Matematika A4 - 2003/04 ősz 2. ZH

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

-- Andris - 2007.12.05.

2. ZH

1. Pótzh2, 2003 12 03

Vill. B4, Vetier András kurzusa

• 1. Mennyi a felezési ideje és átlagosan mennyi az élettartama annak az örökifjú tulajdonságú radioaktív részecskének, mely az első 2 évben 0.2 valószínűséggel nem bomlik el?

• 2. Az origó középpontú, egy sugarú körív felső felén egyenletes eloszlás szerint választunk egy pontot. Határozza meg a pont első koordinátájának a sűrűségfüggvényét!

• 3. Két, egymástól független véletlen számot generálunk 0 és 1 között. Mi a valószínűsége annak, hogy az elsőnek a négyzete nagyobb, mint a másodiknak a köbe, ha mindkettőt a) egyenletes b) az f(z)=2z (0<z<1) sűrűségfüggvényű eloszlás szerint választjuk?

2. ZH4 2005 11 30

• 1. Két pontot választunk 0 és 1 között egyenletes eloszlás szerint egymástól függetlenül. Ezek 3 szakaszra bontják az intervallumot. Mi a valószínűsége, hogy a szakaszok hosszai balról jobbra növekvő sorozatot alkotnak?

• 2. Határozza meg egy számítógép által generált, 0 és 1 között egyenletes eloszlású véletlen szám köbgyökének az eloszlás- és sűrűségfüggvényét, és a várható értékét!

• 3. Tegyük fel, hogy egy országban az embereknek kb. 40 %-a balkezes. 2400 embert véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy kiválasztottak között a balkezesek aránya 39% és 41%-a között van? (A standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye segítségével adjon képletet a valószínűség közelítő értékére! A képletben az eloszlásfüggvény jelén kívül más betű nem szerepelhet.)

2. ZH - megoldások

1. Pótzh2, 2003 12 03

1.

$X:$ élettartam

Ha örökifjú, akkor exponenciális eloszlás.

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq 0$

$F(x)=1-e^{-\lambda x}\;\;\;\;\;x\geq 0$

$P(x\geq 2)=0.2$

$e^{-\lambda 2}=0.2$

$-\lambda 2=ln0.2$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ \lambda=-\frac{ln 0.2}{2}\approx0.8 \] }

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ m=\frac{1}{\lambda} \] }

$1-e^{-0.8x}={\frac {1}{2}}$

$e^{-0.8x}={\frac {1}{2}}$

$-0.8x=ln{\frac {1}{2}}$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ x=\frac{-ln\frac{1}{2}}{0.8}=\frac{ln2}{0.8}=0.86 \] }

---

2.

$\varphi [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ X=\sin\varphi \] }

$F(x)=p(X<x)$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ P(\sin\varphi<x)=P(\varphi<\arcsin x)=\frac{\arcsin x+\frac{\pi}{2}}{\pi} \] }

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ f(x)=F(x)'=\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\pi} \] }

---

3.

a.)

"Kiszámoljuk a sűrűségfüggvényeket, képezzük a direktszorzatot, aztán intergálunk egy jót." VA

$X:RND1^{2}$

$Y:RND2^{3}$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ f1(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}\;\;\;\;\;0<x<1 \] }

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ f2(y)=\frac{1}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<y<1 \] }

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ f(x,y)=f1(x)f2(y)=\frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}}\;\;\;\;\;0<x<1\;\;\;\;\;0<y<1 \] }

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ P(X>Y)=\int_{0}^1\int_{0}^x \frac{1}{6}\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{1}{\sqrt[3]{y^2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}x \] }

a.) vagy egyszerűbben

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ P(RND1^2>RND2^3)=P(RND1>RND2^{\frac{3}{2}})= \] }

Ez már egyenletes eloszlás, a feladat egyszerűsödik a

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ y^{\frac{3}{2}} =x \] }

vagyis a

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ y=x^{\frac{2}{3}} \] }

görbe alatti terület számítására.

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ =\int_{0}^1 x^{\frac{2}{3}} \mathrm{d}x=[\frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}]_{0}^1=\frac{3}{5} \] }

b.)

$X:f1(x)=2x\;\;\;\;\;(0<x<1)$

$Y:f2(y)=2y\;\;\;\;\;(0<y<1)$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ Y: f(x,y)=4xy\;\;\;\;\;(0<x<1)\;\;\;\;\;(0<y<1) \] }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \[ P(X^2>Y^3)=P(X^{\frac{2}{3}}>Y)= \] }

Értelmezés sikertelen (SVG (a MathML egy böngészőkiegészítővel engedélyezhető): Érvénytelen válasz („Math extension cannot connect to Restbase.”) a(z) https://wikimedia.org/api/rest_v1/ szervertől:): {\displaystyle \[ =\int\limits_{A}\int 4xy \;\;\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \] }

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle \[ =\int\limits_{0}^1\int\limits_{0}^{x^\frac{2}{3}} 4xy \;\;\mathrm{d}y\mathrm{d}x \] }

---

2. ZH4 2005 11 30

1.

$X:RND1$

$Y:RND2$

valószínűségi változók egyenletes eloszlást követnek

• Két eset lehetséges

$X<Y-X<1-Y\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;Y>X$

$Y<X-Y<1-X\;\;\;\;\;\;\;\;ha\;\;X>Y$

• Az első eset - $Y>X$

$P[(X<Y-X)\cap (Y-X<1-Y)]=P[(Y>2X)\cap (Y<{\frac {X}{2}}+{\frac {1}{2}})]=ter(A)$

Mivel egyenletes eloszlásról van szó, a valószínűség számítható a két egyenes közötti terület kiszámításával (kedvező eset per összes, az összes az egységnyi négyzet, 1-el való osztásnak nincs jelentősége).

• Második eset - $X>Y$

A szimmetria miatt az első esetben számított terület $x=y$ tengelyre tükrözött képét kapjuk megoldásnak.

Teljes megoldás: $P(...)=2*ter(A)$

---

2.

$X:{\sqrt[{3}]{RND}}$

$P(A<{\sqrt[{3}]{RND}}<B)=P(A^{3}<RND<B^{3})=B^{3}-A^{3}=\int _{A}^{B}3x^{2}\mathrm {d} x$

$f(x)=3x^{2}\;\;\;\;\;0<x<1$

$F(x)=\int _{0}^{x}3x^{2}\mathrm {d} x=[x^{3}]_{0}^{x}\;\;\;\;\;0<x<1$

• Várható érték = első momentum

$E(x)=\int _{0}^{1}x*3x^{2}\mathrm {d} x={\frac {3}{4}}$

---

Másik megoldás - Kitaláljuk az eloszlásfüggvényt, majd őt deriválva jutunk a sűrűségfüggvényhez:

$F(x)=P(X<x)=P({\sqrt[{3}]{RND}}<x)=P(RND<x^{3})=x^{3}\;\;\;\;\;0<x<1$

$f(x)=F'(x)=3x^{2}\;\;\;\;\;0<x<1$

---

3.

$X=$ ahány balkezes

Binomiális eloszlás

$p=0,4$

$n=2400$

Moivre-Laplace miatt közelíthető normális eloszlással.

$m=p*n=960$

$\sigma ={\sqrt {n*p*(1-p)}}=24$

$P(0.39<{\frac {x}{2400}}<0.41)=P(936<x<984)=$

$=P({\frac {936-960}{24}}<{\frac {x-960}{24}}<{\frac {984-960}{24}})=$

$=\phi (1)-\phi (-1)=68\%$