Matematika A3 - Differenciálegyenletek: osztályozások és definíciók

Definíció

A differenciálegyenlet olyan egyenlet, mely tartalmaz egy ismeretlen függvényt (szokásosan $y(x)$) és annak deriváltjait.

Osztályozások

Közönséges - parciális differenciálegyenletek

Közönséges, ha az ismeretlen függvény egyváltozós, parciális, ha többváltozós.

Példák

Az első egyenlet közönséges, a második parciális.

$y^{\prime }(x)=e^x+x$

$\frac{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_1}+x_1\frac{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_2}=x_1^5{x}_2^2$

Lineáris - nem lineáris differenciálegyenletek

Lineáris, ha nem szerepel az egyenletben a deriváltak szorzata, egyébként nem lineáris.

Példák

Az első egyenlet lineáris, a második nem.

$y^{\prime }(x)=x^2+4$

$x_1\frac{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_1}\frac{\partial y(x_1,x_2)}{\partial x_2}=x_1^2{x}_2$

Homogén - inhomogén differneciálegyenletek

Homogén, ha az egyenlet nem tartalmaz független változót vagy konstans tagot, inhomogén, ha igen.

Példák

Az első egyenlet homogén, a második nem.

$x{y}^{\prime }(x)-e^{x}y(x)=0$

$x{y}^{\prime }(x)-e^{x}y(x)-12=0$

Állandó-, vagy függvényegyütthatós differenciálegyenletek

Állandó együtthatós, ha a deriváltak együtthatói állandók, függvény együtthatós, ha függvények.

Példák

Az első egyenlet állandó-, a második függvény együtthatós.

$4y^{\prime }(x)-2y(x)=10$

$x^2{y}^{\prime }(x)-e^{x+1}y(x)-12=0$

Első-, másod-, n-edrendű differenciálegyenletek

A legnagyobb derivált rendje határozza meg az egyenlet rendjét.

Példa

A fentiek mind elsőrendűek, alább egy harmadrendű.

$4x^2{y}^{‴}(x)+2x{y}^{″}(x)+y^{\prime }(x)=7$