„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 535. sor: | 535. sor: | ||
<math>|f'| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1\right|</math> | <math>|f'| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1\right|</math> | ||
<math>|f''| = \left|\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx + 1 - sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right|</math> | <math>|f''| = \left|\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx - sinh^2x + (cosh^2x - sinh^2x)}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| \left|\frac{coshx - sinh^2x + 1}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right|</math> | ||
Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma) | Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma, tehát az x helyére mindenhova négyet vagy ötöt írunk) | ||
<math>min_I|f'| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}} - 1\right|</math> | <math>min_I|f'| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}} - 1\right|</math> | ||
<math>max_I|f''| \leq \left|\frac{cosh4 | <math>max_I|f''| \leq \left|\frac{cosh4 - sinh^25 + 1}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}\right|</math> | ||
<math>I < \frac{2 \cdot min_I|f'|}{max_I|f''|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 | <math>I < \frac{2 \cdot min_I|f'|}{max_I|f''|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 - sinh^25 + 1}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}} \right|</math> | ||
<big>b)</big> Az iteráció konvergens ha <math>|g(x)'| < 1 </math> a tartomány összes pontján. | <big>b)</big> Az iteráció konvergens ha <math>|g(x)'| < 1 </math> a tartomány összes pontján. | ||
| 555. sor: | 555. sor: | ||
}} | }} | ||
<big>2)</big> <small>[2016ZH2]</small> Tekintsük az <math>e^x - 2 = x</math> egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? | <big>2)</big> <small>[2016ZH2]</small> Tekintsük az <math>e^x - 2 = x</math> egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? | ||
< | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
* Iteráció: <math>|g'(x)| = e^x > 1</math>, az [1, 2] intervallum összes pontján. Ebből következik, hogy az iteráció bármely részintervallumon divergens lesz, tehát nem használható. | |||
* Húrmódszer: | |||
<math>|I| \frac{max_I|f''|}{2 min_I|f'|} = |I| \frac{e^5}{2e^4} < 1</math> | |||
Vagyis az algoritmus konvergens, ha <math>|I| < \frac{2e^4}{e^5}</math> | |||
}} | |||
<big>3)</big> <small>[2016PZH]</small> Az <math>arsh 2x = x</math> egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n? | <big>3)</big> <small>[2016PZH]</small> Az <math>arsh 2x = x</math> egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n? | ||