Analízis (MSc) típusfeladatok

Integrál trafók témakör

Laplace trafó diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

$\dot{x}(t)=2y(t)-x(t)+1$

$\dot{y}(t)=3y(t)-2x(t)$

$x(0)=0,y(0)=1$

Megoldás:

• Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját ($X:={ℒ}(x),Y:={ℒ}(y)$):

$sX-x(0)=2Y-X+\frac{1}{s}$

$sY-y(0)=3Y-2X$

• Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:

$(s+1)X+(-2)Y=\frac{1}{s}$

$(2)X+(s-3)Y=1$

• Mátrixos alakra hozva:

$\left[\begin{array}{cc}s+1& -2\\ 2& s-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{s}\\ 1\end{array}\right]$

• Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):

$X=\frac{det\left(\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{s}& -2\\ 1& s-3\end{array}\right]\right)}{det\left(\left[\begin{array}{cc}s+1& -2\\ 2& s-3\end{array}\right]\right)}=\frac{\frac{s-3}{s}+2}{(s+1)(s-3)+4}=\frac{3(s-1)}{s(s^2-2s+1)}=\frac{3(s-1)}{s(s-1{)}^2}=\frac{3}{s(s-1)}$

• Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:

$\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}=\frac{A(s-1)+Bs}{s(s-1)}=\frac{3}{s(s-1)}$

• Együtthatókat összehasonlítva:

$A+B=0,-A=3$

• Ahonnan:

$A=-3,B=3$

• Vagyis $X(s)=\frac{-3}{s}+\frac{3}{s-1}$

• Tehát a táblázat alapján $x(t)=-3+3e^t$

2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

$\ddot{x}(t)=2x(t)-3y(t)$

$\ddot{y}(t)=x(t)-2y(t)$

$x(0)=\dot{x}(0)=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$

Megoldás:

• Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját:

$s^{2}X-sx(0)-\dot{x}(0)=2X-3Y$

$s^{2}Y-sy(0)-\dot{y}(0)=X-2Y$

• Átrendezve és mátrixos alakra hozva:

$\left[\begin{array}{cc}{s}^2-2& 3\\ -1& s^2+2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

• Megoldás X-re:

$X=\frac{det\left(\left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& s^2+2\end{array}\right]\right)}{det\left(\left[\begin{array}{cc}{s}^2-2& 3\\ -1& s^2+2\end{array}\right]\right)}=\frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3}=\frac{-3}{s^4-1}=\frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}$

• Parc törtek:

$\frac{A}{s^2-1}+\frac{B}{s^2+1}=\frac{(A+B)s^2+(A-B)}{s^4-1}=\frac{-3}{s^4-1}$

• Ahonnan:

$A=-\frac{3}{2},B=\frac{3}{2}$

• Inverz Laplace után: $x(t)=-\frac{3}{2}sht+\frac{3}{2}sint$

3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a $y^{″}+x{y}^{\prime }=x$ differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Megoldás:

• Számítsuk ki a tagok Laplace trafóját (x szerint):
  • ${{ℒ}}_x(y^{″})=s^{2}Y-sy(0)-y^{\prime }(0)$
  • ${{ℒ}}_x(x{y}^{\prime })=-({{ℒ}}_x(y^{\prime }){)}^{\prime }=-(sY-y(0){)}^{\prime }=-(s^{\prime }Y+s{Y}^{\prime })=-Y-s{Y}^{\prime }$
  • ${{ℒ}}_x(x)=\frac{1}{s^2}$
• Tehát az egyenlet Laplace transzformáltja (elsőrendű Y-ban):

$s^{2}Y-sy(0)-y^{\prime }(0)+-Y-s{Y}^{\prime }=\frac{1}{s^2}$

Laplace trafó szabályok alkalmazása

1) [2016PZH] Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:

$\underset{x\to 0+}{\lim }{f}^{\prime }(x)=?,\underset{x\to 0+}{\lim }{f}^{″}(x)=?,ha{ℒ}(f)=\frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}$

Megoldás:

• Számoljuk ki ${{ℒ}}^{\prime }(f)$-et!

${{ℒ}}^{\prime }(f)=s{ℒ}(f)+\underset{x\to 0+}{\lim }f(x)$

• Vegyük ennek az egyenletnek a végtelenben vett határértékét:
  • Egy Laplace trafó, és annak bármelyik deriváltja nullázhoz tart a végtelenben: $li{m}_{s\to \mathrm{\infty }}{{ℒ}}^{\prime }(f)=0$
  • $li{m}_{s\to \mathrm{\infty }}s{ℒ}(f)=li{m}_{s\to \mathrm{\infty }}\frac{s(s^2-3s+1)}{5s^4-4s^3+8}=0$
• Tehát:

$0=0+f(0+)$

• Amiből:

$f(0+)=0$

• Csináljuk meg ugyanezt ${{ℒ}}^{″}(f)$-re!

${{ℒ}}^{″}(f)=s^2{ℒ}(f)+sf(0+)+f^{\prime }(0+)$

• Vagyis:

$0=\frac{1}{5}+0+f^{\prime }(0+)$

• Amiből:

$f^{\prime }(0+)=-\frac{1}{5}$

• Végül csináljuk meg ugyanezt ${{ℒ}}^{‴}(f)$-re!

${{ℒ}}^{‴}(f)=s^3{ℒ}(f)+s^{2}f(0+)+s{f}^{\prime }(0+)+f^{″}(0+)$

• Itt a határérték picit bonyolultabb:

$0=li{m}_{s\to \mathrm{\infty }}(\frac{s}{5}+0-\frac{s}{5}+f^{″}(0+))$

• Amiből:

$li{m}_{s\to \mathrm{\infty }}(f^{″}(0+))=f^{″}(0+)=0$

Fourier diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! $y^{\prime }(x)-4y(x)=8$

Megoldás:

• Vegyük az egyenlet Fourier trafóját (a táblázatban a Fourier trafó y függvénye, de az y itt mást jelent, a táblázatbeli y-ok helyére írjuk s-t, illetve vezessük be az alábbi jelölést: $Y={ℱ}(y)$)!:

$isY-4Y=8\sqrt{2\pi }\delta (s)$

• Átrendezve:

$-i(s+4i)Y=8\sqrt{2\pi }\delta (s)$

• Aminek a disztribúció értelemben vett megoldás Y-ra:
  • Ha $s+4i\ne 0$, akkor leoszthatunk vele.
  • Ha $s+4i=0$, akkor $0\cdot Y(-4i)=0$, vagyis $Y(-4i)$ bármilyen konstans lehet, ezt jelöljük pl c-vel.

$Y=c\cdot \delta (s+4i)+\frac{8\sqrt{2\pi }\delta (s)}{is-4}$

• Az összeg jobboldali tagja egyszerűsíthető, ha kihasználjuk, hogy az egy disztribúció (a $\delta (s)$ a nevezőben lévő s-be is nullát helyettesít):

$\frac{8\sqrt{2\pi }\delta (s)}{is-4}(\phi )=\delta (s)\frac{8\sqrt{2\pi }}{is-4}(\phi )=\delta (s)(\frac{8\sqrt{2\pi }}{is-4}\phi )=\frac{8\sqrt{2\pi }}{i0-4}\phi (0)=-2\sqrt{2\pi }\delta (s)$

• Vagyis:

$Y=c\cdot \delta (s+4i)+-2\sqrt{2\pi }\delta (s)$

• Aminek vegyük az inverz Fourier transzformáltját:
  • Megjegyzés: A táblázatban szerepel ${ℱ}(f(t)+a)=e^{ias}{ℱ}(f(t))$, de nekünk inverz trafó kell
  • ${{ℱ}}^{-1}(F(s)+a)={ℱ}(F(s)+a){|}_{t=-s}=e^{ia(-t)}({ℱ}(F(s)){|}_{t=-s})=e^{ia(-t)}{{ℱ}}^{-1}(F(s))$

$y(t)=c{e}^{4t}-2$

2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a $y^{″}+x{y}^{\prime }=x$ differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Megoldás:

• Számítsuk ki az egyenlet tagjainak Fourier trafóját (x szerint):
  • ${{ℱ}}_x(y^{″})=i^2{s}^2\hat{y}=-s^2\hat{y}$
  • ${{ℱ}}_x(x{y}^{\prime })=\frac{{{ℱ}}_x(y^{\prime }{)}^{\prime }}{-i}=i{{ℱ}}_x(y^{\prime }{)}^{\prime }=i(is\hat{y}{)}^{\prime }=-(s\hat{y}{)}^{\prime }=-\hat{y}-s{\hat{y}}^{\prime }$
  • ${{ℱ}}_x(x)=\sqrt{2\pi }i{\delta }^{\prime }(s)$
• Vagyis az egyenlet Fourier trafója (elsőrendű diff-egyenlet $\hat{y}$-ra):

$-s^2\hat{y}+-\hat{y}-s{\hat{y}}^{\prime }=\sqrt{2\pi }i{\delta }^{\prime }(s)$

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) [2015ZH1] Számítsuk ki az $f(x)=3x{e}^{-x}H(x)$ Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy ${ℱ}(e^{-x}H(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{1+iy}$

Megoldás:

Vezessük be a $g(x)=e^{-x}H(x)$ jelölést!

${ℱ}(f(x))=3{ℱ}(x\cdot g(x))=3\cdot \frac{{ℱ}(g(x){)}^{\prime }}{-i}=3i\cdot (\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{1+iy}{)}^{\prime }=3i\cdot (-1)\cdot i\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{(1+iy{)}^2}=3\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{(1+iy{)}^2}$

Disztribúciók

1) [2015ZH1] Adjuk meg $\delta$ és ${\delta }^{\prime }$ lineáris kombinációjaként az $e^{3x-2}{\delta }^{\prime }(x)$ disztribúciót!

Megoldás:

• Nézzük meg, hogy egy $\phi$ függvényre hogyan viselkedik a feladatban szereplő disztribúció!

$(e^{3x-2}{\delta }^{\prime }(x))(\phi )={\delta }^{\prime }(x)(e^{3x-2}\phi )=-\delta (x)(e^{3x-2}\phi {)}^{\prime }=-\delta (x)(3\cdot e^{3x-2}\phi +e^{3x-2}{\phi }^{\prime })=-3e^{-2}\phi (0)-e^{-2}{\phi }^{\prime }(0)=(-3e^{-2}\delta (x)+e^{-2}{\delta }^{\prime }(x))(\phi )$

• Vagyis:

$e^{3x-2}{\delta }^{\prime }(x)=-3e^{-2}\delta (x)+e^{-2}{\delta }^{\prime }(x)$

2) [2016ZH1] Számítsuk ki a $T=e^{-x^2}$ reguláris disztribúcuó és a ${\delta }^{\prime }$ disztribúció konvolúciójának hatását a $\psi (x)=x^2$ függvényre: $(T*{\delta }^{\prime })x^2=?$

Megoldás:

• Elődáson volt, hogy $(T*{\delta }^{\prime })=T^{\prime }$
  • $(T*{\delta }^{\prime })\phi (x+y)=T_x(-\delta {\text{'}}_y(\phi (x+y)))=T_x(-{\delta }_y({\phi }^{\prime }(x+y)))=T_x(-{\phi }^{\prime }(x))={T_x}^{\prime }(\phi (x))$
• Ezt felasználva alkalmazzuk a $T^{\prime }$ disztribúciót a $\psi$ függvényre:

$<(e^{-x^2}{)}^{\prime },(x^2)>=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(e^{-x^2}{)}^{\prime }(x^2)dx=[e^{-x^2}(x^2){]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}2x=0-[e^{-x^2}{]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}=0$

3) [2016ZH1] Mi az $(x-3)f=0$ disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

Megoldás:

$f=c\cdot \delta (x-3)$

• Ha $x-3\ne 0$, akkor leoszthatunk vele, és azt kapjuk, hogy $f=0,hax-3\ne 0$.
• Ha $x-3=0$, akkor $0\cdot f(3)=0$, vagyis $f(3)$ bármilyen konstans értéket felvehet, ezt jelöljük pl c-vel.
• Tehát ha $x\ne 3$, akkor $f=0$, ha $x=3$, akkor tetszőleges $c$ értékű, ez röviden: $f=c\cdot \delta (x-3)$

4) [2016ZH1] Adjuk meg az $e^{3x}{\delta }^{″}(x-2)$ disztribúciót a $\delta$ eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

Megoldás:

$e^{3x}{\delta }^{″}(x-2)(\phi )={\delta }^{″}(x-2)(e^{3x}\phi )=\delta (x-2)((e^{3x}\phi {)}^{″})=\delta (x-2)((3e^{3x}\phi +e^{3x}{\phi }^{\prime }{)}^{\prime })=$

$=\delta (x-2)(9e^{3x}\phi +6e^{3x}{\phi }^{\prime }+e^{3x}{\phi }^{″})=9e^6\phi (2)+6e^6{\phi }^{\prime }(2)+e^6{\phi }^{″}(2)=(9e^6\delta (x-2)-6e^6{\delta }^{\prime }(x-2)+e^6{\delta }^{″}(x-2))(\phi )$

5) [2016PZH] Legyen u az $f(x)=x-3$ által generált reguláris disztribúció, $\psi (x)=e^{-x^2}$. Számítsuk ki $({\sigma }_2{\tau }_3{\delta }^{\prime }*u)\psi$-t!

Megoldás:

• Először szabaduljunk meg a konvulúciótól:

$({\sigma }_2{\tau }_3{\delta }^{\prime }*u)=(u*{\sigma }_2{\tau }_3{\delta }^{\prime })\phi (x+y)=u_x({\sigma }_2{\tau }_3\delta {\text{'}}_y(\phi (x+y)))=u_x(-{\sigma }_2{\tau }_3{\delta }_y({\phi }^{\prime }(x+y)))=u_x(-{\delta }_y({\phi }^{\prime }(2(x+y-3))))=u_x(-{\phi }^{\prime }(2(x-3)))={u_x}^{\prime }({\sigma }_2{\tau }_3(\phi (x)))=1$

• Majd értékeljük ki a disztribúciót (ez egy közismert integrál, a normál eloszlás sűrűségfüggvényének integrálja, azaz a Gauss-integrál. Ezt viszonylag nehéz levezetni, de lehet hivatkozni arra, hogy az értéke közismert.):

$<1,e^{-x^2}>=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

Wavelet trafók

Megjegyzés: a kitevőbe írt törtek (pl: $e^{-\frac{x^2}{2}}$) sok böngészőben hibásan jelennek meg, ezért ezekben az esetekben törtek helyett osztás jelet fogok használni.

---

1) [2015ZH1] Legyen $\psi (x)=(1-x^2)e^{-x^2/2}$, a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen $f(x)=e^{-|x|}$. ${ℱ}(W_{\psi }{f}_a(b))=?$

b) Legyen $g(x)=x^2$. Tudjuk, hogy $\underset{R}{\int }{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi }.W_{\psi }{g}_a(b)=?$

Megoldás:

a) A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: ${ℱ}(W_{\psi }{f}_a(b))=\sqrt{|a|}\cdot \sqrt{2\pi }\hat{f}(y)\cdot \overline{\hat{\psi }(ay)}$

$\hat{f}(y)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{1+y^2}$

$\hat{\psi }(y)={ℱ}(e^{-x^2/2})-{ℱ}(x^2\cdot e^{-x^2/2})={ℱ}(e^{-x^2/2})-\frac{{ℱ}(e^{-x^2/2}{)}^{″}}{(-i{)}^2}={ℱ}(e^{-x^2/2})+{ℱ}(e^{-x^2/2}{)}^{″}$

A táblázatban nincs benne, de közismert, hogy ${ℱ}(e^{-x^2/2})=e^{-y^2/2}$

$\hat{\psi }(y)=e^{-y^2/2}+(e^{-y^2/2}{)}^{″}=e^{-y^2/2}+(-y(e^{-y^2/2}){)}^{\prime }=e^{-y^2/2}-e^{-y^2/2}+y^2(e^{-y^2/2})=y^2(e^{-y^2/2})$

A táblázatból kiolvasott képletbe behelyettesítve:

${ℱ}(W_{\psi }{f}_a(b))=\sqrt{|a|}\cdot \sqrt{2\pi }\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{1+y^2}\right)\cdot ((ay{)}^2(e^{-(ay{)}^2/2}))$

---

b) $W_{\psi }{g}_a(b)=<{\psi }_{a,b},g>=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-{\frac{x-b}{a}}^2)e^{-((x-b)/a{)}^2/2}{x}^{2}dx$

Helyettesítésel integrállal tegyük egyszerűbbé a fenti képletet: $u=\frac{x-b}{a},x=au+b,dx=a\cdot du$

$W_{\psi }{g}_a(b)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-u^2)e^{-u^2/2}(au+b{)}^{2}a\cdot du$

Használjuk ki, hogy korábban már kiszámoltuk, hogy $(e^{-u^2/2}{)}^{″}=-(1-u^2)e^{-u^2/2}$

$W_{\psi }{g}_a(b)=-a\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(e^{-u^2/2}{)}^{″}(au+b{)}^{2}du$

Amit kétszer parciálisan integrálva meg is kapjuk az eredményt:

$W_{\psi }{g}_a(b)=-a({[(e^{-u^2/2}{)}^{\prime }(au+b{)}^2]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(e^{-u^2/2}{)}^{\prime }2a\cdot (au+b)du)=2a^2\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(e^{-u^2/2}{)}^{\prime }\cdot (au+b)du=2a^2({[e^{-u^2/2}(au+b)]}_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u^2/2}\cdot adu)=-2a^3\sqrt{2\pi }$

2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: ${\psi }_n(x)=H(x)\frac{x-n}{n!}{x}^{n-1}{e}^{-x}$

a) Mutassuk meg, hogy $\psi (x)=-(\frac{x^n}{n!}{e}^{-x}{)}^{\prime }$, ha $x\ge 0$

b) Mutassuk meg, hogy $\underset{R}{\int }{\psi }_n(x)dx=0$

c) $C_{{\psi }_n}=?$

---

3) [2016PZH] Legyen $\psi (x)=x{e}^{-|x|},f(x)=e^{-x^2/2}$. Adjuk meg f $\psi$ által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(0,t)=u(3,t)=0,u(x,0)=sin\frac{4\pi }{3}x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=2\sin \frac{\pi }{3}x$

Megoldás:

• Az $U(x,t)$-t keressük szorzat alakban: $U(x,t)=X(x)T(T)$
• A diffegyenlet így átírva: $X(t)\ddot{T}(t)=4*X^{″}(x)T(T)$
• Ez így már szeparálható (figyeljünk arra, hogy a deriváltak a számlálóban legyenek):

$4\cdot \frac{X^{″}(x)}{X(x)}=\frac{\ddot{T}(t)}{T(T)}=-b^2$

• Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel.
  • Az első két féltétel átírva: X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0, minden t-re, vagyis X(0) = X(3) = 0
  • Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet!
• Oldjuk meg a diff-egyenletet:

$4\cdot \frac{X^{″}(x)}{X(x)}=-b^2$

$4\cdot X^{″}(x)+b^2\cdot X(x)=0$

• Írjuk fel a karakterisztikus függvényt!

$4\cdot {\lambda }^2+b^2=0$

${\lambda }^2=-\frac{b^2}{4}$

$\lambda =\pm i\frac{b}{2}$

• Vagyis a diff-egyenlet megoldása:

$X(x)=c_1\cos \frac{b}{2}x+c_2\sin \frac{b}{2}x$

• Vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket:

$X(0)=c_1\cos 0+c_2\sin 0=c_1=0$

$X(3)=c_2\sin \frac{b}{2}3=0$

Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: $\frac{b}{2}3=k\pi ,b=\frac{2}{3}k\pi$

• Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be.

$\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)}=-(\frac{2}{3}k\pi {)}^2$

${\lambda }^2=-(\frac{2}{3}k\pi {)}^2$

$\lambda =\pm \frac{2}{3}ik\pi$

• A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet:

$T_k(t)=a_k\cos \frac{2}{3}k\pi t+b_k\sin \frac{2}{3}k\pi t$

• Az $U(x,t)$-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát:

$U_k(x,t)=c_2\sin \frac{k}{3}\pi x(a_k\cos \frac{2k}{3}\pi t+b_k\sin \frac{2k}{3}\pi t)$

• Vezessük be az $A_k=c_2\cdot a_k$ és $B_k=c_2\cdot b_k$ konstansokat!

$U_k(x,t)=A_k\sin \frac{k}{3}\pi x\cos \frac{2k}{3}\pi t+B_k\sin \frac{k}{3}\pi x\sin \frac{2k}{3}\pi t$

• Az $U(x,t)$ pedig felírható az $U_k(x,t)$-k összegeként az összes k-ra.

$U(x,t)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{U}_k(x,t)$

• A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az $A_k$ és $B_k$ konstansok értékeit.

$U(x,0)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{A}_k\sin \frac{k}{3}\pi x\cos 0+B_k\sin \frac{k}{3}\pi x\sin 0=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{A}_k\sin \frac{k}{3}\pi x=sin\frac{4\pi }{3}x$

Amiből az együtthatók összehasonlításával megkapjuk, hogy $A_4=1$, minden más $A_i=0$, ha $i\ne 4$

• A másik feltételhez ki kell számolni az $\frac{\partial U}{\partial t}(x,t)$-t.

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,t)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{A}_k\sin \frac{k}{3}\pi x\sin \frac{2k}{3}\pi t(-\frac{2k}{3}\pi )+B_k\sin \frac{k}{3}\pi x\cos \frac{2k}{3}\pi t(\frac{2k}{3}\pi )$

• A feltételbe beírva:

$\frac{\partial U}{\partial t}(x,0)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{A}_k\sin \frac{k}{3}\pi x\sin 0(-\frac{2k}{3}\pi )+B_k\sin \frac{k}{3}\pi x\cos 0(\frac{2k}{3}\pi )=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{B}_k\sin \frac{k}{3}\pi x(\frac{2k}{3}\pi )=2\sin \frac{\pi }{3}x$

Innen pedig: $B_1(\frac{2}{3}\pi )=2,B_1=\frac{2}{(\frac{2}{3}\pi )}=\frac{3}{\pi }$, minden más $B_i$ pedig nulla.

Vagyis a megoldás:

$U(x,t)=\sin \frac{4}{3}\pi x\cos \frac{8}{3}\pi t+\frac{3}{\pi }\sin \frac{1}{3}\pi x\sin \frac{2}{3}\pi t$

2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=9\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(x,0)=12\cos \frac{3\pi }{5}x,\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(5,t)=0$

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, $h=\frac{1}{2}$ felosztás mellett adjuk meg az $u_{1,2}$ értékét, ha

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$

$u(0,t)=3,u(3,t)=0,u(x,0)=3-x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$

Megoldás:

• Írjuk fel a diffegyenletet véges differenciákkal:

Magyarázat:

• Írjuk fel a differál-egyenletet differa-egyenlet formában!

$li{m}_{\mathrm{\Delta }\to 0}\frac{\frac{u(x+\mathrm{\Delta },y)-u(x,y)}{\mathrm{\Delta }}-\frac{u(x,y)-u(x-\mathrm{\Delta },y)}{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{\Delta }}=li{m}_{\mathrm{\Delta }\to 0}\frac{\frac{u(x,y+\mathrm{\Delta })-u(x,y)}{\mathrm{\Delta }}-\frac{u(x,y)-u(x,y-\mathrm{\Delta })}{\mathrm{\Delta }}}{\mathrm{\Delta }}$

• Közös nevezőre hozva:

$li{m}_{\mathrm{\Delta }\to 0}\frac{u(x+\mathrm{\Delta },y)-2u(x,y)+u(x-\mathrm{\Delta },y)}{{\mathrm{\Delta }}^2}=li{m}_{\mathrm{\Delta }\to 0}\frac{u(x,y+\mathrm{\Delta })-2u(x,y)+u(x,y-\mathrm{\Delta })}{{\mathrm{\Delta }}^2}$

• Na most felejtsük, hogy delta nullához tart, és válasszunk ki egy megfelelően kicsi értéket vízszintes (h) és függőleges (k) irányban. A folytonos függvény helyett pedig használjuk egy ilyen lépésközönként mintavételezett diszkrét függvényt, ahol $u_{i,j}$ jeletése $u(i\cdot h,j\cdot h)$.

$\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}=\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{k^2}$

• Válasszuk meg a feladatban adott h értékhez a k értékét, hogy az egyenletből a lehető legtöbb tag kiessen (jelen esetben a $h=k=\frac{1}{2}$ választás célszerű).

$u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}=u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}$

• Fejezzük ki $u_{i,j+1}$-et az egyenletből.

$u_{i,j+1}=u_{i+1,j}+u_{i-1,j}-u_{i,j-1}$

• Ennek a képletnek a rekurzív alkalmazásával el tudunk jutni a peremfeltételtől az u_{1,2} értékig.

$u_{1,2}=u_{2,1}+u_{0,1}-u_{1,0}$

• Innen az $u_{0,1}$ és a $u_{1,0}$ ismert a peremfeltétel alapján, de az $u_{2,1}$-ért még számolnunk kell.

$u_{2,1}=u_{3,0}+u_{1,0}-u_{2,-1}$

• Az $u_{2,-1}$-hez a nullában vett t szerinti deriváltra vonatkozó feltételt kell használni:

$\frac{u_{2,0}-u_{2,-1}}{k}=0$

• Vagyis:

$u_{2,-1}=u_{2,0}$

• A kért pont tehát kiszámolható az alábbi peremen található értékekből (papíron egyszerűbb felvenni egy négyzetrácsot az $u_{i,j}$ értékeknek, és mindenhova odaírni az adott értéket):

$u_{1,2}=(u_{3,0}+u_{1,0}-u_{2,0})+u_{0,1}-u_{1,0}=(0+2-1)+3-2=2$

2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha $x\in [0,5],t\ge 0$, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz $u(2,\frac{1}{18})$?

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=9\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(x,0)=12\cos \frac{3\pi }{5}x,\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(5,t)=0$

Jordan normál-forma

1) [2016ZH2] Adjuk meg az $x=Bx+b$ egyenlet megoldását, ha $B=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 0& 4& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

Megoldás:

• Először meg kell határozni B sajátértékeit. Ezt a $det(B-\lambda I)=0$ egyenlet megoldásaiként kapjuk meg. Most az $\frac{1}{6}$-os szorzó miatt inkább számoljuk azzal, hogy $6\cdot det(B-\lambda I)=det(6B-6\lambda I)=det(6B-{\lambda }^{\prime }I)=0$

$\left|\begin{array}{ccc}3-{\lambda }^{\prime }& 1& -2\\ 0& 4-{\lambda }^{\prime }& -2\\ 0& 1& 1-{\lambda }^{\prime }\end{array}\right|=0$

• Fejtsük ki a determinánst az első oszlop szerint:

$(3-{\lambda }^{\prime })((4-{\lambda }^{\prime })(1-{\lambda }^{\prime })+2)=(3-{\lambda }^{\prime })(\lambda {\text{'}}^2-5\lambda +6)=(3-{\lambda }^{\prime })({\lambda }^{\prime }-3)({\lambda }^{\prime }-2)=-({\lambda }^{\prime }-3{)}^2({\lambda }^{\prime }-2)$

• Most határozzunk meg minden sajátértékhez egy sajátvektort (itt az $\frac{1}{6}$-os szorzó nem számít, a sajátvektor csak konstans szorzó erejéig egyértelmű)
• Először a ${\lambda }^{\prime }=3$-hoz keresünk két sajátvektort:

$\left[\begin{array}{ccc}3-3& 1& -2\\ 0& 4-3& -2\\ 0& 1& 1-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -2\\ 0& 1& -2\\ 0& 1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\underset{\_}{0}$

• Mindhárom egyenletünk megegyezünk, az y legyen mondjuk 1, ekkor a z-nek -2-nek kell lennie, az x tetszőleges. Az x=0 és az x=1 két lineáris független sajátvektort ad.

$s_{-3,1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ -2\end{array}\right],s_{-3,2}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right]$

• Határozzuk meg a ${\lambda }^{\prime }=2$-höz tartozó sajátvektort is:

$\left[\begin{array}{ccc}3-2& 1& -2\\ 0& 4-2& -2\\ 0& 1& 1-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 0& 2& -2\\ 0& 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\underset{\_}{0}$

$y=z,x=-y+2z=z$

• Tehát egy sajátvektor például:

$s_{-2}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

• A Jordan-normál forma (sajátértékek főátalóban, itt már számít a skalár szorzó) és a transzformációs mátrix (sajátvektorok alkotta mátrix):

$J=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{6}& 0& 0\\ 0& \frac{3}{6}& 0\\ 0& 0& \frac{2}{6}\end{array}\right],T=\left[\begin{array}{ccc}{s}_{-3,1}& s_{-3,2}& s_{-2}\end{array}\right]=T=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ -2& -2& 1\end{array}\right]$

• A végeredményt az alábbi alakban kapjuk majd meg: $u=T(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{J}^k)T^{-1}b$. Ehhez viszont először invertálni kell T-t.

• Gauss-elimináljunk!

$\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 1& |& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& |& 0& 1& 0\\ -2& -2& 1& |& 0& 0& 1\end{array}\right]{=}_{s_3+=2\cdot s_2}\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 1& |& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& |& 0& 1& 0\\ 0& 0& 3& |& 0& 2& 1\end{array}\right]{=}_{s_1-=\cdot s_2}\left[\begin{array}{ccccccc}-1& 0& 0& |& 1& -1& 0\\ 1& 1& 1& |& 0& 1& 0\\ 0& 0& 3& |& 0& 2& 1\end{array}\right]{=}_{s_2+=\cdot s_1-s_3/3}\left[\begin{array}{ccccccc}-1& 0& 0& |& 1& -1& 0\\ 0& 1& 0& |& 1& -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& 0& 3& |& 0& 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& |& -1& 1& 0\\ 0& 1& 0& |& 1& -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& 0& 1& |& 0& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]$

• Számoljuk ki $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{J}^k$-t!

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{J}^k=\left[\begin{array}{ccc}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^k& 0& 0\\ 0& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{)}^k& 0\\ 0& 0& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{3}{)}^k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{1-\frac{1}{2}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{1-\frac{1}{2}}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{1-\frac{1}{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{3}{2}\end{array}\right]$

• A végeredmény tehát (a mátrix szorzásokat már nem kell elvégezni):

$u=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ -2& -2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{3}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 1& -\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ 0& \frac{2}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) [2015ZH2] Keressük a $\sqrt{1+coshx}-2=x$ egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

Megoldás:

a) A húrmódszer konvergens ha $|I|\frac{|f^{″}|}{2|f^{\prime }|}<1$ a tartomány összes pontján.

Ez megadja, hogy max mekkora lehet az intervallum hossza, hogy az algoritmus konvergáljon. Gyakorlatban azt szoktuk vizsgálni, hogy a számláló maximuma és a nevező minimuma esetén is teljesül-e a feltétel, ami egy szűkebb feltétel, de becslésnek jó.

Számoljuk ki a deriváltakat!

$|f^{\prime }|=|(\sqrt{1+coshx}-2-x{)}^{\prime }|=|\frac{sinhx}{2\sqrt{1+coshx}}-1|$

$|f^{″}|=|\frac{coshx}{2(1+coshx{)}^{\frac{1}{2}}}-\frac{sin{h}^{2}x}{4(1+coshx{)}^{\frac{3}{2}}}|=\left|\frac{coshx(1+coshx)-2\cdot sin{h}^{2}x}{4(1+coshx{)}^{\frac{3}{2}}}\right|=\left|\frac{coshx+1-sin{h}^{2}x}{4(1+coshx{)}^{\frac{3}{2}}}\right|$

Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma)

$mi{n}_I|f^{\prime }|\ge |\frac{sinh4}{2\sqrt{1+cosh5}}-1|$

$ma{x}_I|f^{″}|\le \left|\frac{cosh4+1-sin{h}^{2}5}{4(1+cosh4{)}^{\frac{3}{2}}}\right|$

$I<\frac{2\cdot mi{n}_I|f^{\prime }|}{ma{x}_I|f^{″}|}=\left|\frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1+cosh5}}-2}{\frac{cosh4+1-sin{h}^{2}5}{4(1+cosh4{)}^{\frac{3}{2}}}}\right|$

b) Az iteráció konvergens ha $|g(x{)}^{\prime }|<1$ a tartomány összes pontján.

$|g^{\prime }(x)|=|(\sqrt{1+coshx}-2{)}^{\prime }|=\left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1+coshx}}\right|$

$mi{n}_I|g^{\prime }(x)|\ge \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1+cosh5}}\right|=\frac{e^4-e^{-4}}{2\sqrt{(}1+e^5+e^{-5})}\approx \frac{e^{1.5}}{2}\ge 1$

Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.

---

2) [2016ZH2] Tekintsük az $e^x-2=x$ egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

---

3) [2016PZH] Az $arsh2x=x$ egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?

Lagrange multiplikátor módszer

1) [2015ZH2] Keressük meg az $f(x,y,z)=x{y}^2{z}^3(x,y,z>0)$ szélsőértékét az $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$ feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

Megoldás:

• Vezessük be az alábbi függvényt:

$F=f-\lambda g$

• A szélsőérték akkor létezhet, ha az összes változó szerinti derviált nulla:

$\frac{\partial F}{\partial x}=y^2{z}^3-\lambda =0$

$\frac{\partial F}{\partial y}=2xy{z}^3-2\lambda =0$

$\frac{\partial F}{\partial z}=3x{y}^2{z}^2-3\lambda =0$

$\frac{\partial F}{\partial \lambda }=g=x+2y+3z-6=0$

Az első egyenlet 2x szeresét a második egyenlet y szorosával egyenlővé téve:

$2x{y}^2{z}^3-2\lambda x=2x{y}^2{z}^3-2\lambda y$

$\lambda x=\lambda y$

Azaz $\lambda =0$ vagy $x=y$

• $\lambda =0$ eset: Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle x = y = z = \lambda = 0 (ellentmondás, x,y,z pozitív)}

• $x=y$ eset:

Az második egyenlet 3y szeresét a harmadik egyenlet 2z szeresét egyenlővé téve: $6x^3{z}^3-6\lambda x=6x^3{z}^3-6\lambda z$

Vagyis (ismerve, hogy $\lambda \ne 0$):

$x=y=z=\lambda =1$

---

2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $3x^2+y^2+z^2-xy$ függvénynek az $x^2+y^2+z^2=1$ feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

---

3) [2016PZH] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $x^2+y^2+z^2-2xy-2xz$ függvénynek az $x^2+y^2+z^2=1$ feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!

Variáció számítás

1) [2015ZH2] Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^2+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$

---

2) [2015ZH2] Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^3+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$