„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 510. sor: | 510. sor: | ||
Számoljuk ki a deriváltakat! | Számoljuk ki a deriváltakat! | ||
<math>|f'| = |(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)'| = |\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1|</math> | <math>|f'| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1\right|</math> | ||
<math>|f''| = |\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}| = |\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}| = |\frac{coshx + 1 - sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}|</math> | <math>|f''| = \left|\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right| = \left|\frac{coshx + 1 - sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}\right|</math> | ||
Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma) | Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma) | ||
| 521. sor: | 521. sor: | ||
<math>I < \frac{2 \cdot min_I|f'|}{max_I|f''|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 + 1 - sinh^25}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}} \right|</math> | <math>I < \frac{2 \cdot min_I|f'|}{max_I|f''|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 + 1 - sinh^25}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}} \right|</math> | ||
b) Az iteráció konvergens ha <math>|g(x)'| < 1 </math> a tartomány összes pontján. | |||
<math>|g'(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|</math> | |||
<math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt(1 + e^5 + e^{-5})} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math> | |||
Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens. | |||
}} | }} | ||