„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

VizuálisWikiszöveges

@@ 308. sor: / 308. sor: @@
 <math>u(0, t) = u(3, t) = 0,~u(x,0)=sin\frac{4\pi}{3}x,~\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 2\sin\frac{\pi}{3}x</math>
+{{Rejtett
+|mutatott='''Megoldás:'''
+|szöveg=
+* Az <math>U(x, t)</math>-t keressük szorzat alakban: <math>U(x, t) = X(x)T(T)</math>
+* A diffegyenlet így átírva: <math>X(t)\ddot{T}(t) = 4*X''(x)T(T)</math>
+* Ez így már szeparálható (figyeljünk arra, hogy a deriváltak a számlálóban legyenek):
+<math>4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{\ddot{T}(t)}{T(T)} = -b^2</math>
+* Nézzük meg, hogy melyik változóra van feltételünk, aminek a jobb oldalán konstans szerepel.
+** Az első két féltétel átírva: X(0)T(t) = X(3)T(t) = 0, minden t-re, vagyis X(0) = X(3) = 0
+** Tehát az X-re van a T-től nem függő feltételünk, ezért először az X-re oldjuk meg a diffegyenletet!
+* Oldjuk meg a diff-egyenletet:
+<math>4 \cdot \frac{X''(x)}{X(x)} = -b^2</math>
+<math>4 \cdot X''(x) + b^2 \cdot X(x) = 0</math>
+* Írjuk fel a karakterisztikus függvényt!
+<math>4 \cdot \lambda^2 + b^2 = 0</math>
+<math>\lambda^2 = -\frac{b^2}{4}</math>
+<math>\lambda = \pm i \frac{b}{2}</math>
+* Vagyis a diff-egyenlet megoldása:
+<math>X(x) = c_1 \cos{\frac{b}{2}x} + c_2 \sin{\frac{b}{2}x}</math>
+* Vizsgáljuk meg a kezdeti feltételeket:
+<math>X(0) = c_1 \cos{0} + c_2 \sin{0} = c_1 = 0</math>
+<math>X(3) = c_2 \sin{\frac{b}{2}x} = 0</math>
+Ami csak olyan egész k értékekre teljesülhet, amikre: <math>\frac{b}{2} = k \pi,~b = 2 k \pi</math>
+* Most oldjuk meg a diff-egyenletet T(t)-re, de a b helyére az újonnan kapott képletet írjuk be.
+<math>\frac{\ddot{T}(t)}{T(t)} = -(2 k \pi)^2</math>
+<math>\lambda^2 = -(2 k \pi)^2</math>
+<math>\lambda = \pm 2 i k \pi</math>
+* A T-re vonatkozó (k-tól függő) diff-egynelet:
+<math>T_k(t) = a_k \cos{2 k \pi t} + b_k \sin{2 k \pi t}</math>
+* Az <math>U(x, t)</math>-re vonatkozó k-tól függő egyenlet tehát:
+<math>U_k(x, t) = c_2 \sin{k \pi x} (a_k \cos{2 k \pi t} + b_k \sin{2 k \pi t})</math>
+* Vezessük be az <math>A_k = c_2 \cdot a_k</math> és <math>B_k = c_2 \cdot b_k</math> konstansokat!
+<math>U_k(x, t) = A_k \sin{k \pi x} \cos{2 k \pi t} + B_k \sin{k \pi x} \sin{2 k \pi t}</math>
+* Az <math>U(x, t)</math> pedig felírható az <math>U_k(x, t)</math>-k összegeként az összes k-ra.
+<math>U(x, t) = \sum_0^\infty U_k(x, t)</math>
+* A maradék két feltétel segítségével számoljuk ki az <math>A_k</math> és <math>B_k</math> konstansok értékeit.
+}}
 <hr>