„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 337. sor: | 337. sor: | ||
<math>X(0) = c_1 \cos{0} + c_2 \sin{0} = c_1 = 0</math> | <math>X(0) = c_1 \cos{0} + c_2 \sin{0} = c_1 = 0</math> | ||
<math>X(3) = c_2 \sin{\frac{b}{2} | <math>X(3) = c_2 \sin{\frac{b}{2}3} = 0</math> | ||
Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: <math>\frac{b}{2} = k \pi,~b = 2 k \pi</math> | Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: <math>\frac{b}{2}3 = k \pi,~b = \frac{2}{3} k \pi</math> | ||
* Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be. | * Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be. | ||
<math>\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -(2 k \pi)^2</math> | <math>\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -(\frac{2}{3} k \pi)^2</math> | ||
<math>\lambda^2 = -(2 k \pi)^2</math> | <math>\lambda^2 = -(\frac{2}{3} k \pi)^2</math> | ||
<math>\lambda = \pm 2 i k \pi</math> | <math>\lambda = \pm \frac{2}{3} i k \pi</math> | ||
* A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet: | * A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet: | ||
<math>T_k(t) = a_k \cos{2 k \pi t} + b_k \sin{2 k \pi t}</math> | <math>T_k(t) = a_k \cos{\frac{2}{3} k \pi t} + b_k \sin{\frac{2}{3} k \pi t}</math> | ||
* Az <math>U(x, t)</math>-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát: | * Az <math>U(x, t)</math>-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát: | ||
<math>U_k(x, t) = c_2 \sin{k \pi x} (a_k \cos{ | <math>U_k(x, t) = c_2 \sin{\frac{k}{3} \pi x} (a_k \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + b_k \sin{\frac{2k}{3} \pi t})</math> | ||
* Vezessük be az <math>A_k = c_2 \cdot a_k</math> és <math>B_k = c_2 \cdot b_k</math> konstansokat! | * Vezessük be az <math>A_k = c_2 \cdot a_k</math> és <math>B_k = c_2 \cdot b_k</math> konstansokat! | ||
<math>U_k(x, t) = A_k \sin{k \pi x} \cos{ | <math>U_k(x, t) = A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{\frac{2k}{3} \pi t} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{\frac{2k}{3} \pi t}</math> | ||
* Az <math>U(x, t)</math> pedig felírható az <math>U_k(x, t)</math>-k összegeként az összes k-ra. | * Az <math>U(x, t)</math> pedig felírható az <math>U_k(x, t)</math>-k összegeként az összes k-ra. | ||
| 362. sor: | 362. sor: | ||
* A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az <math>A_k</math> és <math>B_k</math> konstansok értékeit. | * A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az <math>A_k</math> és <math>B_k</math> konstansok értékeit. | ||
<math>U(x,0)=\sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \cos{0} + B_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} \sin{0} = \sum_0^\infty A_k \sin{\frac{k}{3} \pi x} = sin\frac{4\pi}{3}x</math> | |||
Amiből az együtthatók összehasonlításával megkapjuk, hogy <math>A_4 = 1</math>, minden más <math>A_i = 0</math>, ha <math>i \neq 4</math> | |||
}} | }} | ||