„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

564. sor:

Azaz <math>\lambda = 0</math> vagy <math>x = y</math>

* <math>\lambda = 0</math> eset: <math>x = y = z = \lambda = 0 (ellentmondás, x,y,z pozitív)~~</math>~~

* <math>\lambda = 0</math> eset: <math>x = y = z = \lambda = 0</math> (ellentmondás: x, y, z pozitív a feladat szerint)

* <math>x = y</math> eset:

573. sor:

Vagyis (ismerve, hogy <math>\lambda \neq 0</math>):

<math>x = y = z = \lambda = 1</math>

A definitséghez szükség van ebben a pontban a feltétel gradiensére:

<math>grad(g) = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}</math>

Illetve a gradiensre merőleges vektorok alakjára (skalárszorzat alapján: <math><\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}> = 0</math>)

<math>\begin{bmatrix}3x & 3y & -x-2y\end{bmatrix}</math>

Ezen kívül még az F Hesse mátrixa is kelle fog ebben a pontban:

<math>\left. \begin{bmatrix}{F_{xx}}'' & {F_{xy}}'' & {F_{xz}}'' \\ {F_{yx}}'' & {F_{yy}}'' & {F_{yz}}'' \\ {F_{zx}}'' & {F_{zy}}'' & {F_{zz}}''\end{bmatrix} \right|_{x=1,y=1,z=1} = \left. \begin{bmatrix}0 & 2yz^3 & 3y^2z^2 \\ 2yz^3 & 2xz^3 & 6xyz^2 \\ 3y^2z^2 & 6xyz^2 & 6xy^2z \end{bmatrix}\right|_{x=1,y=1,z=1} = \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 6 \end{bmatrix}</math>

A definitséghez szorozzuk meg a Hesse mátrixot a gradiensre merőleges vektorokkal mindkét oldalról:

<math>\begin{bmatrix}3x & 3y & -x-2y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3x & -6y & 3x + 6y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = -9x - 18y^2 -3x^2 -6xy -6xy -12y^2 = -12x^2 -12xy - 30y^2 = -6 (x^2 + xy + 5y^2) </math>

Ennek az előjele lehet pozitív és negatív is x és y értékétől függően, vagyis a mátrix indefinit, azaz itt nincs szélsőérték.

(Ha mindig pozitív lett volna, az minimum helyet jelölt volna, ha mindig negatív akkor maximum, ha mindig nulla, akkor pedig nyereg pont.)

}}

@@ 564. sor: / 564. sor: @@
 Azaz <math>\lambda = 0</math> vagy <math>x = y</math>
-* <math>\lambda = 0</math> eset: <math>x = y = z = \lambda = 0 (ellentmondás, x,y,z pozitív)</math>
+* <math>\lambda = 0</math> eset: <math>x = y = z = \lambda = 0</math> (ellentmondás: x, y, z pozitív a feladat szerint)
 * <math>x = y</math> eset:
@@ 573. sor: / 573. sor: @@
 Vagyis (ismerve, hogy <math>\lambda \neq 0</math>):
 <math>x = y = z = \lambda = 1</math>
+A definitséghez szükség van ebben a pontban a feltétel gradiensére:
+<math>grad(g) = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}</math>
+Illetve a gradiensre merőleges vektorok alakjára (skalárszorzat alapján: <math><\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}x & y & z\end{bmatrix}> = 0</math>)
+<math>\begin{bmatrix}3x & 3y & -x-2y\end{bmatrix}</math>
+Ezen kívül még az F Hesse mátrixa is kelle fog ebben a pontban:
+<math>\left. \begin{bmatrix}{F_{xx}}'' & {F_{xy}}'' & {F_{xz}}'' \\ {F_{yx}}'' & {F_{yy}}'' & {F_{yz}}'' \\ {F_{zx}}'' & {F_{zy}}'' & {F_{zz}}''\end{bmatrix} \right|_{x=1,y=1,z=1} =  \left. \begin{bmatrix}0 & 2yz^3 & 3y^2z^2 \\ 2yz^3 & 2xz^3 & 6xyz^2 \\ 3y^2z^2 & 6xyz^2 & 6xy^2z \end{bmatrix}\right|_{x=1,y=1,z=1} = \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 6 \end{bmatrix}</math>
+A definitséghez szorozzuk meg a Hesse mátrixot a gradiensre merőleges vektorokkal mindkét oldalról:
+<math>\begin{bmatrix}3x & 3y & -x-2y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-3x & -6y & 3x + 6y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3x \\ 3y \\ -x-2y\end{bmatrix} = -9x - 18y^2 -3x^2 -6xy -6xy -12y^2 = -12x^2 -12xy - 30y^2  = -6 (x^2 + xy + 5y^2) </math>
+Ennek az előjele lehet pozitív és negatív is x és y értékétől függően, vagyis a mátrix indefinit, azaz itt nincs szélsőérték.
+(Ha mindig pozitív lett volna, az minimum helyet jelölt volna, ha mindig negatív akkor maximum, ha mindig nulla, akkor pedig nyereg pont.)
 }}