„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés
| 144. sor: | 144. sor: | ||
** Ha <math>s+4i = 0</math>, akkor <math>0 \cdot Y(-4i) = 0</math>, vagyis <math>Y(-4i)</math> bármilyen konstans lehet, ezt jelöljük pl c-vel. | ** Ha <math>s+4i = 0</math>, akkor <math>0 \cdot Y(-4i) = 0</math>, vagyis <math>Y(-4i)</math> bármilyen konstans lehet, ezt jelöljük pl c-vel. | ||
<math>Y = c \cdot \delta(s+4i) + \frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}</math> | <math>Y = c \cdot \delta(s+4i) + \frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}</math> | ||
* Az összeg jobboldali tagja egyszerűsíthető, ha kihasználjuk, hogy az egy disztribúció (a <math>\delta(s)</math> a nevezőben lévő s-be is nullát helyettesít): | |||
<math>\frac{8\sqrt{2\pi}\delta(s)}{is-4}(\varphi) = \delta(s)\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}(\varphi) = \delta(s)(\frac{8\sqrt{2\pi}}{is-4}\varphi) = \frac{8\sqrt{2\pi}}{i0-4}\varphi(0) = -2\sqrt{2\pi}\delta(s)</math> | |||
* Vagyis: | |||
<math>Y = c \cdot \delta(s+4i) + -2\sqrt{2\pi}\delta(s)</math> | |||
* Aminek vegyük az inverz Fourier transzformáltját: | |||
** Megjegyzés: ha <math>\mathcal{F}(x+a) = e^{iay}\mathcal{F}(f(x))</math>, akkor <math>\mathcal{F}^-1(s+a) = e^{-iat}\mathcal{F}(f(-s))</math> | |||
<math>y(t) = c e^{4t} - 2</math> | |||
}} | }} | ||