„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

'''1)''' <small>[2015ZH1]</small> Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

'''2)''' <small>[2016ZH1]</small> Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

'''3)''' <small>[2016ZH1]</small> Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

1) <small>[2016PZH]</small> Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:  

1) <small>[2015ZH1]</small> Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével!

2) <small>[2016ZH1]</small> Transzformáljuk elsőrendűvé a <math>y'' + xy' = x</math> differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

1) <small>[2015ZH1]</small> Számítsuk ki az <math>f(x) = 3xe^{-x}H(x)</math> Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy <math>\mathcal{F}(e^{-x}H(x)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{1+iy}</math>

1) <small>[2015ZH1]</small> Adjuk meg <math>\delta</math> és <math>\delta'</math> lineáris kombinációjaként az <math>e^{3x-2}\delta'(x)</math> disztribúciót!

2) <small>[2016ZH1]</small> Számítsuk ki a <math>T = e^{-x^2}</math> reguláris disztribúcuó és a <math>\delta'</math> disztribúció konvolúciójának hatását a <math>\psi(x) = x^2</math> függvényre: <math>(T * \delta')x^2 = ?</math>

3) <small>[2016ZH1]</small> Mi az <math>(x-3)f = 0</math> disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

4) <small>[2016ZH1]</small> Adjuk meg az <math>e^{3x}\delta''(x-2)</math> disztribúciót a <math>\delta</math> eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

5) <small>[2016PZH]</small> Legyen u az <math>f(x) = x - 3</math> által generált reguláris disztribúció, <math>\psi(x) = e^{-x^2}</math>. Számítsuk ki <math>(\sigma_2\tau_3\delta' * u)\psi</math>-t!

1) <small>[2015ZH1]</small> Legyen <math>\psi(x) = (1 - x^2)e^{-x^2 / 2}</math>, a mexikói kalap wavelet.  

a) Legyen  <math>f(x) = e^{-|x|}</math>. <math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = ?</math>

b) Legyen  <math>g(x) = x^2</math>. Tudjuk, hogy <math>\int_{R}e^{-x^2 / 2}dx=\sqrt{2\pi}.~W_{\psi}g_a(b) = ?</math>

a)  

A wavelet Fourier trafóját közvetlenül megkaphatjuk a wavelet kiértékelése nélkül: <math>\mathcal{F}(W_{\psi}f_a(b)) = \sqrt{|a|} \cdot \sqrt{2\pi} \hat{f}(y) \cdot \overline{\hat{\psi}(ay)}</math>

b) <math>W_{\psi}g_a(b) = <\psi_{a, b}, g> = \int_{-\infty}^{\infty} (1 - \frac{x-b}{a}^2)e^{-((x-b)/a)^2 / 2} x^2 dx</math>

2) <small>[2016ZH1]</small> A Poisson wavelet a következő:

a) Mutassuk meg, hogy <math>\psi(x) = -(\frac{x^n}{n!} e^{-x})'</math>, ha <math>x \geq 0</math>

b) Mutassuk meg, hogy <math>\int_R \psi_n(x)dx = 0</math>

c) <math>C_{\psi_n} = ?</math>

3) <small>[2016PZH]</small> Legyen <math>\psi(x) = xe^{-|x|}, f(x) = e^{-x^2/2}</math>. Adjuk meg f <math> \psi</math> által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!

1) <small>[2015ZH2]</small> Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

2) <small>[2016ZH2]</small> Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

1) <small>[2015ZH2]</small> Véges differenciák segítségével, <math>h=\frac{1}{2}</math> felosztás mellett adjuk meg az <math>u_{1,2}</math> értékét, ha

2) <small>[2016ZH2]</small> Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha <math>x \in [0, 5], t \geq 0</math>, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz <math> u(2, \frac{1}{18})</math>?

1) <small>[2016ZH2]</small> Adjuk meg az <math>x = Bx + b</math> egyenlet megoldását, ha <math>B = \frac{1}{6}\begin{bmatrix}3 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix},~ b = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}.</math>

1) <small>[2015ZH2]</small> Keressük a <math>\sqrt{1 + coshx} - 2 = x</math> egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

a) A húrmódszer konvergens ha <math>|I| \frac{|f''|}{2|f'|} < 1</math> a tartomány összes pontján.

b) Az iteráció konvergens ha <math>|g(x)'| < 1 </math> a tartomány összes pontján.

2) <small>[2016ZH2]</small> Tekintsük az <math>e^x - 2 = x</math> egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

3) <small>[2016PZH]</small> Az <math>arsh 2x = x</math> egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?

1) <small>[2015ZH2]</small> Keressük meg az <math>f(x, y, z) = xy^2z^3(x,y,z > 0)</math> szélsőértékét az <math>x + 2y + 3z = 6</math> feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

2) <small>[2016ZH2]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>3x^2 + y^2 + z^2 - xy</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

3) <small>[2016PZH]</small> Hol lehet feltételes szélsőértéke a <math>x^2 + y^2 + z^2 - 2xy -2xz</math> függvénynek az <math>x^2 + y^2 + z^2 = 1</math> feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!

1) <small>[2015ZH2]</small> Keressük meg az <math>I(y)</math> funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

2) <small>[2015ZH2]</small> Keressük meg az <math>I(y)</math> funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!