„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 570. sor: | 570. sor: | ||
* A Jordan-normál forma (sajátértékek főátalóban, itt már számít a skalár szorzó) és a transzformációs mátrix (sajátvektorok alkotta mátrix): | * A Jordan-normál forma (sajátértékek főátalóban, itt már számít a skalár szorzó) és a transzformációs mátrix (sajátvektorok alkotta mátrix): | ||
<math>J = \begin{bmatrix} \frac{3}{6} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{6}\end{bmatrix},~T = \begin{bmatrix} s_{-3, 1} & s_{-3, 2} & s_{-2}\end{bmatrix} | <math>J = \begin{bmatrix} \frac{3}{6} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{6} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{6}\end{bmatrix},~T = \begin{bmatrix} s_{-3, 1} & s_{-3, 2} & s_{-2}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1\end{bmatrix}</math> | ||
* A végeredményt az alábbi alakban kapjuk majd meg: <math>u = T (\sum_{k=0}^\infty J^k) T^{-1} b</math>. Ehhez viszont először invertálni kell T-t. | * A végeredményt az alábbi alakban kapjuk majd meg: <math>u = T (\sum_{k=0}^\infty J^k) T^{-1} b</math>. Ehhez viszont először invertálni kell T-t. | ||
| 579. sor: | 579. sor: | ||
* Számoljuk ki <math>\sum_{k=0}^\infty J^k</math>-t! | * Számoljuk ki <math>\sum_{k=0}^\infty J^k</math>-t! | ||
<math>\sum_{k=0}^\infty J^k = \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k & 0 & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k & 0 \\ 0 & 0 & \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{3})^k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | <math>\sum_{k=0}^\infty J^k = \begin{bmatrix} \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k & 0 & 0 \\ 0 & \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{2})^k & 0 \\ 0 & 0 & \sum_{k=0}^\infty(\frac{1}{3})^k\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}</math> | ||
* A végeredmény tehát (a mátrix szorzásokat már nem kell elvégezni): | * A végeredmény tehát (a mátrix szorzásokat már nem kell elvégezni): | ||
<math>u = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} | <math>u = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 0 \\1 & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}</math> | ||
}} | }} | ||