„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 730. sor: / 730. sor: @@
 <big>2)</big> <small>[2016ZH2]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>3x^2 + y^2 + z^2 - xy</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)
-<hr>
+{{Rejtett
+|mutatott=Megoldás:
+|szöveg=
+<math>F = 3x^2 + y^2 + z^2 - xy - \lambda(x^2 + y^2 + z^2 - 1)</math>
+<math>\frac{\partial F}{\partial x} = 6x - y - 2\lambda x = 0</math>
+<math>\frac{\partial F}{\partial y} = 2y - x - 2\lambda y = 0</math>
+<math>\frac{\partial F}{\partial z} = 2z  - 2\lambda z = 0</math>
+<math>\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0</math>
+A harmadik egyenletből:
+<math>(1 - \lambda)z = 0</math>
+Azaz <math>\lambda = 1</math> vagy <math>z = 0</math>
+* <math>\lambda = 1</math> eset: <math>x = y = 0</math>, <math>z = \lambda = 1</math>
+* <math>z = 0</math> eset:
+Az első egyenletből: <math>y = (6-2\lambda)x</math>
+Az második egyenletből egyenletből:
+<math>2(6-2\lambda)x - x - 2\lambda (6-2\lambda)x = 0</math>
+<math>(4 \lambda^2 - 16\lambda + 11)x = 0</math> (x = 0: ellentmondás)
+<math>4 \lambda^2 - 16\lambda + 11 = 0</math>
+<math>\lambda_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{80}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}</math>
+A negyedik egyenlet alapján:
+<math>x^2 + (2 \pm \sqrt{5})^2 x^2 = 1</math>
+Vagyis a megoldások (4 db):
+<math>x = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + (2 \pm \sqrt{5})^2}}, ~y= \pm(2 \pm \sqrt{5}) \sqrt{\frac{1}{1 + (2 \pm \sqrt{5})^2}},~z=0, \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{5}}{2}</math>
+}}
 <big>3)</big> <small>[2016PZH]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!