Analízis (MSc) típusfeladatok

Integrál trafók témakör

Laplace trafó diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

$\dot{x}(t)=2y(t)-x(t)+1$

$\dot{y}(t)=3y(t)-2x(t)$

$x(0)=0,y(0)=1$

Megoldás:

• Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját ($X:=Laplace(x),Y:=Laplace(y)$):

$sX-x(0)=2Y-X+\frac{1}{s}$

$sY-y(0)=3Y-2X$

• Az egyenleteket átrendezve, és x(0), y(0)-t behelyettesítve:

$(s+1)X+(-2)Y=\frac{1}{s}$

$(2)X+(s-3)Y=1$

• Mátrixos alakra hozva:

$\left[\begin{array}{cc}s+1& -2\\ 2& s-3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{s}\\ 1\end{array}\right]$

• Megoldás X-re (a számlálóban a mátrix első oszlopa le lett cserélve az egyenlet jobb oldalára. Ha y-t számolnánk, akkor a második oszlopot kéne lecserélni):

$X=\frac{det\left(\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{s}& -2\\ 1& s-3\end{array}\right]\right)}{det\left(\left[\begin{array}{cc}s+1& -2\\ 2& s-3\end{array}\right]\right)}=\frac{\frac{s-3}{s}+2}{(s+1)(s-3)+4}=\frac{3(s-1)}{s(s^2-2s+1)}=\frac{3(s-1)}{s(s-1{)}^2}=\frac{3}{s(s-1)}$

• Az inverz laplacehoz bontsuk parciális törtekre:

$\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}=\frac{A(s-1)+Bs}{s(s-1)}=\frac{3}{s(s-1)}$

• Együtthatókat összehasonlítva:

$A+B=0,-A=3,\to B=3$

• Vagyis $X(s)=\frac{-3}{s}+\frac{3}{s-1}$

• Tehát a táblázat alapján $x(t)=-3+3e^t$

---

2) [2016ZH1] Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha

$\ddot{x}(t)=2x(t)-3y(t)$

$\ddot{y}(t)=x(t)-2y(t)$

$x(0)=\dot{x}(0)=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$

Megoldás:

• Vegyük mindkét egyenlet Laplace trafóját:

$s^{2}X-sx(0)-\dot{x}(0)=2X-3Y$

$s^{2}Y-sy(0)-\dot{y}(0)=X-2Y$

• Átrendezve és mátrixos alakra hozva:

$\left[\begin{array}{cc}{s}^2-2& 3\\ -1& s^2+2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

• Megoldás X-re:

$X=\frac{det\left(\left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& s^2+2\end{array}\right]\right)}{det\left(\left[\begin{array}{cc}{s}^2-2& 3\\ -1& s^2+2\end{array}\right]\right)}=\frac{-3}{(s^2-2)(s^2+2)+3}=\frac{-3}{s^4-1}=\frac{-3}{(s^2-1)(s^2+1)}$

• Parc törtek:

$\frac{A}{s^2-1}+\frac{B}{s^2+1}=\frac{(A+B)s^2+(A-B)}{s^4-1}=\frac{-3}{s^4-1}$

• Ahonnan:

$A=-\frac{3}{2},B=\frac{3}{2}$

• Inverz Laplace után: $x(t)=-\frac{3}{2}sht+\frac{3}{2}sint$

---

3) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a $y^{″}+x{y}^{\prime }=x$ differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Laplace trafó szabályok alkalmazása

1) [2016PZH] Számítsuk ki az alábbi jobboldali határétrékeket:

$\underset{x\to 0+}{\lim }{f}^{\prime }(x)=?,\underset{x\to 0+}{\lim }{f}^{″}(x)=?$,

ha f Laplace transzformáltja, $\bar{f}(s)=\frac{s^2-3s+1}{5s^4-4s^3+8}$

Fourier diff-egyenlet

1) [2015ZH1] Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! $y^{\prime }(x)-4y(x)=8$

2) [2016ZH1] Transzformáljuk elsőrendűvé a $y^{″}+x{y}^{\prime }=x$ differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) [2015ZH1] Számítsuk ki az $f(x)=3x{e}^{-x}H(x)$ Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy $F(e^{-x}H(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{1+iy}$

Disztribúciók

1) [2015ZH1] Adjuk meg $\delta$ és ${\delta }^{\prime }$ lineáris kombinációjaként az $e^{3x-2}{\delta }^{\prime }(x)$ disztribúciót!

2) [2016ZH1] Számítsuk ki a $T=e^{-x^2}$ reguláris disztribúcuó és a ${\delta }^{\prime }$ disztribúció konvolúciójának hatását a $\psi (x)=x^2$ függvényre: $(T*{\delta }^{\prime })x^2=?$

3) [2016ZH1] Mi az $(x-3)f=0$ disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

4) [2016ZH1] Adjuk meg az $e^{3x}{\delta }^{″}(x-2)$ disztribúciót a $\delta$ eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

5) [2016PZH] Legyen u az $f(x)=x-3$ által generált reguláris disztribúció, $\psi (x)=e^{-x^2}$. Számítsuk ki $({\sigma }_2{\tau }_3{\delta }^{\prime }*u)\psi$-t!

Wavelet trafók

1) [2015ZH1] Legyen $\psi (x)=(1-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$, a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen $f(x)=e^{-|x|}$. $F(W_{\psi }{f}_a(b))=?$

b) Legyen $g(x)=x^2$. Tudjuk, hogy $\underset{R}{\int }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi }$. $W_{\psi }{g}_a(b)=?$

2) [2016ZH1] A Poisson wavelet a következő: ${\psi }_n(x)=H(x)\frac{x-n}{n!}{x}^{n-1}{e}^{-x}$

a) Mutassuk meg, hogy $\psi (x)=-(\frac{x^n}{n!}{e}^{-x}{)}^{\prime }$, ha $x\ge 0$

b) Mutassuk meg, hogy $\underset{R}{\int }{\psi }_n(x)dx=0$

c) $C_{{\psi }_n}=?$

3) [2016PZH] Legyen $\psi (x)=x{e}^{-|x|},f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$. Adjuk meg f $\psi$ által generált wavelet transzformáltjának Fourier transzformáltját!

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) [2015ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(0,t)=u(3,t)=0,u(x,0)=sin\frac{4\pi }{3}x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=2\sin \frac{\pi }{3}x$

2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=9\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(x,0)=12\cos \frac{3\pi }{5}x,\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(5,t)=0$

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) [2015ZH2] Véges differenciák segítségével, $h=\frac{1}{2}$ felosztás mellett adjuk meg az $u_{1,2}$ értékét, ha

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(0,t)=3,u(3,t)=0,u(x,0)=3-x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$

2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha $x\in [0,5],t\ge 0$, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz $u(2,\frac{1}{18})$?

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=9\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(x,0)=12\cos \frac{3\pi }{5}x,\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(5,t)=0$

Jordan normál-forma

1) [2016ZH2] Adjuk meg az $x=Bx+b$ egyenlet megoldását, ha $B=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}3& 1& -2\\ 0& 4& -2\\ 0& 1& 1\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right].$

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) [2015ZH2] Keressük a $\sqrt{1+coshx}-2=x$ egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

2) [2016ZH2] Tekintsük az $e^x-2=x$ egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

3) [2016PZH] Az $arsh2x=x$ egyenlet esetében az intervallum felezés, vagy az iteráció a célravezetőbb az [1, 2] intervallumon? És a [2, 3]-n?

Lagrange multiplikátor módszer

1) [2015ZH2] Keressük meg az $f(x,y,z)=x{y}^2{z}^3(x,y,z>0)$ szélsőértékét az $x+2y+3z=6$ feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $3x^2+y^2+z^2-xy$ függvénynek az $x^2+y^2+z^2=1$ feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

3) [2016PZH] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $x^2+y^2+z^2-2xy-2xz$ függvénynek az $x^2+y^2+z^2=1$ feltétel mellett? Állapoítsuk meg a szélsőértékek jellegét!

Variáció számítás

1) [2015ZH2] Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^2+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$

2) [2015ZH2] Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^3+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$