„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés
| 95. sor: | 95. sor: | ||
{200 \cdot 10^{-9} \over 2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 1} \cdot {0.1 \over 5} \approx 226 \; {V \over m} | {200 \cdot 10^{-9} \over 2 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 1} \cdot {0.1 \over 5} \approx 226 \; {V \over m} | ||
</math> | </math> | ||
}} | |||
===11. Feladat: Ismert potenciálú és töltésű fémgömb sugarának meghatározása === | |||
Egy levegőben álló, töltött fémgömb felszínén a felületi töltéssűrűség <math>\sigma = 10 \;{\mu C \over m^2}</math>. A gömb potenciálja a végtelen távoli ponthoz képest <math>\Phi_0=3kV</math>. Mekkora a gömb sugara? | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
Első körben határozzuk meg a fémgömb elektrosztatikus terének térerősségvektorát. | |||
Ehhez írjuk fel a Gauss-tételt egy olyan <math>r>R</math> sugarú gömbfelületre, melynek középpontja egybeesik a fémgömb középpontjával. | |||
<math>\oint_{A} \vec{D} \; \mathrm{d} \vec{s} = \int_{V} \rho \; \mathrm{d}V</math> | |||
Felhasználva, hogy levegőben az elektromos térerősségvektor és az elektromos eltolásvektor kapcsolata: | |||
<math>\vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}</math> | |||
<math>\oint_{A} \vec{E} \; \mathrm{d} \vec{s} = {1 \over \varepsilon_0} \int_{V} \rho \; \mathrm{d}V</math> | |||
Szimmetria okok miatt, az elektromos térerősségvektorok sugárirányúak lesznek és mivel a gömb pozitív töltésű, így a gömbtől elfelé mutatnak. Emiatt a felületintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik. A térfogati töltéssűrűség integrálja az adott térfogatban lévő összetöltés. Mivel a fémgömb sugaránál minden esetben nagyobb sugarú gömb térfogatára integrálunk, így ez az érték konstans lesz és megegyezik a felületi töltéssűrűségnek fémgömb felületé vett integráljával. A felületi töltéssűrűség a fémgömb felületén állandó, így ez az integrál is egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik. Tehát: | |||
<math>\ E(r) \cdot 4r^2\pi = {1 \over \varepsilon_0} \cdot \sigma \cdot 4R^2\pi \longrightarrow | |||
\vec{E}(r)={\sigma R^2 \over \varepsilon_0} \cdot {1 \over r^2} \cdot \vec{e}_r</math> | |||
Most írjuk fel a fémgömb potenciáljára a definíciós képletet, feltéve hogy a gömbtől végtelen távoli pont potenciálja nulla: | |||
<math>\Phi_0= \Phi(\infty) - \int_{\infty}^R \vec{E} \; \mathrm{d} \vec{l} = | |||
0 - \int_{\infty}^R E(r) \; \mathrm{d} r = | |||
- \int_{\infty}^R {\sigma R^2 \over \varepsilon_0} \cdot {1 \over r^2} \; \mathrm{d} r = | |||
{\sigma R^2 \over \varepsilon_0} \int_{\infty}^R - {1 \over r^2} \; \mathrm{d} r = | |||
</math> | |||
::<math> | |||
= {\sigma R^2 \over \varepsilon_0} \cdot \left[ {1 \over r} \right]_{\infty}^R = | |||
{\sigma R^2 \over \varepsilon_0} \cdot \left( {1 \over R} - {1 \over \infty} \right)= | |||
{\sigma R \over \varepsilon_0} \longrightarrow R = {\varepsilon_0 \Phi_0 \over \sigma} = | |||
{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 3000 \over 10 \cdot 10^{-6}} \approx 2.655 \;mm | |||
</math> | |||
Természetesen a feladat ennél sokkal egyszerűbben is megoldható, ha tudjuk fejből a ponttöltés potenciálterének képletét. Ugyanis, ha használjuk a helyettesítő töltések módszerét és a gömb összes töltését egy ponttöltésbe sűrítjük a gömb középpontjába, akkor a gömb felületén a potenciál nem változik. Tehát: | |||
<math>\Phi_0=\Phi(R) = {Q \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {1 \over R} ={4R^2\pi \sigma \over 4 \pi \varepsilon_0} \cdot {1 \over R} = | |||
{R \sigma \over \varepsilon_0} \longrightarrow R = {\varepsilon_0 \Phi_0 \over \sigma} = | |||
{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 3000 \over 10 \cdot 10^{-6}} \approx 2.655 \;mm</math> | |||
}} | }} | ||