„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 343. sor: | 343. sor: | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
* Az <math>U(x, t)</math>-t keressük szorzat alakban: <math>U(x, t) = X(x)T(T)</math> | * Az <math>U(x, t)</math>-t keressük szorzat alakban: <math>U(x, t) = X(x)T(T)</math> | ||
* A diffegyenlet így átírva: <math>X(t)\ddot{T}(t) = 4 | * A diffegyenlet így átírva: <math>X(t)\ddot{T}(t) = 4 \cdot X''(x)T(T)</math> | ||
* Ez így már szeparálható | * Ez így már szeparálható: | ||
** Figyeljünk arra, hogy a deriváltak a számlálóban legyenek | |||
** A szeparálás utáni hányadosokról pedig tudjuk, hogy negatívak (innen jön a <math>-b^2</math>) | |||
<math>4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{\ddot{T}(t)}{T(T)} = -b^2</math> | <math>4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{\ddot{T}(t)}{T(T)} = -b^2</math> | ||
* Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel. | * Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel. | ||
** Az első két féltétel átírva: X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0, minden t-re, vagyis X(0) = X(3) = 0 | ** Az első két féltétel átírva: <math>X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0</math>, minden t-re, vagyis <math>X(0) = X(3) = 0</math> | ||
** Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet! | ** Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet! | ||
* Oldjuk meg a diff-egyenletet: | * Oldjuk meg a diff-egyenletet: | ||
| 416. sor: | 418. sor: | ||
<math>u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0</math> | <math>u(x, 0) = 12\cos\frac{3\pi}{5}x,~\frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = ~\frac{\partial u}{\partial x}(5, t) = 0</math> | ||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
<math>X(x)\ddot{T}(t) = 9 X''(x)T(t)</math> | |||
<math>\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = \frac{9 X''(x)}{X(x)} = -b^2</math> | |||
Először oldjuk meg x-re: | |||
<math>\frac{9 X''(x)}{X(x)} = -b^2</math> | |||
<math>9 \lambda^2 = -b^2</math> | |||
<math>\lambda = \pm i \frac{b}{3}</math> | |||
<math>X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{3}x} + c_2 \sin{\frac{b}{3}x}</math> | |||
<math>X'(x) = -c_1\frac{b}{3} \sin{\frac{b}{3}x} + c_2\frac{b}{3} \cos{\frac{b}{3}x}</math> | |||
<math>X'(0) = c_2\frac{b}{3} = 0</math> | |||
A <math>b = 0</math>-hoz tartozó <math>X(x) = 0</math> megoldás nem érdekel minket, tehát <math>c_2 = 0</math>. | |||
<math>X'(5) = -c_1\frac{b}{3} \sin{\frac{b}{3}5} = 0</math> | |||
Az X azonosan nulla megoldás megint nem érdekel minket, így: | |||
<math>\frac{5}{3}b = k\pi</math> | |||
<math>b = \frac{3}{5}k\pi</math> | |||
Most oldjuk meg a T-re vonatkozó diff-egyenletet | |||
<math>\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -( \frac{3}{5}k\pi)^2</math> | |||
<math>\lambda^2 = -( \frac{3}{5}k\pi)^2</math> | |||
<math>\lambda = \pm i \frac{3}{5}k\pi</math> | |||
<math>T_k(t) = a_k \cos{\frac{3}{5}k\pi t} + b_k \sin{\frac{3}{5}k\pi t}</math> | |||
Írjuk fel <math>U_k(x, t)</math>-t! | |||
<math>U_k(x, t) = A_k \cos{k\pi x} \cos{\frac{3}{5}k\pi t} + B_k \cos{k\pi x} \sin{\frac{3}{5}k\pi t} </math> | |||
Majd pedig az ebből generált sort: | |||
<math>U(x, t) = \sum_{k=0}^\infty A_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \cos{\frac{3}{5}k\pi t} + B_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} \sin{\frac{3}{5}k\pi t} </math> | |||
<math>U(x, 0) = \sum_{k=0}^\infty A_k \cos{\frac{1}{5}k\pi x} = 12\cos\frac{3\pi}{5}x</math> | |||
<math>A_5 = 12</math>, minden más <math>A_i</math> pedig nulla. | |||
}} | |||
== Parcdiff egyenletek (véges differenciák) == | == Parcdiff egyenletek (véges differenciák) == | ||