„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 606. sor: | 606. sor: | ||
<math>y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}</math> | <math>y(-1) = \frac{1}{6},~y(2)=\frac{5}{3}</math> | ||
< | {{Rejtett | ||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
Ez a feladattípus arról szól, hogy használjuk az Euler-Lagrange (EL) egyenletet: <math>\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y'} = 0</math> | |||
* Vegyük észre, hogy két különböző deriváltjel szerepel a képletben, és ezek mást jelentenek. | |||
* A <math>\frac{\partial}{\partial x}</math> azt jelenti, hogy csak az <math>x</math>-et közvetlenül tartalmazó tagokat deriváljuk, de az <math>x</math>-től függő <math>y(x)</math> függvényt már konstansnak (független változónak) tekintjük a deriválás szempontjából. | |||
** <math>\frac{\partial x}{\partial x} = 1,~\frac{\partial y(x)}{\partial x} = 0,~\frac{\partial y'(x)}{\partial x} = 0</math> | |||
* A <math>\frac{d}{d x}</math> esetében mindent deriválunk <math>x</math> szerint, ami függ <math>x</math>-től. | |||
** <math>\frac{d x}{d x} = 1,~\frac{d y(x)}{d x} = y'(x),~\frac{d y'(x)}{d x} = y''(x)</math> | |||
Az f függvény, amire alkalmazni kell az EL-t, az az integrál belseje: <math>f(x, y, y') = y'^2 + x^3 - 2xy</math>. Ha lenne feltétel is, akkor ugyanúgy be kéne vezetni egy <math>F = f - \lambda g</math> függvényt, és arra kéne megoldani az EL-t. | |||
<math>\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{d x}\frac{\partial f}{\partial y'} = 2x - \frac{d}{d x}2y' = 2x - 2y'' = 0</math> | |||
<math>y''(x) = x</math> | |||
<math>y'(x) = \frac{x^2}{2} + c</math> | |||
<math>y(x) = \frac{x^3}{6} + cx + d</math> | |||
A kezdeti felételeket felhasználva: | |||
<math>y(-1) = -\frac{1}{6} - c + d = \frac{1}{6}</math> | |||
<math>d = \frac{1}{3} + c</math> | |||
<math>y(2) = \frac{8}{6} + 2c + d = \frac{5}{3} + 3c = \frac{5}{3}</math> | |||
Tehát <math>c = 0,~d = \frac{1}{3}</math>, azaz a megoldás: | |||
<math>y(x) = \frac{x^3}{6} + \frac{1}{3}</math>. | |||
}} | |||
<big>2)</big> <small>[2015ZH2]</small> Keressük meg az <math>I(y)</math> funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt! | <big>2)</big> <small>[2015ZH2]</small> Keressük meg az <math>I(y)</math> funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt! | ||