„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 393. sor: | 393. sor: | ||
|mutatott=Megoldás: | |mutatott=Megoldás: | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
* Írjuk fel a diffegyenletet véges differenciákkal: | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
| 408. sor: | 410. sor: | ||
}} | }} | ||
* | <math>\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} = \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{k^2}</math> | ||
* Válasszuk meg a feladatban adott h értékhez a k értékét, hogy az egyenletből a lehető legtöbb tag kiessen (jelen esetben a <math>h = k = \frac{1}{2}</math> választás célszerű). | |||
<math>u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j} = u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}</math> | |||
* Fejezzük ki <math>u_{i,j+1}</math>-et az egyenletből. | |||
<math>u_{i,j+1} = u_{i+1,j} + u_{i-1,j} - u_{i,j-1}</math> | |||
* Ennek a képletnek a rekurzív alkalmazásával el tudunk jutni a peremfeltételtől az u_{1,2} értékig. | |||
<math>u_{1,2} = u_{2,1} + u_{0, 1} - u_{1, 0}</math> | |||
* Innen az <math>u_{0, 1}</math> és a <math>u_{1, 0}</math> ismert a peremfeltétel alapján, de az <math>u_{2,1}</math>-ért még számolnunk kell. | |||
<math>u_{2,1} = u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, -1}</math> | |||
* Az <math>u_{2, -1}</math>-hez a nullában vett t szerinti deriváltra vonatkozó feltételt kell használni: | |||
<math>\frac{u_{2, 0} - u_{2, -1}}{k} = 0</math> | |||
* Vagyis: | |||
<math>u_{2, -1} = u_{2, 0}</math> | |||
<math> | * A kért pont tehát kiszámolható az alábbi peremen található értékekből (papíron egyszerűbb felvenni egy négyzetrácsot az <math>u_{i,j}</math> értékeknek, és mindenhova odaírni az adott értéket): | ||
<math>u_{1,2} = (u_{3,0} + u_{1, 0} - u_{2, 0}) + u_{0, 1} - u_{1, 0} = (0 + 2 - 1) + 3 - 2 = 2</math> | |||
}} | }} | ||