Matematika A1 - Vizsga: 2007.01.23

← Vissza az előző oldalra – Matematika A1a - Analízis

1. Feladat

Adja meg az összes olyan $z$ komplex számot, melyre $z^4=2j\frac{-8+6j}{3+4j}$.

Megoldás

Végezzük el először a $2j$-vel való beszorzást.

$z^4=\frac{-16j-12}{3+4j}=\frac{-4*(3+4j)}{3+4j}=-4$

Mivel a komplex síkon a (-4;0) koordinátájú pontba mutató helyvektor forgásszöge $\pi$ és nagysága 4, így:

$z^4=-4=-4+0*j=4*(cos\pi +j*sin\pi )$ Mert

Ebből kell most negyedik gyököt vonni:

$z=\sqrt{2}*(cos\frac{\pi +2k\pi }{4}+j*sin\frac{\pi +2k\pi }{4})$ ahol $k=0,1,2,3$

2. Feladat

Határozza meg az alábbi határértékeket!

$a,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=?$

$b,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(3-\frac{1}{n}{)}^n}{3^n}=?$

Megoldás

a, Feladat:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^{n+2}+n^3}{3^n-n}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^2+n^3/3^n}{1-n/3^n}=\frac{9+0}{1-0}=9$

b, Feladat:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(3-\frac{1}{n}{)}^n}{3^n}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{3-\frac{1}{n}}{3}\right)}^n=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{\frac{1}{3}}{n})}^n=e^{-\frac{1}{3}}$

3. Feladat

Melyik igaz, melyik nem:

a, Ha $f$ folytonos $[a,b]$-n, akkor $f$ korlátos $[a,b]$-n

b, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor $f$ korlátos $(a,b)$-n

c, Ha $f$ folytonos $(a,b)$-n, akkor véges sok pont kivételével $f$ deriválható $(a,b)$-n

d, Ha $f$ értelmezett és véges sok pont kivételével deriválható $(a,b)$-n akkor folytonos itt

e, Ha $f$ deriválható $(a,b)$-n, akkor $f$ folytonos $(a,b)$-n

Megoldás

Ehhez a feladathoz még nincs megoldás!

Ha tudod, írd le ide ;)

4. Feladat

Hány megoldása van az $x^{13}-13x-9=0$ egyenletnek? Ha van(nak) megoldás(ok), állapítsa meg előjelüket!

Megoldás

Mivel 13-ad fokú egyenletet nem tudunk megoldani, függvényvizsgálattal kell megkeresni a megoldásokat. A feladat ekvivalens a következővel:

Hány zérushelye van az $f(x)=x^{13}-13x-9$ függvénynek?

Deriváljuk a függvényt először:

$f^{\prime }(x)=13x^{12}-13$

Ahol a derivált nulla, ott lokális szélsőértéke van a függvénynek.

$13x^{12}-13=0$, ebből $x=-1$ vagy $x=1$

Most megnézzük, hogy ezek maximum vagy minimum helyek. Ezt a második derivált segítségével tudjuk megnézni, amibe ha vissza helyettesítjük az x-et, a következőt tudjuk meg:

ha f"(x)>0 a függvény konvex, és minimuma van,

ha f"(x)<0, a függvény konkáv, és maximuma van.

$f^{″}(x)=156x^{11}$ , ebből $f^{″}(-1)=-156$ és $f^{″}(1)=156$.

Tehát a függvénynek (-1)-ben lokális maximuma, 1-ben lokális minimuma van.

Így igaz, hogy a függvény a $(\mathrm{\infty },-1)$ intervallumon szigorúan monoton nő, a $(-1,1)$ intervallumon szigorúan monoton csökken, míg a $(1,\mathrm{\infty })$ intervallumon szigorúan monoton nő.

Emiatt és mivel az f(x) függvény folytonos, így lehet 1, 2 vagy 3 zérushelye, amit a következőképpen derítünk ki:

$f(-1)=3$ és $f(1)=-21$ -ből és az előzőekből következik, hogy -1 és 1 között van zérushely, továbbá, hogy -1 előtt és 1 után is van egy-egy.

Most már csak a -1 és 1 közötti zérushely előjelét kell eldönteni, legkönnyebb így: $f(0)=-9$, tehát -1 és 0 közt van a zérushely, így előjele negatív.

Tehát az egyenletnek 3 megoldása van, két negatív és egy pozitív.

5. Feladat

Határozza meg az alábbi integrál értékét!

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}l{n}^{2}x\mathrm{d}x=?$

Megoldás

A megoldás során azt a trükköt alkalmazzuk, hogy az integrálandó függvényt beszorozzuk 1-el, majd pedig ezt integráljuk parciálisan.

$v^{\prime }(x)=1\mathrm{\&}u(x)=l{n}^{2}x$

$v(x)=x\mathrm{\&}{u}^{\prime }(x)=2\frac{lnx}{x}$

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}1*l{n}^{2}x\mathrm{d}x={\left[xl{n}^{2}x\right]}_1^e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}x*2\frac{lnx}{x}\mathrm{d}x=[xl{n}^{2}x{]}_1^e-2\underset{1}{\overset{e}{\int }}lnx\mathrm{d}x=$

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}lnx\mathrm{d}x$-et az előző módszerrel ismét parciálisan integráljuk integráljuk:

${\left[xl{n}^{2}x\right]}_1^e-2({\left[xlnx\right]}_1^e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}x*\frac{1}{x}\mathrm{d}x)=$

${\left[xl{n}^{2}x\right]}_1^e-2({\left[xlnx\right]}_1^e-{\left[x\right]}_1^e)=$

${\left[x(l{n}^{2}x-2lnx+2)\right]}_1^e=$

$e(1-2+2)-1(0-0+2)=e-2$

6. Feladat

Határozza meg az alábbi határértéket!

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\underset{0}{\overset{x}{\int }}\arctan (t)\mathrm{d}t}{x}=?$

Megoldás

Végezzük el először az integrálást, parciálisan, mint az előző feladatban is:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}1*\arctan (t)\mathrm{d}t={[t*\arctan (t)]}_0^x-\underset{0}{\overset{x}{\int }}t*\frac{1}{t^2+1}\mathrm{d}t={[t*\arctan (t)]}_0^x-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{2t}{t^2+1}\mathrm{d}t=$

$={[t*\arctan (t)]}_0^x-\frac{1}{2}{\left[ln(t^2+1)\right]}_0^x=x*\arctan x-0-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+0=x*\arctan x-\frac{1}{2}ln(x^2+1)$

Most ezt visszahelyettesítjük:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x*\arctan x-\frac{1}{2}ln(x^2+1)}{x}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\arctan x-\frac{ln(x^2+1)}{2x})=$ $\frac{\pi }{2}-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{ln(x^2+1)}{2x}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\arctan x=\frac{\pi }{2}$

A második kifejezést pedig 2-szer L'Hospital-juk:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{ln(x^2+1)}{2x}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x}{x^2+1}=$ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2x}=0$

Tehát a feladat megoldása: $\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2}$