„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

@@ 52. sor: / 52. sor: @@
 <math>x(0) = \dot{x}(0) = 0,~y(0) = 0,~\dot{y}(0) = 1</math>
+'''Megoldás:'''
+* Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját:
+<math>s^2X - sx(0) - \dot{x}(0) = 2X - 3Y</math>
+<math>s^2Y - sy(0) - \dot{y}(0) = X - 2Y</math>
+* Átrendezve és mátrixos alakra hozva:
+<math>\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>
+* Megoldás X-re:
+<math>X = \frac{det\left(\begin{bmatrix}0 & 3 \\ 1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)}{det\left(\begin{bmatrix}s^2-2 & 3 \\ -1 & s^2+2\end{bmatrix}\right)} = \frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3} = \frac{-3}{s^4-1} = \frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}</math>
+* Parc törtek:
+<math>\frac{A}{s^2-1} + \frac{B}{s^2+1} = \frac{(A+B)s^2 + (A-B)}{s^4-1} = \frac{-3}{s^4-1}</math>
+* Ahonnan:
+<math> A = -\frac{3}{2},~B = \frac{3}{2}</math>
+* Inverz Laplace után: <math>x(t) = -\frac{3}{2}sht + \frac{3}{2}sint</math>
 <hr>