„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

@@ 222. sor: / 222. sor: @@
 ) <small>[2016ZH1]</small> Adjuk meg az <math>e^{3x}\delta''(x-2)</math> disztribúciót a <math>\delta</math> eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás:'''
+|szöveg=
+<math>e^{3x}\delta''(x-2)(\varphi) = \delta''(x-2)(e^{3x}\varphi) = \delta(x-2)((e^{3x}\varphi)'') = \delta(x-2)((3e^{3x}\varphi + e^{3x}\varphi')') = </math>
+<math>= \delta(x-2)(9e^{3x}\varphi + 6e^{3x}\varphi' + e^{3x}\varphi'') = 9e^{6}\varphi(2) + 6e^{6}\varphi'(2) + e^{6}\varphi''(2) = (9e^{6}\delta(x-2) - 6e^{6}\delta'(x-2) + e^{6}\delta''(x-2))(\varphi)</math>
+}}
 <hr>
 ) <small>[2016PZH]</small> Legyen u az <math>f(x) = x - 3</math> által generált reguláris disztribúció, <math>\psi(x) = e^{-x^2}</math>. Számítsuk ki <math>(\sigma_2\tau_3\delta' * u)\psi</math>-t!
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás:'''
+|szöveg=
+* Először szabaduljunk meg a konvulúciótól:
+<math>(\sigma_2\tau_3\delta' * u) = (u * \sigma_2\tau_3\delta')\varphi(x+y) = u_x (\sigma_2\tau_3\delta'_y(\varphi(x+y))) =  u_x(-\sigma_2\tau_3\delta_y(\varphi'(x+y))) = u_x(-\delta_y(\varphi'(2(x+y-3)))) = u_x(-\varphi'(2(x-3))) = u_x'(\sigma_2\tau_3(\varphi(x))) = 1</math>
+* Majd értékeljük ki a disztribúciót (ez egy közismert integrál, de viszonylag nehéz kiszámolni):
+<math><1, e^{-x^2}> = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}</math>
+}}
 == Wavelet trafók ==