Analízis (MSc) típusfeladatok

Integrál trafók témakör

Elmélet

1) Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt?

2) Írjuk fel a skálázó egyenletet!

Laplace trafó diff-egyenlet

1) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha ${\dot {x}}(t)=2y(t)-x(t)+1$

${\dot {y}}(t)=3y(t)-2x(t)$

$x(0)=0,~y(0)=1$

2) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha ${\ddot {x}}(t)=2x(t)-3y(t)$

${\ddot {y}}(t)=x(t)-2y(t)$

$x(0)={\dot {x}}(0)=0,~y(0)=0,~{\dot {y}}(0)=1$

3) Transzformáljuk elsőrendűvé a $y''+xy'=x$ differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier diff-egyenlet

1) Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! $y'(x)-4y(x)=8$

2) Transzformáljuk elsőrendűvé a $y''+xy'=x$ differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) Számítsuk ki az $f(x)=3xe^{-x}H(x)$ Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy $F(e^{-x}H(x))={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\frac {1}{1+iy}}$

Disztribúciók

1) Adjuk meg $\delta$ és $\delta '$ lineáris kombinációjaként az $e^{3x-2}\delta '(x)$ disztribúciót!

2) Számítsuk ki a $T=e^{-x^{2}}$ reguláris disztribúcuó és a $\delta '$ disztribúció konvolúciójának hatását a $\psi (x)=x^{2}$ függvényre: $(T*\delta ')x^{2}=?$

3) Mi az $(x-3)f=0$ disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

4) Adjuk meg az $e^{3x}\delta ''(x-2)$ disztribúciót a $\delta$ eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

Wavelet trafók

1) Legyen $\psi (x)=(1-x^{2})e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$, a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen $f(x)=e^{-|x|}$. $F(W_{\psi }f_{a}(b))=?$

b) Legyen $g(x)=x^{2}$. Tudjuk, hogy $\int _{R}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\sqrt {2\pi }}$. $W_{\psi }g_{a}(b)=?$

2) A Poisson wavelet a következő: $\psi _{n}(x)=H(x){\frac {x-n}{n!}}x^{n-1}e^{-x}$

a) Mutassuk meg, hogy $\psi (x)=-({\frac {x^{n}}{n!}}e^{-x})'$, ha $x\geq 0$

b) Mutassuk meg, hogy $\int _{R}\psi _{n}(x)dx=0$

c) $C_{\psi _{n}}=?$

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=4{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(0,t)=u(3,t)=0,~u(x,0)=sin{\frac {4\pi }{3}}x,~{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=2\sin {\frac {\pi }{3}}x$

2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=9{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(x,0)=12\cos {\frac {3\pi }{5}}x,~{\frac {\partial u}{\partial x}}(0,t)=~{\frac {\partial u}{\partial x}}(5,t)=0$

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) Véges differenciák segítségével, $h={\frac {1}{2}}$ felosztás mellett adjuk meg az $u_{1,2}$ értékét, ha

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(0,t)=3,~u(3,t)=0,~u(x,0)=3-x,~{\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=0$

2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha $x\in [0,5],t\geq 0$, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz $u(2,{\frac {1}{18}})$?

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=9{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u(x,0)=12\cos {\frac {3\pi }{5}}x,~{\frac {\partial u}{\partial x}}(0,t)=~{\frac {\partial u}{\partial x}}(5,t)=0$

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) Keressük a ${\sqrt {1+coshx}}-2=x$ egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

2) [2016ZH2] Tekintsük az $e^{x}-2=x$ egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

Lagrange multiplikátor módszer

1) Keressük meg az $f(x,y,z)=xy^{2}z^{3}(x,y,z>0)$ szélsőértékét az $x+2y+3z=6$ feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $3x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy$ függvénynek az $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

Variáció számítás

1) Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\int _{-1}^{2}y'^{2}+x^{3}-2xydx$

$y(-1)={\frac {1}{6}},~y(2)={\frac {5}{3}}$

2) Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\int _{-1}^{2}y'^{3}+x^{3}-2xydx$

$y(-1)={\frac {1}{6}},~y(2)={\frac {5}{3}}$