„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

@@ 366. sor: / 366. sor: @@
 Amiből az együtthatók összehasonlításával megkapjuk, hogy <math>A_4 = 1</math>, minden más <math>A_i = 0</math>, ha <math>i \neq 4</math>
+* A másik feltételhez ki kell számolni az <math>\frac{\partial U}{\partial t}(x, t)</math>-t.
+<math>\frac{\partial U}{\partial t}(x, t) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} (\frac{2k}{3} \pi)</math>
+* A feltételbe beírva:
+<math>\frac{\partial U}{\partial t}(x, 0) = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} (-\frac{2k}{3} \pi) + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} (\frac{2k}{3} \pi) = \sum_0^\infty B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} (\frac{2k}{3} \pi) = 2\sin\frac{\pi}{3}x</math>
+Innen pedig:
+<math>B_1 (\frac{2}{3} \pi) = 2,~ B_1 = \frac{2}{(\frac{2}{3} \pi)} = \frac{3}{\pi}</math>, minden más <math>B_i</math> pedig nulla.
+Vagyis a megoldás:
+<math>U(x, t) = \sin{\frac{4}{3} \pi x} \cos{\frac{8}{3} \pi t} + \frac{3}{\pi} \sin{\frac{1}{3} \pi x} \sin{\frac{2}{3} \pi t}</math>
 }}