„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

@@ 499. sor: / 499. sor: @@
 b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?
+{{Rejtett
+|mutatott=Megoldás:
+|szöveg=
+a) A húrmódszer konvergens ha <math>|I| \frac{|f''|}{2|f'|} < 1</math> a tartomány összes pontján.
+Ez megadja, hogy max mekkora lehet az intervallum hossza, hogy az algoritmus konvergáljon. Gyakorlatban azt szoktuk vizsgálni, hogy a számláló maximuma és a nevező minimuma esetén is teljesül-e a feltétel, ami egy szűkebb feltétel, de becslésnek jó.
+Számoljuk ki a deriváltakat!
+<math>|f'| = |(\sqrt{1 + coshx} - 2 - x)'| = |\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}} - 1|</math>
+<math>|f''| = |\frac{coshx}{2(1 + coshx)^\frac{1}{2}} - \frac{sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}| = |\frac{coshx(1 + coshx) - 2 \cdot sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}| = |\frac{coshx + 1 - sinh^2x}{4(1 + coshx)^\frac{3}{2}}|</math>
+Nézzük meg ezeknek a minimumát és maximumát (csak a tartomány szélei érdekesek, nincs lokális minimuma)
+<math>min_I|f'| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}} - 1\right|</math>
+<math>max_I|f''| \leq \left|\frac{cosh4 + 1 - sinh^25}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}\right|</math>
+<math>I < \frac{2 \cdot min_I|f'|}{max_I|f''|} = \left| \frac{\frac{sinh4}{\sqrt{1 + cosh5}} - 2}{\frac{cosh4 + 1 - sinh^25}{4(1 + cosh4)^\frac{3}{2}}} \right|</math>
+}}
 <hr>