„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 711. sor: | 711. sor: | ||
}} | }} | ||
<big>2)</big> <small>[2016ZH2]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>3x^2 + y^2 + z^2 - xy</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!) | <big>2)</big> <small>[2016ZH2]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>3x^2 + y^2 + z^2 - xy</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!) | ||
<hr> | <hr> | ||
<big>3)</big> <small>[2016PZH]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét! | <big>3)</big> <small>[2016PZH]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét! | ||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
<math>F = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 1)</math> | |||
<math>\frac{\partial F}{\partial x} = 2x - 2y -2z -2 \lambda x = 0</math> | |||
<math>\frac{\partial F}{\partial y} = 2y - 2x - 2 \lambda y = 0</math> | |||
<math>\frac{\partial F}{\partial y} = 2z - 2x - 2 \lambda z = 0</math> | |||
<math>\frac{\partial F}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0</math> | |||
Vonjuk ki a második egyenletből a harmadikat: | |||
<math>(1 - \lambda)(y - z) = 0</math> | |||
Azaz <math>\lambda = 1</math> vagy <math>y = z</math> | |||
* <math>\lambda = 1</math> | |||
A második és harmadik egyenlet is azt adja, hogy: | |||
<math>x = 0</math> | |||
Az első egyenlet alapján: | |||
<math>y = -z</math> | |||
Tehát a két megoldás (a negyedik egyenlet alapján): | |||
<math>(0, \sqrt(2), -\sqrt(2), 1)</math> és <math>(0, -\sqrt(2), \sqrt(2), 1)</math> | |||
* <math>y = z</math> eset | |||
<math>(1 - \lambda) x - 2y = 0</math> | |||
<math>(1 - \lambda) y - x = 0</math> | |||
<math>x^2 + 2y^2 = 1</math> | |||
A második egyenletből: | |||
<math>x = (1 -\lambda) y</math> | |||
Az első egyenletbe írva: | |||
<math>(1 - \lambda)^2 y - 2y = 0</math> | |||
<math>-(\lambda^2 + 1)y = 0</math> | |||
Azaz <math>y = z = x = 0</math>, ellentmondás. | |||
}} | |||
== Variáció számítás == | == Variáció számítás == | ||