„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
| (78 közbenső módosítás, amit 28 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva) | |||
| 336. sor: | 336. sor: | ||
=== 27. Feladat: R sugarú egyenletesen töltött gömb D tere === | === 27. Feladat: R sugarú egyenletesen töltött gömb D tere === | ||
Egy R sugarú gömb egyenletes \rho térfogati töltéssűrűséggel töltött. Adja meg az elektromos eltolás nagyságát a középpontól 2R távolságban. | Egy R sugarú gömb egyenletes <math>\rho</math> térfogati töltéssűrűséggel töltött. | ||
Adja meg az elektromos eltolás nagyságát a középpontól 2R távolságban. | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
| 342. sor: | 344. sor: | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
<math>\ | Írjuk fel a Gauss-törvényt egy zárt, <math>r > R</math> sugarú, <math>A</math> felületű gömbre, melynek középpontja egybeesik a töltött gömb középpontjával: | ||
<math>\oint_{A} \vec{D} \; \mathrm{d} \vec{s} = \int_{V} \rho \; \mathrm{d}v</math> | |||
<math>\oint_{A} \vec{D} \; \mathrm{d} \vec{s} = \rho \cdot {4 R^3 \pi \over 3}</math> | |||
Szimmetria okokból az elektromos eltolásvektorok a gömb felületének minden pontjában sugárirányúak, azaz párhuzamosak a felület normálisával, tehát a felületintegrál szorzássá egyszerűsödik. | |||
<math>\vec{D}(r) \cdot 4 r^2 \pi = \rho \cdot {4 R^3 \pi \over 3}</math> | |||
<math>\vec{D}(r) = { \rho R^3 \over 3} \cdot {1 \over r^2} \cdot \vec{e}_r</math> | |||
<math> | <math>\vec{D}(2R) = { \rho R \over 12} \cdot \vec{e}_r</math> | ||
}} | }} | ||
=== 28. Feladat: Gömb kapacitása a végtelenhez képest === | === 28. Feladat: Gömb kapacitása a végtelenhez képest === | ||
| 379. sor: | 389. sor: | ||
<math>\varphi(r)=\int_{r_0}^{r_1}E(r)dr=\int_{r_0}^{r_2}E(r)dr+\int_{r_2}^{r_1}E(r)dr=\frac Q {4\pi{\varepsilon_0}}\frac 1 {r_2}+\frac Q {4\pi\varepsilon}\left(\frac 1 {r_1} -\frac 1 {r_2}\right)=\frac Q {4\pi{\varepsilon_0}} \cdot \left(\frac 1 {r_2} + \frac 1 {\varepsilon_r}\left(\frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2}\right)\right)</math> | <math>\varphi(r)=\int_{r_0}^{r_1}E(r)dr=\int_{r_0}^{r_2}E(r)dr+\int_{r_2}^{r_1}E(r)dr=\frac Q {4\pi{\varepsilon_0}}\frac 1 {r_2}+\frac Q {4\pi\varepsilon}\left(\frac 1 {r_1} -\frac 1 {r_2}\right)=\frac Q {4\pi{\varepsilon_0}} \cdot \left(\frac 1 {r_2} + \frac 1 {\varepsilon_r}\left(\frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2}\right)\right)</math> | ||
/*Szerintem rosszak az integrálási határok, fel vannak cserélve és így negatív eredményt kapunk.*/ | |||
Felhasználva a <math>C=\frac Q U</math> formulát: | Felhasználva a <math>C=\frac Q U</math> formulát: | ||
<math> | <math> | ||
C=4\pi{\varepsilon_0} \cdot \left(\frac 1 {\frac 1 {r_2} + \frac 1 {\ | C=4\pi{\varepsilon_0} \cdot \left(\frac 1 {\frac 1 {r_2} + \frac 1 {\varepsilon_{_{_r}}}\left(\frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2}\right)}\right) = 24.78pF | ||
</math> | </math> | ||
/*<math>\varepsilon_r</math> Nem viselkedik valami jól az utolsó képletben.*/ | /*<math>\varepsilon_r</math> Nem viselkedik valami jól az utolsó képletben.*/ | ||
/*Kókányoltam rajta egy kicsit, de még mindig rossz*/ | |||
| 397. sor: | 410. sor: | ||
=== 34. Feladat: Áramsűrűség meghatározása egy felület másik oldalán === | === 34. Feladat: Áramsűrűség meghatározása egy felület másik oldalán === | ||
Adott <math>Z=0</math> sík. A <math>\sigma</math> | Adott <math>Z=0</math> sík. A <math>\sigma</math> vezetőképesség: <math>Z>0</math> esetén <math>\sigma = \sigma^+</math> és <math>Z<0</math> esetén <math>\sigma = \sigma^-</math>. Adott <math>J_1 = J_1(x) \cdot e_x + J_1(z) \cdot e_z</math> áramsűrűség a sík egyik oldalán. | ||
Határozza meg az áramsűrűség függvényt a felület másik oldalán! | Határozza meg az áramsűrűség függvényt a felület másik oldalán! | ||
| 404. sor: | 417. sor: | ||
|mutatott='''Megoldás''' | |mutatott='''Megoldás''' | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
<!-- Szerintetek ez jó? Mivel stacionárius áramlási tér van, ezért a a felületen töltés nem halmozódhat fel. Így a J normálisoknak meg kellene egyeznie! Nem? 2019.01.10 --> | |||
Tudjuk, hogy <math >E = { J \over \sigma } </math> | Tudjuk, hogy <math >E = { J \over \sigma } </math> | ||
| 531. sor: | 544. sor: | ||
== Stacionárius mágneses tér == | == Stacionárius mágneses tér == | ||
=== 48. Feladat: Mágneses térerősség meghatározása áramjárta félegyenesek === | |||
Fel kell bontani két vezetőre(egyik egyenes, a másik egy L alakú lesz), mindkettőn 3A fog folyni. Kiszámolod hogy az egyik meg a másik mekkora mágneses teret hoz létre abban a pontban (Biot-Savart), és a a végén összeadod azt a két értéket (szuperpozíció). | |||
A T-elágazás szárai végtelen félegyeneseknek tekinthetők. Adja meg a vezetők síkjában fekvő P pontban a mágneses térerősséget! | |||
(ábra a megoldásnál) | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
[[File:Terek_szóbeli_feladatok_magnesesfelegyenes.jpg|300px]] | |||
}} | |||
=== 50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás === | === 50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás === | ||
| 617. sor: | 641. sor: | ||
=== | === 53. Feladat: Két tekercs kölcsönös indukciója toroid vasmagon=== | ||
Toroid alakú vasmagon egy <math>N_1=300</math> és egy <math>N_2=500</math> menetes tekercs helyezkedik el. Az <math>N_1</math> menetszámú tekercs öninduktivitása <math>L_1=0,9H</math>. Adja meg a két tekercs közötti kölcsönös induktivitás nagyságát! | |||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||
|mutatott='''Megoldás''' | |mutatott='''Megoldás''' | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
}} | |||
=== 58. Feladat: Toroid tekercs fluxusa és energiája=== | |||
Hányszorosára változik egy <math>L</math> önindukciós együtthatóval rendelkező <math>I_1 = 2A</math> árammal átjárt toroid belsejében a mágneses fluxus, ha az áramerősséget nagyon lassan <math>I_2 = 5A</math> -re növeljük? | |||
Hányszorosára változik a tekercs mágneses mezejében tárolt energia? | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg=Mivel az áram nagyon lassan változik, így a kezdő és végállapotot vehetjük két egymástól független stacioner állapotú esetnek. | |||
<math> | Egy bármilyen tekercs fluxusa az <math>\Psi=LI</math> képletből számolható. Ez alapján a toroid fluxusváltozása: | ||
<math>\frac{\Psi_2}{\Psi_1}=\frac{LI_2}{LI_1}=\frac{I_2}{I_1}=2.5</math> | |||
<math> | Egy bármilyen tekercs energiája számolható a <math>W=\frac{1}{2}LI^2</math> képlet alapján. Tehát a toroid energiaváltozása: | ||
<math>\ | <math>\frac{W_2}{W_1}=\frac{\frac{1}{2}L \cdot I_2^2}{\frac{1}{2}L \cdot I_1^2}=\frac{I_2^2}{I_1^2}=2.5^2=6.25</math> | ||
}} | |||
=== 59. Feladat: Kölcsönös indukciós együttható meghatározása a Biot-Savart törvény segítségével === | |||
Egy szabályos kör alakú <math>R</math> sugarú körvezetővel egy síkban, a körvezető középpontjában helyezkedik el egy <math>a</math> oldalhosszúságú négyzet alakú vezető keret. Határozza meg a két vezető keret kölcsönös indukciós együtthatóját a Biot-Savart törvény segítségével, ha <math>a << R</math> ! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
A kölcsönös indukciós együttható azt mutatja meg, hogy mekkora fluxust hoz létre egy vezető hurok árama egy másik vezető hurokban. | |||
<math> | Legyen a külső kör alakú vezetőben folyó áram <math>I</math>! Mivel <math>a << R</math>, ezért azt kell meghatározni, hogy ez az <math>I</math> áram mekkora mágneses térerősséget hoz létre a körvezető középpontjában, ahol a négyzetes vezető elhelyezkedik. Ezt a Biot-Savart törvénnyel meg lehet határozni, így megkapjuk <math>L_{1,2}= \frac{\phi_{2}}{I}</math> kölcsönös indukciós együttható értékét. | ||
A | A Biot-Savart törvény : <math>\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi }\oint \frac{d\mathbf{l}\times \mathbf{r_{0}}}{r^{2}}</math>, ahol <math>r_{0}</math> az elemi <math>d\mathbf{l}</math> szakaszból a vizsgált pontba mutató egységvektor (fontos, hogy EGYSÉG-vektor, mert ha nem az egységvektorral számolunk, akkor a nevezőben nem négyzetes, hanem köbös a távolság). Mivel a vizsgált pont a körvezető középpontja, így a távolság végig <math>R</math> és a körintegrálás a körvezető keret kerületével való szorzássá egyszerűsödik: | ||
<math>\ | <math>\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi R^{2} } \cdot 2R\pi</math> | ||
}} | <math>\mathbf{H} = \frac{I}{2R}</math> | ||
<math>\mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{H}</math> | |||
<math>\phi = \int_{A}^{ } \mathbf{B} dA</math> | |||
{{ | |||
Mivel <math>a << R</math> ezért volt elég a középpontban kiszámolni a térerősséget és a kis négyzetes vezető fluxusát így közelíteni: | |||
<math>\ | <math>\phi_{2} = \mathbf{B} a^{2}</math> | ||
Végül mindent behelyettesítve: <math>L_{1,2}= \frac{\mu_{0} a^{2}}{2R}</math> | |||
}} | }} | ||
=== | === ???. Feladat: Kondenzátor dielektrikumában disszipált teljesítmény === | ||
A feladat sorszáma NEM biztos, ha valaki meg tudja erősíteni/cáfolni, az javítsa pls! | A feladat sorszáma NEM biztos, ha valaki meg tudja erősíteni/cáfolni, az javítsa pls! | ||
Eddig ez az 59.-es volt, de biztos nem ez a valódi sorszáma, 59. fentebb. | |||
Adott egy kondenzátor, melynek fegyverzetei között egy <math>\sigma=50 {nS \over m}</math> fajlagos vezetőképességű dielektrikum helyezkedik el. | Adott egy kondenzátor, melynek fegyverzetei között egy <math>\sigma=50 {nS \over m}</math> fajlagos vezetőképességű dielektrikum helyezkedik el. | ||
| 706. sor: | 736. sor: | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
Az Ampere-féle gerjesztési törvényből következik, hogyha a toroid közepes sugarához sugarához tartozó közepes kerülete mentén integráljuk a mágneses térerősséget, akkor szimmetria okokból, ott mindenütt érintő irányú és azonos nagyságú lesz a mágneses térerősségvektor. Ez onnét látható, hogy ha veszünk a toroid tekercseléséből egyetlen menetet, akkor arra igaz, hogy a menet minden kis szakaszában folyó áram által keltett mágneses mező a jobbkéz-szabály (I - r - B) szerint a menet | Az Ampere-féle gerjesztési törvényből következik, hogyha a toroid közepes sugarához sugarához tartozó közepes kerülete mentén integráljuk a mágneses térerősséget, akkor szimmetria okokból, ott mindenütt érintő irányú és azonos nagyságú lesz a mágneses térerősségvektor. Ez onnét látható, hogy ha veszünk a toroid tekercseléséből egyetlen menetet, akkor arra igaz, hogy a menet minden kis szakaszában folyó áram által keltett mágneses mező a jobbkéz-szabály (I - r - B) szerint a menet síkjára merőleges irányú mágneses térerősségvektort hoz létre. | ||
Tehát a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik. Valamint a toroid közepes sugara által kifeszített A területű körlapot összesen N-ször döfi át egy-egy I áramerősségű vezeték, mindannyiszor ugyanabba az irányba. Tehát a második tekercs mágneses téresősségének nagysága: | Tehát a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik. Valamint a toroid közepes sugara által kifeszített A területű körlapot összesen N-ször döfi át egy-egy I áramerősségű vezeték, mindannyiszor ugyanabba az irányba. Tehát a második tekercs mágneses téresősségének nagysága: | ||
| 721. sor: | 751. sor: | ||
}} | }} | ||
===62. Feladat: Szolenoid tekercs mágneses indukciója === | |||
Adott: <math>A=5cm^2</math>, <math>N=1000</math>, <math>L=???</math>, <math>\mu_r =???</math>. | |||
Adja meg a mágneses indukció nagyságát a Szolenoid belsejében! | |||
=== 64. Feladat: Hosszú egyenes vezető mágneses tere és a vezetőben tárolt mágneses energia === | === 64. Feladat: Hosszú egyenes vezető mágneses tere és a vezetőben tárolt mágneses energia === | ||
| 788. sor: | 823. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 66. Feladat: Végtelen, egyenes vezető, és vezetőkeret kölcsönös induktivitása. === | |||
Egy a = 0.05m oldalhosszúságú négyzet hossztengelyétől d = 0.12m távolságban (tehát két oldalával párhuzamosan, kettőre pedig merőlegesen, a vezetőkeret fölött), egy végtelen hosszúságú, <math>I</math> áramot szállító vezeték halad. Határozza meg az egyenes vezető és a vezetőkeret közötti kölcsönös indukció együtthatót! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= A vezetőkeret két oldala, amelyek a végtelen hosszú vezetővel párhuzamosak, azonos távol vannak a vezetőkerettől. Mivel a mágneses indukció körkörösen, a jobbkéz-szabály szerint fogja körül a vezetőt, ezért a két átellenes oldalban pont ellenkező előjelű feszültség indukálódik, így kinullázzák egymást. Tehát 0 lesz a kölcsönös indukció. | |||
Kijön számítás alapján is. | |||
}} | |||
== Távvezetékek (TV) == | == Távvezetékek (TV) == | ||
| 851. sor: | 894. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 70. Feladat: Szakadással lezárt TV áram amplitúdó nagysága === | |||
Egy ideális légszigetelésű TV ismert hullámimpedanciája 500 Ohm. A távvezeték végén a szakadáson mért feszültség amplitúdója <math> U{_{2}}^{} = 180 V </math>. Mekkora a távvezeték végétől <math> x = 500 </math> méterre az áramerősség amplitúdója, ha tudjuk, hogy a frekvencia 1 MHz. | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
A megoldás menete: Ideális a TV és légszigetelésű ezért a <math> \beta = \frac{2\pi }{\lambda } </math> és mivel légszigetelésű a vezeték <math> \lambda = \frac{c}{f} </math>. | |||
Felírjuk a Heimholtz egyenleteket a TV végére: | |||
<math> U(z=l) = U^{+} * e^{-j\beta l} + U^{-} * e^{j\beta l} </math> | |||
<math> I(z=l) = I^{+} * e^{-j\beta l} - I^{-} * e^{j\beta l} </math> | |||
<math> l = 500m </math> | |||
<math> r = 1 </math> | |||
A reflexiós tényező a távvezeték végén: | |||
<math> r = \frac{U_{2}^{-}}{U_{2}^{+}} = \frac{U^{-} * e^{j\beta l}}{U^{+} * e^{-j\beta l}} </math> | |||
Ebből kifejezve <math> U^{-} = U^{+} * e^{-j2\beta l} </math> | |||
Ezt visszaírva a Heimholtz megoldásába: | |||
<math> U(z=l) = {U^{+}} * e^{-j\beta l} + U^{+} * e^{-j2\beta l} = 180V </math> | |||
Ebből ki tudjuk fejezni <math> U^{+}-t \;\; és \;\; U^{-}-t </math> Amit visszaírva az egyenletbe a további paramétereket megkapjuk az áram amplitúdóját. | |||
}} | |||
=== 72. Feladat: Lecher vezeték hullámimpedanciájának számítása === | |||
Egy ideális Lecher vezeték hullámimpedanciája kezdetben 400 ohm. Eltávolítjuk egymástól a vezetékpárt, ekkor a vezeték hosszegységre jutó soros impedanciája 1,5-szeresére nő. Mennyi lesz ekkor a vezeték hullámimpedanciája? | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
A megoldás menete: Mivel ideális a TV, a fázissebesség c, azaz a fénysebesség. Tudjuk, hogy <math>c = \frac{1}{\sqrt{L'\cdot C'}}</math>. | |||
A hullámimpedancia pedig <math>Z_{0} = \sqrt{\frac{L^{'}}{C^{'}}}</math>. Rendezgetéssel ezzel a két képlettel kijön. | |||
}} | |||
=== 73. Feladat: Ideális TV lezárásának számítása === | |||
Egy ideális távvezetek hullámimpedanciája <math>Z_{0}=50\Omega</math>. Az állóhullámarány <math>\sigma =3</math>, a TV lezárása egy ''R'' rezisztancia. ''R'' milyen értékeket vehet fel? Ha a lezárást kicseréljük egy ''C'' kondenzátorra, milyen értékűnek válasszuk, hogy az állóhullámarány megmaradjon? (<math>\omega = 10^{5} \frac{1}{s})</math> | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
Az állóhullámarány és a reflexiós tényező kapcsolata: <math>\sigma = \frac{1+\left | r \right |}{1-\left | r \right |} = 3</math> | |||
Ebből <math>\left | r \right | = \frac{1}{2} </math>, tehát <math>r = \pm \frac{1}{2}</math> | |||
Tudjuk, hogy <math>r = \frac{Z_{2}-Z_{0}}{Z_{2}+Z_{0}} = \frac{R-Z_{0}}{R+Z_{0}}</math>, kifejezve ''R''-t, adódik, hogy: <math>R = \frac{Z_{0} + rZ_{0}}{1-r}</math>. | |||
ha <math>r = \frac{1}{2}</math>, akkor <math>R = 16.67\Omega</math>. | |||
ha <math>r = -\frac{1}{2}</math>, akkor <math>R = 150\Omega</math>. | |||
Nézzük, mi történik, ha a távvezetéket egy kondenzátorral zárjuk le: | |||
ez egy kedves becsapós kérdés, mert amennyiben <math>Z_{2} = \frac{1}{j\omega C}</math>, akkor <math>r = \frac{Z_{2}-Z_{0}}{Z_{2}+Z_{0}} = \frac{\frac{1}{j\omega C}-Z_{0}}{\frac{1}{j\omega C}+Z_{0}}</math>. | |||
Az állóhullámarány kiszámításánál a relflexiós tényező abszolútértékével kell dolgoznunk, ami egy komplex szám és konjugáltjának hányadosa, ami az <math>r =1</math>-et eredményezi, tehát az állóhullámarány értéke nem maradhat 3 ebben az esetben, vagyis nem létezik a követelményeknek megfelelő kondenzátor. | |||
}} | |||
=== 78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása === | === 78. Feladat: Ideális távvezeték állóhullámarányának számítása === | ||
| 858. sor: | 975. sor: | ||
|mutatott='''Megoldás''' | |mutatott='''Megoldás''' | ||
|szöveg= | |szöveg= | ||
A megadott függvényből kiolvasható a hullám beeső (pozitív irányba halad | A megadott függvényből kiolvasható a hullám beeső (pozitív irányba halad <math>\rightarrow - j \beta z </math> ) és a reflektált (negatív irányba halad <math>\rightarrow + j \beta z </math> ) komponenseinek komplex amplitúdói: | ||
<math>U^+ = 3+4j</math> | <math>U^+ = 3+4j</math> | ||
| 864. sor: | 981. sor: | ||
<math>U^- = 2-j</math> | <math>U^- = 2-j</math> | ||
''Megjegyzés:'' A feladat megadható úgy is, hogy U(x) függvényt adják meg. Ekkor a beeső komponenshez ( | ''Megjegyzés:'' A feladat megadható úgy is, hogy <math>U(x)</math> függvényt adják meg. Ekkor a beeső komponenshez (<math>U_2^+</math>) tartozik a pozitív, a reflektálthoz (<math>U_2^-</math>) pedig a negatív hatványkitevő! | ||
| 874. sor: | 991. sor: | ||
Ezekből felírható a távvezeték reflexiós tényezőjének abszolút értéke definíció szerinti | Ezekből felírható a távvezeték reflexiós tényezőjének abszolút értéke definíció szerinti <math>x</math> paraméterezéssel, majd ebből <math>z</math> szerinti paraméterezéssel: | ||
<math>|r|=\left| {U_{reflektalt} \over U_{beeso}} \right|= \left| {U_2^- \over U_2^+ } \right|=\left| {U^- \over U^+ } e^{j2 \beta l} \right| = \left| {U^- \over U^+ } \right| =\left| {2-j \over 3+4j } \right| = {1 \over \sqrt{5}} \approx 0.447</math> | <math>|r|=\left| {U_{reflektalt} \over U_{beeso}} \right|= \left| {U_2^- \over U_2^+ } \right|=\left| {U^- \over U^+ } e^{j2 \beta l} \right| = \left| {U^- \over U^+ } \right| =\left| {2-j \over 3+4j } \right| = {1 \over \sqrt{5}} \approx 0.447</math> | ||
| 884. sor: | 1 001. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 81. Feladat: Egyenfeszültséggel gerjesztett TV megadott feszültségű pontjának meghatározása === | === 81. Feladat: Egyenfeszültséggel gerjesztett TV megadott feszültségű pontjának meghatározása === | ||
| 996. sor: | 1 112. sor: | ||
</math> | </math> | ||
}} | |||
=== 85. Feladat: Távvezeték állóhullámaránya === | |||
Egy távvezeték hullámimpedanciája <math>500 \Omega </math>, a vezeték végén a feszültség és az áram amplitúdója 1kV és 2A. Mit mondhatunk a reflexiós tényezőről? Mekkora a távvezetéken az állóhullámarány lehető legkisebb értéke? | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
<math>\frac{1 kV}{2 A} = 500 \Omega</math>. Ez csak az abszolút értéke az impedanciának (amplitúdók voltak csak adottak a fázisok nem). Ebből felírva a két szélső helyzetet(<math>Z_{2} = 500 \Omega </math> vagy <math>Z_{2} = j \cdot 500 \Omega </math>): | |||
Adódik, hogy a reflexiós tényező abszolútértéke 1 és 0 között változik. Ebből pedig behelyettesítve az állóhullámarány képletébe látszik hogy az végtelen és egy között változik. Így annak lehető legkisebb értéke 1. | |||
}} | }} | ||
| 1 071. sor: | 1 200. sor: | ||
}} | }} | ||
== Indukálási jelenségek == | == Indukálási jelenségek == | ||
| 1 140. sor: | 1 268. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 99. Feladat: Zárt vezetőhurokban disszipálódó összes energia === | |||
R ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa <math>0 < t < T</math> intervallumban ismert <math>\Phi(t)</math> szerint változik. Fejezze ki az intervallumban a keretben disszipálódó összes energiát! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
Az indukálási törvény alapján: | |||
<math>u_i=-{d\Phi(t) \over dt}</math> | |||
Továbbá: | |||
<math> P = { U^2 \over R } </math> | |||
Ezt integrálni kell 0-tól T-ig, 1/T előtaggal. | |||
(megj. nem vagyok 100%-ig biztos a megoldásban, de Bokor elfogadta így. Pontosítani ér!) | |||
(megj. Szerintem 1/T nélkül kell integrálni, mert akkor az átlagot ad és nem az összes disszipálódott energiát. Üdv, Egy másik felhasználó) | |||
}} | |||
=== 100. Feladat: Hosszú egyenes vezető környezetében lévő zárt vezetőkeretben indukált feszültség === | === 100. Feladat: Hosszú egyenes vezető környezetében lévő zárt vezetőkeretben indukált feszültség === | ||
| 1 376. sor: | 1 528. sor: | ||
Mivel a közeg | Mivel a közeg jó vezető és relatíve alacsony körfrekvenciájú a síkhullám, így: <math> \sigma >> \omega \varepsilon </math> | ||
| 1 404. sor: | 1 556. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 114. Feladat: Teljesítményváltozás === | |||
Egy jó vezető peremén a teljesítménysűrűség 40W/m^3. A peremtől 5 mm távolságban viszont már csak 8 W/m^3.Adja meg a behatolási mélységet! | |||
=== 116. Disszipált teljesítmény alumíniumvezetőben === | |||
Egy hengeres <math> r = 2mm </math> sugarú és <math> L = 8m </math> hosszúságú alumínium vezetőben <math> I = 3A </math> amplítúdójú szinuszos áram folyik. A vezetőben mért behatolási mélység <math> \delta = 60 \mu m </math> , határozza meg a vezető által disszipált teljesítményt, ha <math> \sigma = 35*10^6 S/m </math>! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= Mivel a vizsgáztatóm azt mondta a megoldásomra, hogy rossz. de közben áttértünk a tételre, nem írnék le rossz megoldást. | |||
}} | |||
== Elektromágneses hullám szigetelőben== | == Elektromágneses hullám szigetelőben== | ||
=== 119. Feladat: Közeg hullámimpedanciájának számítása === | === 119. Feladat: Közeg hullámimpedanciájának számítása === | ||
| 1 439. sor: | 1 602. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 120. Feladat: Felületen átáramló hatásos teljesítmény számítása === | |||
Homogén vezető végtelen féltérben síkhullám terjed a határfelületre merőlegesen. E = 25mV/m, H= 5A/m. Adja meg egy adott, a z=0 határfelületen levő A=3m^2 felületre az azon átáramló hatásos teljesítményt! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= A megoldás ismeretlen. | |||
}} | |||
=== 121. Feladat: EM hullám elektromos térerősségvektorából mágneses térerősségvektor számítása === | |||
Egy levegőben terjedő elektromágneses hullám komplex elektromos térerősségvektora: <math>\vec{E} =(5 \vec{e}_y - 12 \vec{e}_z ) \cdot e^{j \pi / 3} \;{kV \over m}</math><br/>Adja meg a <math>\vec{H}</math> komplex mágneses térerősségvektort! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
A megoldás során a távvezeték - EM hullám betűcserés analógiát használjuk fel! | |||
Először is szükségünk van a levegő hullámimpedanciájára. Mivel levegőben vagyunk, így <math>\sigma << \varepsilon</math>, valamint <math>\mu = \mu_0</math> és <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math> | |||
<math>Z_0= \sqrt{{j \omega \mu \over \sigma + j \omega \varepsilon}} \approx \sqrt{{\mu_0 \over \varepsilon_0}} \approx 377 \Omega</math> | |||
Bontsuk most fel a komplex elektromos térerősségvektort a két komponensére: | |||
<math>\vec{E}=\vec{E}_y+\vec{E}_z</math> | |||
<math>\vec{E}_y=5 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_y \;{kV \over m}</math> | |||
<math>\vec{E}_z= - 12 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_z \;{kV \over m}</math> | |||
Ezek alapján már felírhatóak a komplex mágneses térerősségvektor komponensei (vigyázat az egységvektorok forognak <math>x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow x</math>): | |||
<math>\vec{H}_z={E_y \over Z_0} \cdot \vec{e}_z \approx 13.26 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_z \;{A \over m}</math> | |||
<math>\vec{H}_x={E_z \over Z_0} \cdot \vec{e}_x \approx - 31.83 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_x \;{A \over m}</math> | |||
A két komponens összegéből pedig már előáll a komplex mágneses térerősségvektor: | |||
<math>\vec{H}=\vec{H}_z+\vec{H}_x \approx (13.26 \cdot \vec{e}_z - 31.83 \cdot \vec{e}_x) \cdot e^{j \pi / 3} \;{A \over m}</math> | |||
}} | |||
| 1 453. sor: | 1 661. sor: | ||
Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény: | Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény: | ||
<math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} | <math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} </math> | ||
Mivel jelen esetben a Poynting-vektor és a felület normálisa párhuzamosak, így a felületintegrál egyszerű szorzássá egyszerűsödik: | Mivel jelen esetben a Poynting-vektor és a felület normálisa párhuzamosak, így a felületintegrál egyszerű szorzássá egyszerűsödik: | ||
| 1 476. sor: | 1 684. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 126. Feladat: Síkhullám közeghatáron, elektromos térerősség amplitúdójának meghatározása === | === 126. Feladat: Síkhullám közeghatáron, elektromos térerősség amplitúdójának meghatározása === | ||
| 1 488. sor: | 1 695. sor: | ||
Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény: | Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény: | ||
<math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} | <math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} </math> | ||
| 1 510. sor: | 1 717. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 129. Feladat: Elektromágneses síkhullám közeghatáron === | === 129. Feladat: Elektromágneses síkhullám közeghatáron === | ||
| 1 544. sor: | 1 750. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 130. Feladat: Elektromágneses síkhullám ideális szigetelőben === | |||
Egy ideális szigetelőben terjedő elektromágneses hullám időfüggvénye: <math>E(x,t) = 100 \cdot \cos(1.1t - 7.5x) \cdot e_x \frac{V}{m}</math>. | |||
Az idő mértékegysége <math>\mu s</math>, a távolságé <math>km</math>. | |||
Határozza meg a közeg dielektromos állandóját! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
A térerősség általános időfüggvénye: <math>E(x,t) = E_0 \cdot \cos(\omega t - \beta x) \cdot e_x</math>. | |||
Ebből látszik, hogy jelen feladatban <math>\omega = 1.1 \frac{Mrad}{s} </math> és <math>\beta = 7.5 \frac{1}{km}</math>. | |||
Tudjuk azt is, hogy <math> v_f = \frac{c}{\sqrt \varepsilon_r} = \frac{\omega}{\beta}</math>. Átrendezve: <math>\varepsilon_r = (\frac{\beta}{\omega} \cdot c)^2 = (\frac{7.5 \cdot 10^-3}{1.1 \cdot 10^6} \cdot 3 \cdot 10^8)^2 = 4.18 </math>. | |||
}} | |||
=== 134. Feladat: Elektromágneses síkhullám szigetelő határfelületén === | |||
Levegőben terjedő síkhullám merőlegesen esik egy 200 <math>\Omega</math> hullámimpedanciájú ideális szigetelővel kitöltött végtelen féltér határfelületére. Mekkora a levegőben az elektromos térerősség maximális amplitúdója, ha a minimális amplitúdó levegőben 80 <math>{V \over m}</math>? | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
Először a reflexiós tényezőt kell kiszámítani ahol <math> Z_0=377\Omega Z_2=200\Omega </math> <math> r={Z_2 - Z_0 \over Z_2 + Z_0}\approx 0,3 </math>. | |||
A reflexiós tényezőből ki tudjuk számolni az állóhullámarányt. | |||
<math> SWR= {1+|r| \over 1-|r|} \approx 1,86 </math> | |||
(Ell.: 1 és <math>\infty</math> között van.) | |||
SWR=<math> { |U_{max}| \over |U_{min}| } \Rightarrow |U_{max}|=|U_{min}|*SWR=80*1,86=148,8 {V \over m} </math> | |||
}} | |||
=== 135. Feladat: Elektromágneses síkhullám által gerjesztett áramsűrűség === | |||
Egy levegőben terjedő síkhullám merőlegesen esik egy végtelen kiterjedésű fémsík felületére. A síktól <math>\lambda \over 8</math> távolságra az elektromos térerősség komplex amplitúdója <math>500 {{V} \over {m}}</math>. Számítsa ki a felületi áramsűrűség nagyságát! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
A távvezeték analógiát felhasználva a lezárás rövidzár, így <math>r = -1</math>. | |||
<math>E_2(h) = {E^+_2} \cdot {e^{j \beta (h-z)}} + {r} \cdot {{E^+_2} \cdot {e^{-j \beta (h-z)}}}</math> | |||
<math>{\beta = {{2 \pi} \over {\lambda}}} \Rightarrow E_2({{\lambda} \over {8}}) = {E^+_2} \cdot {e^{j {{ \pi } \over {4}}}} - {E^+_2} \cdot {e^{-j {{ \pi } \over {4}}}} = E^+_2 \cdot {\sqrt{2}j}</math> | |||
<math>E^+_2 = {{500 {{V}\over{m}}} \over {\sqrt{2}j}} = -353.55i {{V} \over {m}}</math> | |||
<math>|H^+_2| = {{|E^+_2|}\over{120\pi}} = 0.9378 {{A}\over{m}}</math> | |||
Mivel vezetőben <math>H_{1t} = 0</math> és <math>H_{2t} - H_{1t} = K</math> azaz <math>n \times H_2 = K</math> | |||
<math>{{K=H^+_2} \cdot {(1+(-r))} = {{2} \cdot {H^+_2}} = 1.8756 {{A}\over{m}}}</math> | |||
}} | |||
=== 136. Feladat: Elektromágneses síkhullám elektromos térerősségéből mágneses térerősség számítása === | |||
Egy elliptikusan polarizált levegőben terjedő síkhullám elektromos térerőssége a következő:<math>E = E0*(ex*cos(wt)+3*ey*cos(wt-pi/6))</math>.Adja meg a mágneses térerősség x irányú komponensét! | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= | |||
Mivel síkhullám ezért z irányú komponense nincs a térerősségeknek. Az elektromos térerősséget Z0-val osztva (ami a levegőben terjedő hullám hullámimpedanciája) megkapjuk a mágneses térerősséget. De térbe a két térerősség merőleges egymásra, ezért Ex-ből Hy, valamint Ey-ból Hx lesz. Z irányú komponense nincs a síkhullámnak. | |||
Tehát: | |||
<math>H = (E0/Z0)*(ey*cos(wt)+3*ex*cos(wt-pi/6))</math> | |||
<math>Hx = (E0/Z0)*(3*ex*cos(wt-pi/6))</math> | |||
//Bilicz azt mondta kell a Hx-hez egy negatív előjel | |||
}} | |||
== Poynting-vektor == | == Poynting-vektor == | ||
| 1 584. sor: | 1 862. sor: | ||
}} | }} | ||
=== 142. Feladat: Hertz-dipólus távoltérben === | |||
Levegőben álló Hertz-dipólus távolterében az elektromos térerősség amplitúdója az antennától r távolságban, az antenna tengelyétől mért <math>\vartheta </math> elevációs szög alatt <math>E(r, \vartheta)={200V \over r} \cdot sin\vartheta</math>. Adja meg az antenna által kisugárzott összes hatásos teljesítményt! <math>(D=1,5)</math> | |||
{{Rejtett | |||
|mutatott='''Megoldás''' | |||
|szöveg= Hertz-dipólus távoltérben | |||
}} | |||
=== 143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény === | === 143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény === | ||
| 1 629. sor: | 1 913. sor: | ||
<math>\vec{E}(r)=\frac{U_0}{r} \cdot \vec{e_r}</math> és <math>\vec{H}(r)=\frac{I_0}{r} \cdot \vec{e_\varphi}</math> | <math>\vec{E}(r)=\frac{U_0}{r} \cdot \vec{e_r}</math> és <math>\vec{H}(r)=\frac{I_0}{r} \cdot \vec{e_\varphi}</math> | ||
(<math>\vec{e_r}, \vec{e_\varphi}</math> és <math>\vec{e_z}</math> a radiális, | (<math>\vec{e_r}, \vec{e_\varphi}</math> és <math>\vec{e_z}</math> a radiális, <math>\varphi</math> és <math>z</math> irányú egységvektorok) | ||
Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara <math>r_1</math>, a külső vezető belső sugara <math>r_2</math>, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a z irányú. | Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara <math>r_1</math>, a külső vezető belső sugara <math>r_2</math>, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a <math>z</math> irányú. | ||
{{Rejtett | {{Rejtett | ||