Analízis (MSc) típusfeladatok

Integrál trafók témakör

Elmélet

1) Milyen függvényosztályra értelmeztük a Laplace transzformációt?

2) Írjuk fel a skálázó egyenletet!

Laplace trafó diff-egyenlet

1) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha $\dot{x}(t)=2y(t)-x(t)+1$

$\dot{y}(t)=3y(t)-2x(t)$

$x(0)=0,y(0)=1$

2) Laplace transzformáció segítségével számítsuk ki x(t)-t, ha $\ddot{x}(t)=2x(t)-3y(t)$

$\ddot{y}(t)=x(t)-2y(t)$

$x(0)=\dot{x}(0)=0,y(0)=0,\dot{y}(0)=1$

3) Transzformáljuk elsőrendűvé a $y^{″}+x{y}^{\prime }=x$ differenciálegyenlet Laplace transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier diff-egyenlet

1) Oldjuk meg Fourier transzformáció segítségével! $y^{\prime }(x)-4y(x)=8$

2) Transzformáljuk elsőrendűvé a $y^{″}+x{y}^{\prime }=x$ differenciálegyenlet Fourier transzformációval (Nem kell megoldani!)!

Fourier trafó szabályok alkalmazása

1) Számítsuk ki az $f(x)=3x{e}^{-x}H(x)$ Fourier transzformáltját, ha tudjuk, hogy $F(e^{-x}H(x))=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{1+iy}$

Disztribúciók

1) Adjuk meg $\delta$ és ${\delta }^{\prime }$ lineáris kombinációjaként az $e^{3x-2}{\delta }^{\prime }(x)$ disztribúciót!

2) Számítsuk ki a $T=e^{-x^2}$ reguláris disztribúcuó és a ${\delta }^{\prime }$ disztribúció konvolúciójának hatását a $\psi (x)=x^2$ függvényre: $(T*{\delta }^{\prime })x^2=?$

3) Mi az $(x-3)f=0$ disztribúció értelemben vett egyenelet összes megoldása? (+1 miért?)

4) Adjuk meg az $e^{3x}{\delta }^{″}(x-2)$ disztribúciót a $\delta$ eltolt deriváltjainak lineáris kombinációjaként!

Wavelet trafók

1) Legyen $\psi (x)=(1-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$, a mexikói kalap wavelet.

a) Legyen $f(x)=e^{-|x|}$. $F(W_{\psi }{f}_a(b))=?$

b) Legyen $g(x)=x^2$. Tudjuk, hogy $\underset{R}{\int }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi }$. $W_{\psi }{g}_a(b)=?$

2) A Poisson wavelet a következő: ${\psi }_n(x)=H(x)\frac{x-n}{n!}{x}^{n-1}{e}^{-x}$

a) Mutassuk meg, hogy $\psi (x)=-(\frac{x^n}{n!}{e}^{-x}{)}^{\prime }$, ha $x\ge 0$

b) Mutassuk meg, hogy $\underset{R}{\int }{\psi }_n(x)dx=0$

c) $C_{{\psi }_n}=?$

Numerikus módszerek témakör

Parcdiff egyenletek (Fourier)

1) Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=4\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(0,t)=u(3,t)=0,u(x,0)=sin\frac{4\pi }{3}x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=2\sin \frac{\pi }{3}x$

2) [2016ZH2] Oldjuk meg Fourier módszerrel az alábbi parciális differenciálegyenletet!

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=9\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(x,0)=12\cos \frac{3\pi }{5}x,\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(5,t)=0$

Parcdiff egyenletek (véges differenciák)

1) Véges differenciák segítségével, $h=\frac{1}{2}$ felosztás mellett adjuk meg az $u_{1,2}$ értékét, ha

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(0,t)=3,u(3,t)=0,u(x,0)=3-x,\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=0$

2) [2016ZH2] Vázoljuk fel az alábbi feladat megoldását véges differenciák módszerével, ha $x\in [0,5],t\ge 0$, az x irányú távolság, h = 1. Mennyi lesz $u(2,\frac{1}{18})$?

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=9\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

$u(x,0)=12\cos \frac{3\pi }{5}x,\frac{\partial u}{\partial x}(0,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(5,t)=0$

Nem lineáris egyenletek numerikus megoldása

1) Keressük a $\sqrt{1+coshx}-2=x$ egyenlet megoldását. Tudjuk, hogy a gyök a [4, 5] intervallumban van.

a) A gyökhöz milyen közel kell indítani a húrmódszert, hogy az eljárás konvergáljon?

b) Használható-e a [4, 5] intervallumon az iteráció?

2) [2016ZH2] Tekintsük az $e^x-2=x$ egyenletet az [1, 2] intervallumon! Megoldható-e iterációval az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen? Megoldható-e húrmódszerrel az [1, 2] valamely részintervallumán? Ha igen, milyen rövid legyen?

Lagrange multiplikátor módszer

1) Keressük meg az $f(x,y,z)=x{y}^2{z}^3(x,y,z>0)$ szélsőértékét az $x+2y+3z=6$ feltétel mellett! Vizsgáljuk meg a feltételes definitséget a kapott pontban!

2) [2016ZH2] Hol lehet feltételes szélsőértéke a $3x^2+y^2+z^2-xy$ függvénynek az $x^2+y^2+z^2=1$ feltétel mellett? (+3 pontért: Az egyik lehetséges pontban nézzük meg, hogy van-e!)

Variáció számítás

1) Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^2+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$

2) Keressük meg az $I(y)$ funkcionálhoz tartozó extremális y függvényt!

$I(y)=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}y{\text{'}}^3+x^3-2xydx$

$y(-1)=\frac{1}{6},y(2)=\frac{5}{3}$