Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23

Ez az oldal a korábbi SCH wikiről lett áthozva.

Ha úgy érzed, hogy bármilyen formázási vagy tartalmi probléma van vele, akkor, kérlek, javíts rajta egy rövid szerkesztéssel!

Ha nem tudod, hogyan indulj el, olvasd el a migrálási útmutatót.

2.

(a) $\lim _{x\to \infty }{\frac {3^{n+2}+n^{3}}{3^{n}-n}}=?$

(b) $\lim _{x\to \infty }{\frac {(3-{\frac {1}{n}})^{n}}{3^{n}}}=?$

3. Melyik igaz, melyik nem:

a, Ha $f$ folytonos $[a,b]$-n, akkor $f$ korlátos $[a,b]$-n

b, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor $f$ korlátos $(a,b)$-n

c, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor véges sok pont kivételével $f$ deriválható $(a,b)$-n

d, Ha $f$ értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható $(a,b)$-n akkor folytonos itt

e, Ha $f$ deriválható $(a,b)$-n, akkor $f$ folytonos $(a,b)$-n

Megoldások:

1. Adja meg az összes olyan $z$ komplex számot, melyre $z^{4}=2j{\frac {-8+6j}{3+4j}}$.

Végezzük el először a $2j$-vel való beszorzást.

$z^{4}={\frac {-16j-12}{3+4j}}={\frac {-4*(3+4j)}{3+4j}}=-4$

Tehát $z^{4}=-4=-4+0*j=4*(cos\pi +j*sin\pi )$ Mert a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge $\pi$ és nagysága 4.

Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

$z={\sqrt {2}}*(cos{\frac {\pi +2k\pi }{4}}+j*sin{\frac {\pi +2k\pi }{4}})$ ahol $k=0,1,2,3$

2.

(a) $\lim _{x\to \infty }{\frac {3^{n+2}+n^{3}}{3^{n}-n}}=?$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {3^{n+2}+n^{3}}{3^{n}-n}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3^{2}+{\frac {n^{3}}{3^{n}}}}{1-{\frac {n}{3^{n}}}}}={\frac {9+0}{1-0}}=9$

(b) $\lim _{x\to \infty }{\frac {(3-{\frac {1}{n}})^{n}}{3^{n}}}=\lim _{x\to \infty }({\frac {3-{\frac {1}{n}}}{3}})^{n}=\lim _{x\to \infty }(1-{\frac {\frac {1}{3}}{n}})^{n}=e^{-{\frac {1}{3}}}$

4. Hány megoldása van az $x^{13}-13x-9=0$ egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:

Hány zérushelye van az $f(x)=x^{13}-13x-9$ egyenletnek?

Deriváljuk a függvényt először:

$f'(x)=13x^{12}-13$

Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.

$13x^{12}-13=0$, ebből $x=-1$ vagy $x=1$

Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, akövetkezőt tudjuk meg: ha f(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van, ha f(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

$f''(x)=156x^{11}$ , ebből $f''(-1)=-156$ és $f''(1)=156$, tehát -1-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

Így igaz a következő $(\infty ,-1)$ intervallumon szig. mon. nő, $(-1,1)$-on szig.mon. csökken, $(1,\infty )$-on szig. mon. nő.

Emiatt lehet 1,2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

$f(-1)=3$ és $f(1)=-21$ -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.

Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: $f(0)=-9$, tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.

Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

A megoldás kicsit hosszadalmas lett, amennyiben tudsz egyszerűbbet rakd fel nyugodtan ezután.

-- r.crusoe - 2008.01.14.

Az egyenletből egyébként ránézésre látszik, hogy egyáltalán van-e megoldása.. Ugyanis: páratlan fokú, tehát biztos átmegy az abszcisszán.

-- Gyurci - 2008.05.27.

Vizsgatapasztalat: Ha lehet 3 gyök és a végén kijön, hogy van is, akkor oda kell írni, hogy ez Bolzano miatt van. Itt persze a lényeg az, hogy ha pozitívból negatívba megyünk (vagy fordítva), és a fv. folytonos, akkor muszáj átmennünk az x tengelyen, tehát kell lennie gyöknek. Ez a függvény pedig folytonos, mert folytonosakból raktuk össze.

-- Gyurci - 2008.01.14.

5. $\int _{1}^{e}ln^{2}x\mathrm {d} x=?$

Parciálisan fogunk integrálni, beviszünk az integrálba egy 1-es szorzót, ez lesz $v'(x)$, és $u(x)=ln^{2}x$.

$\int _{1}^{e}1*ln^{2}x\mathrm {d} x=[xln^{2}x]_{1}^{e}-\int _{1}^{e}x*{\frac {2lnx}{x}}\mathrm {d} x=[xln^{2}x]_{1}^{e}-2\int _{1}^{e}lnx\mathrm {d} x$

$\int _{1}^{e}lnx\mathrm {d} x$-et az előző módszerrel integráljuk:

$[xln^{2}x]_{1}^{e}-2([xlnx]_{1}^{e}-\int _{1}^{e}x*{\frac {1}{x}}\mathrm {d} x)=$ $[xln^{2}x]_{1}^{e}-2([xlnx]_{1}^{e}-[x]_{1}^{e})=$ $[x(ln^{2}x-2lnx+2)]_{1}^{e}=$ $e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2$

6. $\lim _{x\to \infty }{\frac {\int _{0}^{x}\arctan {t}\mathrm {d} t}{x}}=?$

Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

$\int _{0}^{x}1*\arctan {t}\mathrm {d} t=[t*\arctan {t}]_{0}^{x}-\int _{0}^{x}t*{\frac {1}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=[t*\arctan {t}]_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{x}{\frac {2t}{t^{2}+1}}\mathrm {d} t=$ $=[t*\arctan {t}]_{0}^{x}-{\frac {1}{2}}[ln(t^{2}+1)]_{0}^{x}=$ $=x*\arctan {x}-0-{\frac {1}{2}}ln(x^{2}+1)-0=x*\arctan {x}-{\frac {1}{2}}ln(x^{2}+1)$

Most ezt visszahelyettesítjük:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x*\arctan {x}-{\frac {1}{2}}ln(x^{2}+1)}{x}}=$ $\lim _{x\to \infty }(\arctan {x}-{\frac {ln(x^{2}+1)}{2x}})=$ ${\frac {\pi }{2}}-\lim _{x\to \infty }{\frac {ln(x^{2}+1)}{2x}}$

Mert, $\lim _{x\to \infty }\arctan {x}={\frac {\pi }{2}}$.

A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

$lim_{x\to \infty }{\frac {ln(x^{2}+1)}{2x}}=$ $\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {2x}{x^{2}+1}}{2}}=$ $\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x^{2}+1}}=$ $\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{2x}}=0$

Így a feladat megoldása: ${\frac {\pi }{2}}-0={\frac {\pi }{2}}$

A feladatokat le kellene ellenőrizni + hozzáadni a 3. feladat megoldását.

-- r.crusoe - 2008.01.14.