„Algoritmuselmélet - PZH, 2013.04.24.” változatai közötti eltérés
a (Hryghr átnevezte a(z) Algoritmuselmélet 2013.04.24. PZH megoldásai lapot a következő névre: Algoritmuselmélet - PZH, 2013.04.24.) |
a |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
+ | {{Vissza|Algoritmuselmélet}} | ||
+ | |||
==2013.04.24. PZH megoldásai== | ==2013.04.24. PZH megoldásai== | ||
===1. Feladat (Van megoldás)=== | ===1. Feladat (Van megoldás)=== | ||
108. sor: | 110. sor: | ||
TODO | TODO | ||
}} | }} | ||
+ | |||
+ | [[Kategória:Infoalap]] |
A lap 2013. június 13., 21:20-kori változata
Tartalomjegyzék
2013.04.24. PZH megoldásai
1. Feladat (Van megoldás)
Egy algoritmus lépésszámáról tudjuk, hogy [math] T(n) = T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right) + O(n^2)[/math] és tudjuk azt is, hogy [math] T(1)=T(2)=T(3)=1[/math]. Bizonyítsa be, hogy [math] T(n)=O(n^2)[/math].
Van olyan [math] c \gt 0[/math] és [math] n_0[/math], hogy [math] n\gt n_0[/math] esetén [math] T(n)=T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+O(n^2) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor\right)+cn^2 \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{16} \right \rfloor\right)+c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)\right) \leq T\left(\left \lfloor \frac{n}{64} \right \rfloor\right) + c\left(n^2+\left(\frac{n^2}{4^2} \right)+\left(\frac{n^2}{16^2} \right)\right) \leq \dots [/math] [math] \dots \leq 1+cn^2\cdot\left(\sum_{i=0}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor} \left (\frac{1}{16} \right )^i\right)[/math]
Azt kell észrevennünk, hogy ez tulajdonképpen egy mértani sor, amire van képletünk:
[math]\sum_{i=0}^{k} r^i = \frac{1-r^{k+1}} {1-r} [/math], ahol [math] k = \left \lfloor log_4n \right \rfloor, r = \frac{1}{16}[/math], vagyis [math]\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}}[/math]
[math]\frac{1-\frac{1}{16}^{\left \lfloor log_4n \right \rfloor+1}} {1-\frac{1}{16}} \lt 2 ,[/math]ha [math] n \geq 1[/math] (A lényeg, hogy felülről becsüljük!)
Tehát [math] T(n) = \dots \leq 1+2 \cdot cn^2=O(n^2)[/math]2. Feladat (Van megoldás)
Adott egy teljes bináris fa, a csúcsaiba egész számok vannak írva, összesen n darab (a fa nem feltétlenül bináris keresőfa). Adjon algoritmust, ami [math]O(n)[/math] lépésben megkeres egy olyan csúcsot a fában, aminek a részfája kupac, és aminek a magassága a legető legnagyobb az összes ilyen csúcs közül.
- Bár nem tartozik a feladathoz, talán érdemes megjegyezzem, hogy bináris kereső fa nem is lehetne, hiszen akkor ott kapásból csak a legalsó szinten lévő elemek lehetnek kupacok (egy 1 elemet tartalmazó kupac), hiszen bináris keresőfánál balra kisebbek, jobbra nagyobbak vannak, míg kupacnál balra és jobbra is nagyobbak vannak.
- Továbbá a teljes bináris fára azért van szükség, mert így "jóval egyszerűbb" a feladat, és nem kell szívózni annak vizsgálatával, hogy az adott részfa teljes bináris fa-e (ugyebár ez a kupac egyik fontos tulajdonsága).
Minden csúcsban 3 adatot fogunk számon tartani: Érték (ez persze adott már), részfa magassága (jelüljük M-mel), és egy bool érték (IGAZ/HAMIS, jelöljük B-vel), hogy igaz-e a részfájára, hogy az kupac.
- Első lépésben a legalsó szinteken lévő csúcsok esetén [math]M:=1, B:=IGAZ[/math].
- Legyen egy változónk, amiben tároljuk, hogy melyik csúcsra igaz, hogy az részfája a "legnagyobb" kupac (kezdeti értéke legyen mondjuk az egyik legalsó szinten lévő csúcs).
- Minden további szinten az a feladatunk, hogy megnézzük az adott csúcs (x) bal, és jobb fiát [math](JOBB(x), BAL(x))[/math].
- Megnézzük, hogy nagyobbak-e, mint x, majd megnézzük, hogy kupac tulajdonsággal bírnak-e:
- Ha [math]BAL(x),JOBB(x) \gt x;BAL(x).B=JOBB(x).B=IGAZ\Rightarrow\Rightarrow x.M := BAL(x).M+1, x.B := IGAZ[/math] majd a változónkba belerakjuk a csúcsot. Vagyis ha mindkettő nagyobb, és mindkettő kupac tulajdonsággal bír, akkor a csúcs részfa magassága 1-gyel nagyobb lesz, mint az egyik (bal, vagy jobb) fia magassága, és kupac tulajdonságú lesz.
- Ha [math]BAL(x) \lt x[/math] VAGY [math]JOBB(x) \lt x[/math] VAGY [math]BAL(x).B=HAMIS[/math] VAGY [math]JOBB(x).B=HAMIS\Rightarrow\Rightarrow x.M := BAL(x).M+1, x.B := HAMIS[/math]. Vagyis ha bármelyik feltétel nem teljesül (valamelyik fia kisebb, avagy valamelyik gyerekére nem igaz, hogy kupac tulajdonságú), akkor maga a csúcs sem lehet már kupac tulajdonságú (itt a magasságot nem is kéne beállítani, de...hát miért is ne).
- Megnézzük, hogy nagyobbak-e, mint x, majd megnézzük, hogy kupac tulajdonsággal bírnak-e:
3. Feladat (Van megoldás)
Kukori és Kotkoda egy-egy bináris fára gondolnak (nem feltétlenül bináris keresőfákra). Következik-e, hogy a két fa azonos, ha
(a) inorder bejárással kilolvasva a két fát ugyanazt a számsorozatot kapják?
(b) preorder bejárással kiolvasva a két fát ugyanazt a számsorozatot kapják?
4. Feladat
TODO
5. Feladat
TODO
6. Feladat
TODO
7. Feladat
TODO
8. Feladat
TODO