„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

@@ 645. sor: / 645. sor: @@
 <math>y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}</math>
+{{Rejtett
+|mutatott=Megoldás:
+|szöveg=
+<math>\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y'} = 2x - \frac{d}{d x}3y'^2 = 2x - 6y'y'' = 0</math>
+Vezessünk be egy <math>p = y' = \frac{dy}{dx}, ~y'' = p'</math> változót, és erre oldjuk meg a differenciálegyenletet (ha az egyenletből az x hiányozna, akkor y szerinti deriválásra kéne áttérni).
+<math>x = 3 p \frac{dp}{dx}</math>
+<math>3 p~dp = x~dx</math>
+<math>\frac{3}{2} p^2 = \frac{x^2}{2} + c</math>
+Írjuk vissza az y'-t p helyére
+<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{x^2}{3} + c_2</math>
+<math>dy^2 = \left(\frac{x^2}{3} + c_2\right)dx^2</math>
+<math>dy = \pm \left(\sqrt{\frac{1}{3}} \sqrt{x^2 + c_3}\right) dx</math>
+Ez egy sokkal nehezebb integrál, mint ami ZH-kon elő szokott fordulni (valószínűleg elszámoltam valamit).
+Amúgy megoldható <math>x = tan(\theta)</math> és <math>dx = sec^2(\theta) d\theta</math> helyettesítéssel, és ez lesz a eredménye:
+<math>y = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} (x \sqrt{x^2 + c_3}+c_3 log(\sqrt{x^2 + c_3}+x)) + d</math>
+A két kezdeti feltételt felhasználva ki lehet számolni a két konstans értékét (<math>c_3, d</math>). De ez megint sokkal bonyolultabb, mint ami ZH-n elő szokott fordulni. Újabb jele annak, hogy valamit elszámoltam.
+}}