
* Amiből: | * Amiből: | ||
<math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math> | <math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math> | ||