„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 547. sor: | 547. sor: | ||
<math>F = f - \lambda g</math> | <math>F = f - \lambda g</math> | ||
* A szélsőérték akkor létezhet, ha az összes | * A szélsőérték akkor létezhet, ha az összes változó szerinti derviált nulla: | ||
<math>\frac{\partial F}{\partial x} = y^2z^3 - \lambda = 0</math> | <math>\frac{\partial F}{\partial x} = y^2z^3 - \lambda = 0</math> | ||
| 556. sor: | 556. sor: | ||
<math>\frac{\partial F}{\partial \lambda} = g = x + 2y + 3z - 6 = 0</math> | <math>\frac{\partial F}{\partial \lambda} = g = x + 2y + 3z - 6 = 0</math> | ||
Az első egyenlet 2x szeresét a második egyenlet y szorosával egyenlővé téve: | |||
<math>2xy^2z^3 - 2 \lambda x = 2xy^2z^3 - 2\lambda y</math> | |||
<math>\lambda x = \lambda y</math> | |||
Azaz <math>\lambda = 0</math> vagy <math>x = y</math> | |||
* <math>\lambda = 0</math> eset: <math>x = y = z = \lambda = 0 (ellentmondás, x,y,z pozitív)</math> | |||
* <math>x = y</math> eset: | |||
Az második egyenlet 3y szeresét a harmadik egyenlet 2z szeresét egyenlővé téve: | |||
<math>6x^3z^3 - 6\lambda x = 6x^3z^3 - 6\lambda z</math> | |||
Vagyis (ismerve, hogy <math>\lambda \neq 0</math>): | |||
<math>x = y = z = \lambda = 1</math> | |||
}} | }} | ||