„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 386. sor: | 386. sor: | ||
1) <small>[2015ZH2]</small> Véges differenciák segítségével, <math>h=\frac{1}{2}</math> felosztás mellett adjuk meg az <math>u_{1,2}</math> értékét, ha | 1) <small>[2015ZH2]</small> Véges differenciák segítségével, <math>h=\frac{1}{2}</math> felosztás mellett adjuk meg az <math>u_{1,2}</math> értékét, ha | ||
<math>\frac{\partial^2 u}{\partial | <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math> | ||
<math>u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0</math> | <math>u(0, t) = 3,~ u(3, t) = 0,~u(x,0)=3-x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0</math> | ||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Megoldás: | |||
|szöveg= | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott=Magyarázat: | |||
|szöveg= | |||
* Írjuk fel a differál-egyenletet differa-egyenlet formában! | |||
<math>lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x+\Delta, y) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x-\Delta, y)}{\Delta}}{\Delta} = lim_{\Delta \to 0}\frac{\frac{u(x, y+\Delta) - u(x, y)}{\Delta} - \frac{u(x, y) - u(x, y-\Delta)}{\Delta}}{\Delta}</math> | |||
* Közös nevezőre hozva: | |||
<math>lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x+\Delta, y) - 2u(x, y) + u(x-\Delta, y)}{\Delta^2} = lim_{\Delta \to 0}\frac{u(x, y+\Delta) - 2u(x, y) + u(x, y-\Delta)}{\Delta^2}</math> | |||
* Na most felejtsük, hogy delta nullához tart, és válasszunk ki egy megfelelően kicsi értéket vízszintes (h) és függőleges (k) irányban. A folytonos függvény helyett pedig használjuk egy ilyen lépésközönként mintavételezett diszkrét függvényt, ahol <math>u_{i,j}</math> jeletése <math>u(i \cdot h, j \cdot h)</math>. | |||
}} | |||
* Írjuk fel a diffegyenletet véges differenciákkal: | |||
<math>\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} = \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{k^2}</math> | |||
}} | |||
<hr> | <hr> | ||