VIK Wiki

„Elektromágneses terek alapjai - Szóbeli feladatok” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés
VizuálisWikiszöveges
David14 (vitalap | szerkesztései)
4 081 szerkesztés
Nincs szerkesztési összefoglaló
 
(142 közbenső módosítás, amit 40 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)
10. sor: 10. sor:


Ha esetleg a LATEX ismeretének hiánya tartana csak vissza a gyűjtemény bővítésétől, akkor látogass el a [[Segítség:Latex]] és a [[Segítség:LaTeX példák]] oldalakra. Ezeken minden szükséges információt meglelsz egy helyen. Jól használható még ez az [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php Online LATEX editor] is, ahol real time láthatod amit írsz, valamint gyorsgombok vannak a legtöbb funkciókra. Akát ott is megírhatod a képleteket, majd egyszerűen bemásolod ide őket.
Ha esetleg a LATEX ismeretének hiánya tartana csak vissza a gyűjtemény bővítésétől, akkor látogass el a [[Segítség:Latex]] és a [[Segítség:LaTeX példák]] oldalakra. Ezeken minden szükséges információt meglelsz egy helyen. Jól használható még ez az [http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php Online LATEX editor] is, ahol real time láthatod amit írsz, valamint gyorsgombok vannak a legtöbb funkciókra. Akát ott is megírhatod a képleteket, majd egyszerűen bemásolod ide őket.
De ha még ez se megy, akkor egyszerűen nézzél meg egy már fent lévő feladatot, hogy ott hogy vannak megoldva a speciális karakterek.


{{noautonum}}
{{noautonum}}
== Elektrosztatika ==
== Elektrosztatika ==


=== 1. Feladat: Két töltött fémgömb között az elektromos térerősség ===
=== 1. Feladat: Két töltött fémgömb között az elektromos térerősség ===


Két azonos <math>r_0=3 cm</math> sugarú fémgömb középpontjának távolsága <math>d=1.8m</math>. A gömbök közé <math>U_0=5kV</math> fezsültséget kapcsolunk.
Két azonos <math>r_0=3 cm</math> sugarú fémgömb középpontjának távolsága <math>d=1.8m</math>. A gömbök közé <math>U_0=5kV</math> feszültséget kapcsolunk.


Határozza meg a középpontokat összekötő egyenes szakasz felezőpontjában az elektromos térerősséget.
Határozza meg a középpontokat összekötő egyenes szakasz felezőpontjában az elektromos térerősséget.
96. sor: 100. sor:
</math>
</math>
}}
}}


===11. Feladat: Ismert potenciálú és töltésű fémgömb sugarának meghatározása ===
===11. Feladat: Ismert potenciálú és töltésű fémgömb sugarának meghatározása ===
150. sor: 155. sor:
{R \sigma \over  \varepsilon_0} \longrightarrow R = {\varepsilon_0 \Phi_0 \over \sigma} =  
{R \sigma \over  \varepsilon_0} \longrightarrow R = {\varepsilon_0 \Phi_0 \over \sigma} =  
{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 3000 \over 10 \cdot 10^{-6}} \approx 2.655 \;mm</math>
{8.85 \cdot 10^{-12} \cdot 3000 \over 10 \cdot 10^{-6}} \approx 2.655 \;mm</math>
}}
=== 19. Feladat: Gömbkondenzátor elektródáira kapcsolható maximális feszültség ===
Egy gömbkondenzátor belső elektródájának sugara <math>R_\mathrm{1}=4 \; mm</math>, külső elektródájának sugara <math>R_\mathrm{2}=6 \; mm</math>, a dielektrikum relatív dielektromos állandója <math>\varepsilon_r = 4.5</math>.
Legfeljebb mekkora feszültséget kapcsolhatunk a kondenzátorra, ha a térerősség a dielektrikumban nem haladhatja meg az <math>E_{max}=500\; {kV \over m}</math> értéket.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
Legyen a belső, <math>R_\mathrm{1}</math> sugarú gömb töltése <math>Q</math>.
A Gauss törvény alkalmazásával könnyen meghatározhatjuk a gömbkondenzátor két elektródája közötti elektromos tér nagyságát, a középponttól mért <math>r</math> távolság függvényében:
<math>
  E(r) ={Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot {1 \over r^2}
</math>
A fenti összefüggésből is látszik, hogy a dielektrikumban a legnagyobb térerősség a belső gömb felületén lesz, így ebből kifejezhető a <math>Q</math> töltés nagysága:
<math>
  E_{max} ={Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot {1 \over {R_1}^2} \longrightarrow Q =
  E_{max} \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot {R_1}^2
</math>
A két elektróda közötti potenciálkülönbség:
<math>
  U_\mathrm{1,2}= -\int_{R_\mathrm{1}}^\mathrm{R_\mathrm{2}} \mathrm{E(r)} \; \mathrm{dr} 
  = - {Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \int_{R_\mathrm{1}}^\mathrm{R_\mathrm{2}} \mathrm{1 \over r^2} \; \mathrm{dr}
  = {Q \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \left( {1 \over R_\mathrm{1}} - {1 \over R_\mathrm{2}} \right)
</math>
A fenti összefüggéseket felhasználva meghatározható a két elektródára kapcsolható maximális feszültség:
<math>
  U_{max} = {E_{max} \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r \cdot {R_1}^2 \over 4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \left( {1 \over R_\mathrm{1}} - {1 \over R_\mathrm{2}} \right) =
  E_{max} \left( R_1 - {(R_1)^2 \over R_2} \right)  =
  500 \cdot 10^3 \left( 4 \cdot 10^{-3} -  {(4 \cdot 10^{-3})^2 \over 6 \cdot 10^{-3}}\right)  = 666 \; V
</math>
}}
}}


219. sor: 273. sor:


''Megjegyzés:'' Jelen esetben a képletbe pozitív számként helyettesítettük be az F erő nagyságát. Ezzel azt feltételeztük, hogy <math>Q_AQ_B</math> szorzat pozitív értékű, azaz a két gömb töltése azonos előjelű, tehát köztük taszítóerő lép fel. A kapott negatív eredmény ennek meg is felel, hiszen ha két gömb taszítja egymást és mi megnöveljük a köztük lévő távolságot, akkor energiát adnak le, miközben munkát végeznek a környezetükön.<br/> Ha azonban F helyére negatívan helyettesítenénk be az 5N értékét, akkor azt feltételezném, hogy a gömbök vonzzák egymást. Ekkor pozitív eredményt kapnánk, ami szintén megfelel a várakozásoknak, hiszen két egymást vonzó gömb közötti távolságot csakis úgy tudom megnövelni, ha rajtuk munkát végzek és ezáltal megnövelem az energiájukat.
''Megjegyzés:'' Jelen esetben a képletbe pozitív számként helyettesítettük be az F erő nagyságát. Ezzel azt feltételeztük, hogy <math>Q_AQ_B</math> szorzat pozitív értékű, azaz a két gömb töltése azonos előjelű, tehát köztük taszítóerő lép fel. A kapott negatív eredmény ennek meg is felel, hiszen ha két gömb taszítja egymást és mi megnöveljük a köztük lévő távolságot, akkor energiát adnak le, miközben munkát végeznek a környezetükön.<br/> Ha azonban F helyére negatívan helyettesítenénk be az 5N értékét, akkor azt feltételezném, hogy a gömbök vonzzák egymást. Ekkor pozitív eredményt kapnánk, ami szintén megfelel a várakozásoknak, hiszen két egymást vonzó gömb közötti távolságot csakis úgy tudom megnövelni, ha rajtuk munkát végzek és ezáltal megnövelem az energiájukat.
}}
=== 24. Feladat: Elektródarendszer energiája ===
Két elektródából és földből álló elektródarendszer föld- és főkapacitásai: <math>C_{10}, C_{20}, C_{12}</math>. Az elektródák potenciálja <math>\varphi_{1}, \varphi_{2}</math> a föld potenciálját válasszuk nullának: <math>\varphi_{0}=0</math>.
Mekkora az elektródarendszerben tárolt elektrosztatikus energia?
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
[[File:Terek_24_Feladat.PNG | 500px]]
Az elektródarendszerben tárolt teljes elektrosztatikus energia a föld- és főkapacitásokban tárolt összenergiával egyezik meg. Egy kondenzátor elektrosztatikus energiája:
<math>
w_e = { 1 \over 2 } \sum_k { \Phi_k Q_k} =
{ 1 \over 2 } \left( \Phi^+ Q + \Phi^- (-Q) \right) =
{ 1 \over 2 } Q \left( \Phi^+ - \Phi^- \right) =
{ 1 \over 2 } Q U =
{ 1 \over 2 } (CU) U =
{ 1 \over 2 } C U^2
</math>
Ezt felhasználva a három kapacitásban tárolt összenergia:
<math>
W_e =  \frac{1}{2}C_{12}(\varphi _{1}-\varphi _{2})^{2}+\frac{1}{2}C_{10}(\varphi _{1})^{2}+\frac{1}{2}C_{20}(\varphi _{2})^{2}
</math>
}}
}}


===26. Feladat: Fém gömbhéj felületi töltéssűrűségének meghatározása ===
===26. Feladat: Fém gömbhéj felületi töltéssűrűségének meghatározása ===


Egy levegőben álló, zérus össztöltésű fém gömbhéj belső sugara <math>r</math>, külső sugara <math>1.5 \; r</math>. A gömbhéj középpontjában <math>Q</math> ponttöltés van. Adja meg a gömbhéj külső és belső felszínén felhalmozódó felületi töltéssűrűségek hányadosát!
Egy levegőben álló, zérus össztöltésű fém gömbhéj belső sugara <math>r</math>, külső sugara <math>1.5 \; r</math>. A gömbhéj középpontjában <math>Q</math> ponttöltés van.
 
Adja meg a gömbhéj külső és belső felszínén felhalmozódó felületi töltéssűrűségek hányadosát!


{{Rejtett
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
|szöveg=
[[File:Terek_szóbeli_feladatok_gömbhlj_erővonalkép.JPG|300px]]
Mivel a fém gömbhéj földeletlen és össztöltése zérus, így a töltésmegosztás következtében a fenti töltéselrendeződés alakul ki.
Azaz a fémgömbhéj belső felszíne <math>-Q</math>, a külső felszíne pedig <math>+Q</math> töltésű lesz, egyenletes töltéseloszlással.
A külső és belső felszínen felhalmozódó felületi töltéssűrűségek hányadosa tehát:
<math>{\sigma_k \over \sigma_b} =
{ {+Q \over 4 \pi \left(1.5r \right)^2 } \over  {-Q \over 4 \pi r^2 } } =
- { r^2 \over \left(1.5r \right)^2 } =
- { 1 \over 1.5^2 } =
- { 4 \over 9 } \approx -0.4444</math>
}}
=== 27. Feladat: R sugarú egyenletesen töltött gömb D tere ===
Egy R sugarú gömb egyenletes <math>\rho</math> térfogati töltéssűrűséggel töltött.
Adja meg az elektromos eltolás nagyságát a középpontól 2R távolságban.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
Írjuk fel a Gauss-törvényt egy zárt, <math>r > R</math> sugarú, <math>A</math> felületű gömbre, melynek középpontja egybeesik a töltött gömb középpontjával:
<math>\oint_{A} \vec{D} \; \mathrm{d} \vec{s} = \int_{V} \rho \; \mathrm{d}v</math>
<math>\oint_{A} \vec{D} \; \mathrm{d} \vec{s} = \rho \cdot {4 R^3 \pi \over 3}</math>
Szimmetria okokból az elektromos eltolásvektorok a gömb felületének minden pontjában sugárirányúak, azaz párhuzamosak a felület normálisával, tehát a felületintegrál szorzássá egyszerűsödik.
<math>\vec{D}(r) \cdot 4 r^2 \pi = \rho \cdot {4 R^3 \pi \over 3}</math>
<math>\vec{D}(r) = { \rho R^3 \over 3} \cdot {1 \over r^2} \cdot \vec{e}_r</math>
<math>\vec{D}(2R) = { \rho R \over 12} \cdot \vec{e}_r</math>
}}
=== 28. Feladat: Gömb kapacitása a végtelenhez képest ===
Levegőben áll egy <math>20cm</math> sugarú fémgömb, amelyet egyenletes <math>3cm</math> vastagságú <math>4.5</math> relatív dielektromos állandójú szigetelő réteg borít.
Adja meg a gömb kapacitását a végtelen távoli térre vonatkoztatva!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
Legyen <math>r_1</math> csak a fémgömb és <math>r_2</math> a teljes golyó sugara, valamint <math>r_0=\infty</math>.
Ekkor az elektromos térerősség:
<math>
E(r) =
\begin{cases}
{\frac Q {4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac 1 {r^2} }, & \text{ha }r>r_2 \\
{\frac Q {4\pi\varepsilon} \cdot \frac 1 {r^2} }, & \text{ha }r_1<r<r_2
\end{cases}
</math>
Az elektromos potenciál:
<math>\varphi(r)=\int_{r_0}^{r_1}E(r)dr=\int_{r_0}^{r_2}E(r)dr+\int_{r_2}^{r_1}E(r)dr=\frac Q {4\pi{\varepsilon_0}}\frac 1 {r_2}+\frac Q {4\pi\varepsilon}\left(\frac 1 {r_1} -\frac 1 {r_2}\right)=\frac Q {4\pi{\varepsilon_0}} \cdot \left(\frac 1 {r_2} + \frac 1 {\varepsilon_r}\left(\frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2}\right)\right)</math>
/*Szerintem rosszak az integrálási határok, fel vannak cserélve és így negatív eredményt kapunk.*/
Felhasználva a <math>C=\frac Q U</math> formulát:
<math>
C=4\pi{\varepsilon_0} \cdot \left(\frac 1 {\frac 1 {r_2} + \frac 1 {\varepsilon_{_{_r}}}\left(\frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2}\right)}\right) = 24.78pF
</math>
/*<math>\varepsilon_r</math> Nem viselkedik valami jól az utolsó képletben.*/
/*Kókányoltam rajta egy kicsit, de még mindig rossz*/


}}
}}


== Stacionárius áramlási tér ==
== Stacionárius áramlási tér ==
=== 34. Feladat: Áramsűrűség meghatározása egy felület másik oldalán ===
Adott <math>Z=0</math> sík. A <math>\sigma</math> vezetőképesség: <math>Z>0</math> esetén <math>\sigma = \sigma^+</math> és <math>Z<0</math> esetén <math>\sigma = \sigma^-</math>. Adott <math>J_1 = J_1(x) \cdot e_x + J_1(z) \cdot e_z</math> áramsűrűség a sík egyik oldalán.
Határozza meg az áramsűrűség függvényt a felület másik oldalán!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
<!-- Szerintetek ez jó? Mivel stacionárius áramlási tér van, ezért a a felületen töltés nem halmozódhat fel. Így a J normálisoknak meg kellene egyeznie! Nem? 2019.01.10 -->
Tudjuk, hogy <math >E = { J \over \sigma } </math>
Továbbá <math>E_{t1} = E_{t2}</math> és <math>D_{n2} = D_{n1} + \sigma </math> (!!! ez itt felületi töltéssűrűség, ami a példában 0), tehát <math>D_{n2} = D_{n1}</math>
Ezekből következik, hogy: <math>E_1 = E_2</math>
Azaz: <math>{J_1 \over \sigma^-} = {J_2 \over \sigma^+}</math>
<math>J_2 = J_1(x) \cdot e_x\cdot {\sigma^+ \over \sigma^-} + J_1(z) \cdot e_z \cdot {\sigma^+ \over \sigma^-}</math>
}}


=== 36. Feladat: Pontszerű áramforrás környezetében a teljesítménysűrűség meghatározása ===
=== 36. Feladat: Pontszerű áramforrás környezetében a teljesítménysűrűség meghatározása ===
272. sor: 468. sor:


}}
}}


=== 38. Feladat: Koaxiális kábel szivárgási ellenállásából fajlagos vezetőképesség számítása ===
=== 38. Feladat: Koaxiális kábel szivárgási ellenállásából fajlagos vezetőképesség számítása ===
329. sor: 526. sor:
</math>
</math>
}}
}}


=== 42. Feladat: Áramsűrűségből megadott felületen átfolyó áram számítása ===
=== 42. Feladat: Áramsűrűségből megadott felületen átfolyó áram számítása ===
346. sor: 544. sor:


== Stacionárius mágneses tér ==
== Stacionárius mágneses tér ==
=== 48. Feladat: Mágneses térerősség meghatározása áramjárta félegyenesek ===
Fel kell bontani két vezetőre(egyik egyenes, a másik egy L alakú lesz), mindkettőn 3A fog folyni. Kiszámolod hogy az egyik meg a másik mekkora mágneses teret hoz létre abban a pontban (Biot-Savart), és a a végén összeadod azt a két értéket (szuperpozíció).
A T-elágazás szárai végtelen félegyeneseknek tekinthetők. Adja meg a vezetők síkjában fekvő P pontban a mágneses térerősséget!
(ábra a megoldásnál)
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
[[File:Terek_szóbeli_feladatok_magnesesfelegyenes.jpg|300px]]
}}


=== 50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás ===
=== 50. Feladat: Két áramjárta vezető közötti erőhatás ===
380. sor: 590. sor:
<math>F = 2 \cdot 10^{-7} N</math>
<math>F = 2 \cdot 10^{-7} N</math>
}}
}}


=== 52. Feladat: Két toroid tekercs kölcsönös indukciója===
=== 52. Feladat: Két toroid tekercs kölcsönös indukciója===
Egy toroidra két tekercs van csévélve, az egyik menetszáma <math>N_1</math>, a másiké <math>N_2</math>. A toroid közepes sugara <math>r</math>,  
Egy toroidra két tekercs van csévélve, az egyik menetszáma <math>N_1</math>, a másiké <math>N_2</math>. A toroid közepes sugara <math>r</math>,  
keresztmetszetének felülete <math>A</math>, relatív permeabilitása <math>\mu_r</math>.<br/>Határozza meg a két tekercs kölcsönös induktivitását!
keresztmetszetének felülete <math>A</math>, relatív permeabilitása <math>\mu_r</math>.<br/>Határozza meg a két tekercs kölcsönös induktivitását!
428. sor: 640. sor:
}}
}}


=== 57. Feladat: EM hullám elektromos térerősségvektorából mágneses térerősségvektor számítása ===


A feladat sorszáma NEM biztos, ha valaki meg tudja erősíteni/cáfolni, az javítsa pls!<br/>Ha esetleg valaki kihúzná az "igazi" 57. feladatot, akkor írja be ennek a helyére, ezt pedig tegye a lap aljára ? feladatként. Köszi!
=== 53. Feladat: Két tekercs kölcsönös indukciója toroid vasmagon===
 
Egy levegőben terjedő elektromágneses hullám komplex elektromos térerősségvektora: <math>\vec{E} =(5 \vec{e}_y - 12 \vec{e}_z ) \cdot e^{j \pi / 3} \;{kV \over m}</math><br/>Adja meg a <math>\vec{H}</math> komplex mágneses térerősségvektort!


Toroid alakú vasmagon egy <math>N_1=300</math> és egy <math>N_2=500</math> menetes tekercs helyezkedik el. Az <math>N_1</math> menetszámú tekercs öninduktivitása <math>L_1=0,9H</math>. Adja meg a két tekercs közötti kölcsönös induktivitás nagyságát!
{{Rejtett
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
|szöveg=


A megoldás során a távvezeték - EM hullám betűcserés analógiát használjuk fel!
}}
 
Először is szükségünk van a levegő hullámimpedanciájára. Mivel levegőben vagyunk, így <math>\sigma << \varepsilon</math>, valamint <math>\mu = \mu_0</math> és <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math>
 
<math>Z_0= \sqrt{{j \omega \mu \over \sigma + j \omega \varepsilon}} \approx \sqrt{{\mu_0 \over \varepsilon_0}} \approx 377 \Omega</math>


Bontsuk most fel a komplex elektromos térerősségvektort a két komponensére:


<math>\vec{E}=\vec{E}_y+\vec{E}_z</math>


<math>\vec{E}_y=5 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_y \;{kV \over m}</math>
<math>\vec{E}_z= - 12 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_z  \;{kV \over m}</math>
Ezek alapján már felírhatóak a komplex mágneses térerősségvektor komponensei (vigyázat az egységvektorok forognak <math>x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow x</math>):
<math>\vec{H}_z={E_y \over Z_0} \cdot \vec{e}_z \approx 13.26 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_z \;{A \over m}</math>
<math>\vec{H}_x={E_z \over Z_0} \cdot \vec{e}_x \approx - 31.83 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_x \;{A \over m}</math>
A két komponens összegéből pedig már előáll a komplex mágneses térerősségvektor:
<math>\vec{H}=\vec{H}_z+\vec{H}_x \approx (13.26 \cdot  \vec{e}_z - 31.83  \cdot \vec{e}_x) \cdot e^{j \pi / 3} \;{A \over m}</math>
}}


=== 58. Feladat: Toroid tekercs fluxusa és energiája===
=== 58. Feladat: Toroid tekercs fluxusa és energiája===
481. sor: 670. sor:
}}
}}


=== 59. Feladat: Kondenzátor dielektrikumában disszipált teljesítmény ===
=== 59. Feladat: Kölcsönös indukciós együttható meghatározása a Biot-Savart törvény segítségével ===
 
Egy szabályos kör alakú <math>R</math> sugarú körvezetővel egy síkban, a körvezető középpontjában helyezkedik el egy <math>a</math> oldalhosszúságú négyzet alakú vezető keret. Határozza meg a két vezető keret kölcsönös indukciós együtthatóját a Biot-Savart törvény segítségével, ha <math>a << R</math> !
 
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
 
A kölcsönös indukciós együttható azt mutatja meg, hogy mekkora fluxust hoz létre egy vezető hurok árama egy másik vezető hurokban.
 
Legyen a külső kör alakú vezetőben folyó áram <math>I</math>! Mivel <math>a << R</math>, ezért azt kell meghatározni, hogy ez az <math>I</math> áram mekkora mágneses térerősséget hoz létre a körvezető középpontjában, ahol a négyzetes vezető elhelyezkedik. Ezt a Biot-Savart törvénnyel meg lehet határozni, így megkapjuk <math>L_{1,2}= \frac{\phi_{2}}{I}</math> kölcsönös indukciós együttható értékét.
 
A Biot-Savart törvény : <math>\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi }\oint \frac{d\mathbf{l}\times \mathbf{r_{0}}}{r^{2}}</math>, ahol <math>r_{0}</math> az elemi <math>d\mathbf{l}</math> szakaszból a vizsgált pontba mutató egységvektor (fontos, hogy EGYSÉG-vektor, mert ha nem az egységvektorral számolunk, akkor a nevezőben nem négyzetes, hanem köbös a távolság). Mivel a vizsgált pont a körvezető középpontja, így a távolság végig <math>R</math> és a körintegrálás a körvezető keret kerületével való szorzássá egyszerűsödik:
 
<math>\mathbf{H} = \frac{I}{4\pi R^{2} } \cdot 2R\pi</math>
 
<math>\mathbf{H} = \frac{I}{2R}</math>
 
<math>\mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{H}</math>
 
<math>\phi = \int_{A}^{ } \mathbf{B} dA</math>
 
Mivel <math>a << R</math> ezért volt elég a középpontban kiszámolni a térerősséget és a kis négyzetes vezető fluxusát így közelíteni:
 
<math>\phi_{2} = \mathbf{B} a^{2}</math>
 
Végül mindent behelyettesítve: <math>L_{1,2}= \frac{\mu_{0} a^{2}}{2R}</math>
 
}}
 
 
=== ???. Feladat: Kondenzátor dielektrikumában disszipált teljesítmény ===


A feladat sorszáma NEM biztos, ha valaki meg tudja erősíteni/cáfolni, az javítsa pls!  
A feladat sorszáma NEM biztos, ha valaki meg tudja erősíteni/cáfolni, az javítsa pls!  
Eddig ez az 59.-es volt, de biztos nem ez a valódi sorszáma, 59. fentebb.


Adott egy kondenzátor, melynek fegyverzetei között egy <math>\sigma=50 {nS \over m}</math> fajlagos vezetőképességű dielektrikum helyezkedik el.
Adott egy kondenzátor, melynek fegyverzetei között egy <math>\sigma=50 {nS \over m}</math> fajlagos vezetőképességű dielektrikum helyezkedik el.
503. sor: 724. sor:


}}
}}


===61. Feladat: Toroid tekercs mágneses indukciója ===
===61. Feladat: Toroid tekercs mágneses indukciója ===
514. sor: 736. sor:
|szöveg=  
|szöveg=  


Az Ampere-féle gerjesztési törvényből következik, hogyha a toroid közepes sugarához sugarához tartozó közepes kerülete mentén integráljuk a mágneses térerősséget, akkor szimmetria okokból, ott mindenütt érintő irányú és azonos nagyságú lesz a mágneses térerősségvektor. Ez onnét látható, hogy ha veszünk a toroid tekercseléséből egyetlen menetet, akkor arra igaz, hogy a menet minden kis szakaszában folyó áram által keltett mágneses mező a jobbkéz-szabály (I - r - B) szerint a menet síkrája merőleges irányú mágneses térerősségvektort hoz létre.
Az Ampere-féle gerjesztési törvényből következik, hogyha a toroid közepes sugarához sugarához tartozó közepes kerülete mentén integráljuk a mágneses térerősséget, akkor szimmetria okokból, ott mindenütt érintő irányú és azonos nagyságú lesz a mágneses térerősségvektor. Ez onnét látható, hogy ha veszünk a toroid tekercseléséből egyetlen menetet, akkor arra igaz, hogy a menet minden kis szakaszában folyó áram által keltett mágneses mező a jobbkéz-szabály (I - r - B) szerint a menet síkjára merőleges irányú mágneses térerősségvektort hoz létre.


Tehát a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik. Valamint a toroid közepes sugara által kifeszített A területű körlapot összesen N-ször döfi át egy-egy I áramerősségű vezeték, mindannyiszor ugyanabba az irányba. Tehát a második tekercs mágneses téresősségének nagysága:
Tehát a vonalintegrál egy egyszerű szorzássá egyszerűsödik. Valamint a toroid közepes sugara által kifeszített A területű körlapot összesen N-ször döfi át egy-egy I áramerősségű vezeték, mindannyiszor ugyanabba az irányba. Tehát a második tekercs mágneses téresősségének nagysága:
528. sor: 750. sor:


}}
}}
===62. Feladat: Szolenoid tekercs mágneses indukciója ===
Adott: <math>A=5cm^2</math>, <math>N=1000</math>, <math>L=???</math>, <math>\mu_r =???</math>.
Adja meg a mágneses indukció nagyságát a Szolenoid belsejében!


=== 64. Feladat: Hosszú egyenes vezető mágneses tere és a vezetőben tárolt mágneses energia ===
=== 64. Feladat: Hosszú egyenes vezető mágneses tere és a vezetőben tárolt mágneses energia ===
563. sor: 791. sor:
<math>W_m={1 \over 2} \int_V \vec{H} \cdot \vec{B} \; \mathrm{d} V  </math>
<math>W_m={1 \over 2} \int_V \vec{H} \cdot \vec{B} \; \mathrm{d} V  </math>


Mivel homogén közegben <math>\vec{B}=\mu \vec{H}</math>, azaz a vektorok egy irányba mutatnak minden pontban, így a skaláris szorzatuk megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával. Azonban a mágneses térerősségvektor nagysága függ a sugártól, ezért célszerűen áttérünk hengerkoordináta-rendszerbe és ott végezzük el az integrálást:
Mivel homogén közegben <math>\vec{B}=\mu \vec{H}</math>, azaz a vektorok egy irányba mutatnak minden pontban, így a skaláris szorzatuk megegyezik a vektorok nagyságának szorzatával. Azonban a mágneses térerősségvektor nagysága függ a sugártól, ezért célszerűen áttérünk hengerkoordináta-rendszerbe és ott végezzük el az integrálást (egy r szorzó bejön a Jacobi-determináns miatt):


<math>W_m={1 \over 2}  \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \mu H^2(r) \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r =
<math>W_m={1 \over 2}  \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \mu H^2(r) \cdot r \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r =
{1 \over 2} \mu \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \left({I \over 2R^2\pi} \cdot r \right)^2 \;\mathrm{d}z \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r =  
{1 \over 2} \mu \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \left({I \over 2R^2\pi} \cdot r \right)^2 \cdot r \;\mathrm{d}z \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}r =  
{\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2}  \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r^2 \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r =
{\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2}  \int_0^R \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 r^3 \; \mathrm{d} z \mathrm{d} \varphi \mathrm{d} r =
</math>
</math>




::<math>={\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2} \cdot 1 \cdot 2\pi \cdot  \int_0^R r^2 \; \mathrm{d} r =
::<math>={\mu I^2 \over 8 R^4 \pi^2} \cdot 1 \cdot 2\pi \cdot  \int_0^R r^3 \; \mathrm{d} r =
{\mu I^2 \over 4 R^4 \pi} \cdot  \left[ {r^3 \over 3} \right]_0^R=
{\mu I^2 \over 4 R^4 \pi} \cdot  \left[ {r^4 \over 4} \right]_0^R=
{\mu I^2 \over 12 R^4 \pi} \cdot R^3 =
{\mu I^2 \over 16 R^4 \pi} \cdot R^4 =
{\mu I^2 \over 12 R \pi} = {\mu_0 \mu_r I^2 \over 12 R \pi}
{\mu I^2 \over 16 \pi} = {\mu_0 \mu_r I^2 \over 16 \pi}
</math>
</math>


593. sor: 821. sor:


<math>H 2 d \pi = I \longrightarrow H = \frac{I}{2 d \pi}=\frac{5}{2  \cdot 0.03 \pi} \approx 26.53 \;{A \over m}</math>
<math>H 2 d \pi = I \longrightarrow H = \frac{I}{2 d \pi}=\frac{5}{2  \cdot 0.03 \pi} \approx 26.53 \;{A \over m}</math>
}}
=== 66. Feladat: Végtelen, egyenes vezető, és vezetőkeret kölcsönös induktivitása. ===
Egy a = 0.05m oldalhosszúságú négyzet hossztengelyétől d = 0.12m távolságban (tehát két oldalával párhuzamosan, kettőre pedig merőlegesen, a vezetőkeret fölött), egy végtelen hosszúságú, <math>I</math> áramot szállító vezeték halad. Határozza meg az egyenes vezető és a vezetőkeret közötti kölcsönös indukció együtthatót!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg= A vezetőkeret két oldala, amelyek a végtelen hosszú vezetővel párhuzamosak, azonos távol vannak a vezetőkerettől. Mivel a mágneses indukció körkörösen, a jobbkéz-szabály szerint fogja körül a vezetőt, ezért a két átellenes oldalban pont ellenkező előjelű feszültség indukálódik, így kinullázzák egymást. Tehát 0 lesz a kölcsönös indukció.
Kijön számítás alapján is.
}}
}}


== Távvezetékek (TV) ==
== Távvezetékek (TV) ==


=== 68. Feladat: Mindkét végén nyitott ideális távvezeték rezonancia frekvenciája ===
=== 68. Feladat: Mindkét végén nyitott ideális távvezeték rezonancia frekvenciája ===
653. sor: 891. sor:
<math>\lambda_{max} = 2l \longrightarrow f_{min}={c \over \lambda_{max}} =
<math>\lambda_{max} = 2l \longrightarrow f_{min}={c \over \lambda_{max}} =
{c \over 2l} = {3 \cdot 10^8 \over 2 \cdot 5000} = 30 \; kHz  </math>
{c \over 2l} = {3 \cdot 10^8 \over 2 \cdot 5000} = 30 \; kHz  </math>
}}
=== 70. Feladat: Szakadással lezárt TV áram amplitúdó nagysága ===
Egy ideális légszigetelésű TV ismert hullámimpedanciája 500 Ohm. A távvezeték végén a szakadáson mért feszültség amplitúdója <math> U{_{2}}^{} = 180 V </math>. Mekkora a távvezeték végétől <math> x = 500 </math> méterre az áramerősség amplitúdója, ha tudjuk, hogy a frekvencia 1 MHz.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A megoldás menete: Ideális a TV és légszigetelésű ezért a <math> \beta = \frac{2\pi }{\lambda } </math> és mivel légszigetelésű a vezeték <math> \lambda = \frac{c}{f} </math>.
Felírjuk a Heimholtz egyenleteket a TV végére:
<math> U(z=l) = U^{+} * e^{-j\beta l} + U^{-} * e^{j\beta l} </math>
<math> I(z=l) = I^{+} * e^{-j\beta l} - I^{-} * e^{j\beta l} </math>
<math> l = 500m </math>
<math> r = 1 </math>
A reflexiós tényező a távvezeték végén:
<math> r = \frac{U_{2}^{-}}{U_{2}^{+}} = \frac{U^{-} * e^{j\beta l}}{U^{+} * e^{-j\beta l}} </math>
Ebből kifejezve <math> U^{-} = U^{+} * e^{-j2\beta l} </math>
Ezt visszaírva a Heimholtz megoldásába:
<math> U(z=l) = {U^{+}} * e^{-j\beta l} + U^{+} * e^{-j2\beta l}  = 180V </math>
Ebből ki tudjuk fejezni <math> U^{+}-t \;\; és \;\; U^{-}-t </math> Amit visszaírva az egyenletbe a további paramétereket megkapjuk az áram amplitúdóját.
}}
=== 72. Feladat: Lecher vezeték hullámimpedanciájának számítása ===
Egy ideális Lecher vezeték hullámimpedanciája kezdetben 400 ohm. Eltávolítjuk egymástól a vezetékpárt, ekkor a vezeték hosszegységre jutó soros impedanciája 1,5-szeresére nő. Mennyi lesz ekkor a vezeték hullámimpedanciája?
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A megoldás menete: Mivel ideális a TV, a fázissebesség c, azaz a fénysebesség. Tudjuk, hogy <math>c = \frac{1}{\sqrt{L'\cdot C'}}</math>.
A hullámimpedancia pedig <math>Z_{0}  = \sqrt{\frac{L^{'}}{C^{'}}}</math>. Rendezgetéssel ezzel a két képlettel kijön.
}}
=== 73. Feladat: Ideális TV lezárásának számítása ===
Egy ideális távvezetek hullámimpedanciája <math>Z_{0}=50\Omega</math>. Az állóhullámarány <math>\sigma =3</math>, a TV lezárása egy ''R'' rezisztancia. ''R'' milyen értékeket vehet fel? Ha a lezárást kicseréljük egy ''C'' kondenzátorra, milyen értékűnek válasszuk, hogy az állóhullámarány megmaradjon? (<math>\omega = 10^{5} \frac{1}{s})</math>
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
Az állóhullámarány és a reflexiós tényező kapcsolata: <math>\sigma = \frac{1+\left | r \right |}{1-\left | r \right |} = 3</math>
Ebből  <math>\left | r \right | = \frac{1}{2} </math>, tehát <math>r = \pm \frac{1}{2}</math>
Tudjuk, hogy <math>r =  \frac{Z_{2}-Z_{0}}{Z_{2}+Z_{0}} = \frac{R-Z_{0}}{R+Z_{0}}</math>, kifejezve ''R''-t, adódik, hogy: <math>R = \frac{Z_{0} + rZ_{0}}{1-r}</math>.
ha <math>r = \frac{1}{2}</math>, akkor <math>R = 16.67\Omega</math>.
ha <math>r = -\frac{1}{2}</math>, akkor <math>R = 150\Omega</math>.
Nézzük, mi történik, ha a távvezetéket egy kondenzátorral zárjuk le:
ez egy kedves becsapós kérdés, mert amennyiben <math>Z_{2} = \frac{1}{j\omega C}</math>, akkor <math>r =  \frac{Z_{2}-Z_{0}}{Z_{2}+Z_{0}} = \frac{\frac{1}{j\omega C}-Z_{0}}{\frac{1}{j\omega C}+Z_{0}}</math>.
Az állóhullámarány kiszámításánál a relflexiós tényező abszolútértékével kell dolgoznunk, ami egy komplex szám és konjugáltjának hányadosa, ami az <math>r =1</math>-et eredményezi, tehát az állóhullámarány értéke nem maradhat 3 ebben az esetben, vagyis nem létezik a követelményeknek megfelelő kondenzátor.


}}
}}
662. sor: 975. sor:
|mutatott='''Megoldás'''
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
|szöveg=
A megadott függvényből kiolvasható a hullám beeső (pozitív irányba halad --> - j*béta*z ) és a reflektált (negatív irányba halad --> + j*béta*z ) komponenseinek komplex amplitúdói:
A megadott függvényből kiolvasható a hullám beeső (pozitív irányba halad <math>\rightarrow - j \beta z </math> ) és a reflektált (negatív irányba halad <math>\rightarrow + j \beta z </math> ) komponenseinek komplex amplitúdói:


<math>U^+ = 3+4j</math>
<math>U^+ = 3+4j</math>
668. sor: 981. sor:
<math>U^- = 2-j</math>
<math>U^- = 2-j</math>


''Megjegyzés:'' A feladat megadható úgy is, hogy U(x) függvényt adják meg. Ekkor a beeső komponenshez (U2+) tartozik a pozitív, a reflektálthoz (U2-) pedig a negatív hatványkitevő!
''Megjegyzés:'' A feladat megadható úgy is, hogy <math>U(x)</math> függvényt adják meg. Ekkor a beeső komponenshez (<math>U_2^+</math>) tartozik a pozitív, a reflektálthoz (<math>U_2^-</math>) pedig a negatív hatványkitevő!




678. sor: 991. sor:




Ezekből felírható a távvezeték reflexiós tényezőjének abszolút értéke definíció szerinti "x" paraméterezéssel, majd ebből "z" szerinti paraméterezéssel:
Ezekből felírható a távvezeték reflexiós tényezőjének abszolút értéke definíció szerinti <math>x</math> paraméterezéssel, majd ebből <math>z</math> szerinti paraméterezéssel:


<math>|r|=\left| {U_{reflektalt} \over U_{beeso}} \right|= \left| {U_2^- \over U_2^+ } \right|=\left| {U^- \over U^+ } e^{j2 \beta l}  \right| = \left| {U^- \over U^+ } \right| =\left| {2-j \over 3+4j } \right| = {1 \over \sqrt{5}} \approx 0.447</math>
<math>|r|=\left| {U_{reflektalt} \over U_{beeso}} \right|= \left| {U_2^- \over U_2^+ } \right|=\left| {U^- \over U^+ } e^{j2 \beta l}  \right| = \left| {U^- \over U^+ } \right| =\left| {2-j \over 3+4j } \right| = {1 \over \sqrt{5}} \approx 0.447</math>
690. sor: 1 003. sor:


=== 81. Feladat: Egyenfeszültséggel gerjesztett TV megadott feszültségű pontjának meghatározása ===
=== 81. Feladat: Egyenfeszültséggel gerjesztett TV megadott feszültségű pontjának meghatározása ===
Adott egy végtelen hosszú távvezeték, melynek paraméterei az alábbiak: <math>R' = 20 {m \Omega \over m}</math> és <math>G' = 5 { \mu S \over m}</math>. Egy <math>U_0</math> egyenfeszültségű feszültségforrást kapcsolunk rá.
Adott egy végtelen hosszú távvezeték, melynek paraméterei az alábbiak: <math>R' = 20 {m \Omega \over m}</math> és <math>G' = 5 { \mu S \over m}</math>. Egy <math>U_0</math> egyenfeszültségű feszültségforrást kapcsolunk rá.


726. sor: 1 040. sor:
<math>-\alpha z=\ln 0.5 \longrightarrow z=-{\ln 0.5 \over \alpha}=-{\ln 0.5 \over 3.16 \cdot 10^{-4}} \approx 2.192 \;km</math>
<math>-\alpha z=\ln 0.5 \longrightarrow z=-{\ln 0.5 \over \alpha}=-{\ln 0.5 \over 3.16 \cdot 10^{-4}} \approx 2.192 \;km</math>
}}
}}


=== 82. Feladat: Ideális távvezeték bemeneti impedanciája ===
=== 82. Feladat: Ideális távvezeték bemeneti impedanciája ===


Egy ideális, légszigetelésű <math>l</math> hosszúságú, <math>Z_0</math> hullámimpedanciájú távvezeték vezetett hullámhossza pedig <math>\lambda = 8l</math>
Egy ideális, légszigetelésű <math>l</math> hosszúságú, <math>Z_0</math> hullámimpedanciájú távvezeték vezetett hullámhossza <math>\lambda = 8l</math>


Mekkora a távvezeték elején a bemeneti impedancia, ha a távvezeték végén a lezárás egy <math>L={Z_0 \over \omega}</math> induktivitású ideális tekercs?
Mekkora a távvezeték elején a bemeneti impedancia, ha a távvezeték végén a lezárás egy <math>L={Z_0 \over \omega}</math> induktivitású ideális tekercs?
756. sor: 1 071. sor:


A kapott eredményen nem kell meglepődni. Jelen paraméterek mellett a távvezeték bemeneti impedanciája végtelenül nagy.
A kapott eredményen nem kell meglepődni. Jelen paraméterek mellett a távvezeték bemeneti impedanciája végtelenül nagy.
}}
=== 83. Feladat: Ideális távvezeték meddő teljesítménye ===
Egy ideális, légszigetelésű <math>l=83.2m</math> hosszúságú, <math>Z_0 = 50\Omega</math> hullámimpedanciájú távvezeték vezetett hullámhossza <math>\lambda = 75\;m</math>. A távvezeték bemenetére egy <math>U = 100V</math> amplitúdójú, <math>\omega</math> körfrekvenciájú feszültséggenerátort kapcsolunk, miközben szakadással zárjuk le a másik oldalt.
Mekkora a távvezeték által felvett meddő teljesítmény?
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A távvezeték helyettesíthető egyetlen <math>Z_{be}</math> nagyságú impedanciával figyelembe véve azt, hogy a lezáró <math>Z_2</math> impedancia a szakadás miatt végtelen nagyságú.
<math>
Z_{be}=Z_0 {Z_2 + j Z_0 tg(\beta l) \over Z_0 + j Z_2 tg(\beta l) } \longrightarrow
{ Z_0 \over  j tg(\beta l)}
</math>
Ezzel a helyettesítéssel már egyszerűen számolható a kapcsolás komplex látszólagos teljesítménye:
<math>
S = {1 \over 2} U I^* =
{1 \over 2} U { \left( {U \over Z_{be}} \right) }^* =
{1 \over 2} |U|^2 { 1\over Z_{be}^*} =
{1 \over 2} |U|^2 {\left( { j tg(\beta l) \over Z_0} \right)}^* =
-j{1 \over 2} |U|^2 {tg(\beta l) \over Z_0} =
-j{1 \over 2} |U|^2 {tg({2 \pi \over \lambda}l) \over Z_0}
</math>
A távvezeték által felvett meddő teljesítmény a komplex látszólagos teljesítményének imaginárius részével egyezik meg:
<math>
Q = Im \left\{ S \right\} =
-{1 \over 2} |U|^2 {tg({2 \pi \over \lambda}l) \over Z_0} =
-{1 \over 2} \cdot 100^2 \cdot {tg({2 \pi \over 75}\cdot 83.2) \over 50} \approx -82.024 \; Var
</math>
}}
=== 85. Feladat: Távvezeték állóhullámaránya ===
Egy távvezeték hullámimpedanciája <math>500 \Omega </math>, a vezeték végén a feszültség és az áram amplitúdója 1kV és 2A. Mit mondhatunk a reflexiós tényezőről? Mekkora a távvezetéken az állóhullámarány lehető legkisebb értéke?
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
<math>\frac{1 kV}{2 A} = 500 \Omega</math>. Ez csak az abszolút értéke az impedanciának (amplitúdók voltak csak adottak a fázisok nem). Ebből felírva a két szélső helyzetet(<math>Z_{2} = 500 \Omega </math> vagy <math>Z_{2} = j \cdot 500 \Omega </math>):
Adódik, hogy a reflexiós tényező abszolútértéke 1 és 0 között változik. Ebből pedig behelyettesítve az állóhullámarány képletébe látszik hogy az végtelen és egy között változik. Így annak lehető legkisebb értéke 1.


}}
}}
773. sor: 1 141. sor:


}}
}}


=== 87. Feladat: Számolás az ideális TV lánckarakterisztikájának II. egyenletével===
=== 87. Feladat: Számolás az ideális TV lánckarakterisztikájának II. egyenletével===


Adott egy ideális távvezeték, melynek hullámimpedanciája <math>50 \Omega</math>, hossza pedig <math>\frac{\lambda}{3}</math>. A távvezeték vége szakadással van lezárva, melyen a feszültség komplex amplitúdója <math>j150 V</math>.<br/>Határozzuk meg az áramerősség komplex amplitúdóját a távvezeték elején!
Adott egy ideális távvezeték, melynek hullámimpedanciája <math>50 \; \Omega</math>, hossza pedig <math>\frac{\lambda}{3}</math>. A távvezeték vége szakadással van lezárva, melyen a feszültség komplex amplitúdója <math>j150 \; V</math>.<br/>Határozzuk meg az áramerősség komplex amplitúdóját a távvezeték elején!


{{Rejtett
{{Rejtett
790. sor: 1 159. sor:
j \cdot {1 \over 50} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \cdot j150 \;+\; \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)\cdot 0 =
j \cdot {1 \over 50} \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \cdot j150 \;+\; \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right)\cdot 0 =
-3 \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \approx -2.6 \; A </math>
-3 \cdot \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) \approx -2.6 \; A </math>
}}
=== 88. Feladat: Ideális TV bemeneti impedanciájának helyfüggvénye ===
Egy ideális távvezeték hullámimpedanciája <math>Z_0 = 400 \; \Omega</math>, lezárása pedig egy <math>Z_2 = -j400 \; \Omega</math> reaktanciájú kondenzátor. A távvezeték fázisegyütthatója <math>\beta = 0.2 \; {1 \over m} </math>.
Adja meg a bemeneti impedanciát a lezárástól való <math>x</math> távolság függvényében.
Határozza meg, milyen helyeken lesz a bemeneti impedancia értéke 0.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A bemeneti impedancia a hely függvényében egyszerűen megadható, ha az ideális távvezeték bemeneti impedanciájának általános képletében az <math>l</math> hossz helyébe általánosan <math>x</math> változót írunk, ahol <math>x</math> a lezárástól való távolságot jelöli.
''Megjegyzés:'' Arra az esetre, ha mégis rákérdeznének, hogy ez mégis honnan jött, célszerű lehet átnézni a jegyzetből az ideális távvezeték lánckarakterisztikájának levezetését, csak l helyébe x-et kell írni és ugyanazzal a gondolatmenettel levezethető ez a képlet.
<math>Z_{be}(x) = Z_0 \cdot {Z_2 + j Z_0 tg \left( \beta x \right)  \over Z_0 + jZ_2 tg \left( \beta x \right)}</math>
A bemeneti impedancia csakis akkor lehet 0, ha a fenti képletben a számláló is szintén 0.
<math>Z_2 + jZ_0 tg \left( \beta x \right) = 0 </math>
<math>-j400 + j400 tg \left( 0.2 \cdot x \right) = 0 </math>
<math>tg \left( 0.2 \cdot x \right) = 1 </math>
::::<math>\updownarrow</math>
<math>0.2 \cdot x = {\pi \over 4} + k \cdot \pi</math>
<math>x = 1.25\pi + k \cdot 5\pi \;\;\;\; \left[ m \right] </math>


}}
}}


== Indukálási jelenségek ==
== Indukálási jelenségek ==


=== 94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram effektív értéke ===
=== 94. Feladat: Zárt vezetőkeretben indukált áram effektív értéke ===
814. sor: 1 223. sor:
<math> I_{eff}={U_{eff} \over R}= {{30 \over \sqrt{2}} \over 5} = {6 \over \sqrt 2} \approx 4.24 \;A</math>
<math> I_{eff}={U_{eff} \over R}= {{30 \over \sqrt{2}} \over 5} = {6 \over \sqrt 2} \approx 4.24 \;A</math>
}}
}}


=== 95. Feladat: Zárt vezetőgyűrűben indukált áram időfüggvénye ===
=== 95. Feladat: Zárt vezetőgyűrűben indukált áram időfüggvénye ===
840. sor: 1 250. sor:


}}
}}


=== 98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség ===
=== 98. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség ===
Az xy síkon helyezkedik el egy <math>r=3m</math> sugarú, kör alakú, zárt L görbe. A mágneses indukció a térben homogén és z irányú komponense <math>\Delta t=40ms</math> idő alatt <math>B=0.8T</math> értékről lineárisan zérusra csökken. Mekkora feszültség indukálódik eközben az L görbe mentén?
Az xy síkon helyezkedik el egy <math>r=3m</math> sugarú, kör alakú, zárt L görbe. A mágneses indukció a térben homogén és z irányú komponense <math>\Delta t=40ms</math> idő alatt <math>B=0.8T</math> értékről lineárisan zérusra csökken. Mekkora feszültség indukálódik eközben az L görbe mentén?


853. sor: 1 265. sor:
-r^2\pi \cdot { \Delta B\over \Delta t}=-r^2\pi \cdot {B_2-B_1\over\Delta t}=
-r^2\pi \cdot { \Delta B\over \Delta t}=-r^2\pi \cdot {B_2-B_1\over\Delta t}=
- 3^2\pi \cdot {0-0.8\over0.04}=565.5 \;V </math>
- 3^2\pi \cdot {0-0.8\over0.04}=565.5 \;V </math>
}}
=== 99. Feladat: Zárt vezetőhurokban disszipálódó összes energia ===
R ellenállású zárt vezetőkeret fluxusa <math>0 < t < T</math> intervallumban ismert <math>\Phi(t)</math> szerint változik. Fejezze ki az intervallumban a keretben disszipálódó összes energiát!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
Az indukálási törvény alapján:
<math>u_i=-{d\Phi(t) \over dt}</math>
Továbbá:
<math> P = { U^2 \over R } </math>
Ezt integrálni kell 0-tól T-ig, 1/T előtaggal.
(megj. nem vagyok 100%-ig biztos a megoldásban, de Bokor elfogadta így. Pontosítani ér!)
(megj. Szerintem 1/T nélkül kell integrálni, mert akkor az átlagot ad és nem az összes disszipálódott energiát. Üdv, Egy másik felhasználó)


}}
}}
891. sor: 1 328. sor:


}}
}}


=== 101. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség===
=== 101. Feladat: Zárt vezetőhurokban indukált feszültség===
912. sor: 1 350. sor:


}}
}}


== Elektromágneses síkhullám jó vezetőben ==
== Elektromágneses síkhullám jó vezetőben ==


=== 105. Feladat: Hengeres vezetőben adott mélységben a térerősség amplitúdója és fázisa ===
=== 105. Feladat: Hengeres vezetőben adott mélységben a térerősség amplitúdója és fázisa ===
950. sor: 1 390. sor:
<math> arg \left\{ E(h) \right\} = - {h \over \delta} = - ln(0.5) \approx 0.693 \; rad </math>
<math> arg \left\{ E(h) \right\} = - {h \over \delta} = - ln(0.5) \approx 0.693 \; rad </math>


}}
=== 106. Feladat:  Koaxiális kábel váltóáramú ellenállása ===
Egy koaxiális kábel magjának sugara <math>r_1 = 2mm</math>, a köpenyének belső sugara <math>r_2 = 6 mm</math>, a külső sugara pedig <math>r_3 = 7 mm</math>. A mag és a köpeny vezetőképessége egyaránt <math>\sigma = 57 MS</math>. A behatolási mélység a kábelre kapcsolt generátor frekvenciáján <math>\delta = 102 \mu m</math>.
Adja meg az elrendezés hosszegységre eső váltóáramú ellenállását.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A koaxiális kábel erővonalképe:
[[File:Terek_106_Feladat.PNG | 300px ]]
Az elektromos térerősség mind a magban, mind pedig a köpenyben <math>e^{- z / \delta }</math> függvény szerint csökken.
Mivel a behatolási mélység nagyságrenddel kisebb, mint a kábel méretei, így ellenállás szempontjából olyan, mintha csak egy-egy <math>\delta</math> vastagságú keresztmetszeten folyna egyenáram mind a magban, mind pedig a köpenyben. Az eredő váltóáramú ellenállás pedig ezen két egyenáramú ellenállás összege:
<math>
R_{AC} = R_{DC,m} + R_{DC,k} =
{1 \over \sigma} { l \over A_1 } + {1 \over \sigma} { l \over A_2 } \approx
{1 \over \sigma} { l \over 2 r_1 \pi \delta } + {1 \over \sigma} { l \over 2 r_2 \pi \delta } =
{l \over \sigma \cdot 2 \pi \delta} \left( { 1 \over r_1 } + { 1 \over r_2 } \right)
</math>
Ebből a hosszegységre eső váltóáramú ellenállás:
<math>
R_{AC,l} = {1 \over \sigma \cdot 2 \pi \delta} \cdot \left( { 1 \over r_1 } + { 1 \over r_2 } \right) =
{1 \over 57 \cdot 10^6 \cdot 2 \pi \cdot 102 \cdot 10^{-6}} \cdot \left( { 1 \over 0.002 } + { 1 \over 0.006 } \right) =
18.25 \; m\Omega
</math>


}}
}}
968. sor: 1 445. sor:


}}
}}


=== 109. Feladat: Hengeres vezető belsejében az elektromos térerősség ===
=== 109. Feladat: Hengeres vezető belsejében az elektromos térerősség ===
997. sor: 1 475. sor:


}}
}}


===111. Feladat: Behatolási mélység===
===111. Feladat: Behatolási mélység===
1 033. sor: 1 512. sor:


<math> \alpha = \beta = \frac{1}{\delta} \approx 231\ \frac{1}{\text{m}}</math>
<math> \alpha = \beta = \frac{1}{\delta} \approx 231\ \frac{1}{\text{m}}</math>
}}
}}




===112. Feladat: Behatolási mélység===
===112. Feladat: Vezető közeg hullámimpedanciája===
Egy <math>\mu_r=1</math> relatív permeabilitású vezetőben <math> \omega = 10^4 {1 \over s}</math> körfrekvenciájú síkhullám terjed. Tudjuk a terjedési együttható abszolút értékét, ami <math> \left| \gamma \right| = 5 \; {1 \over mm}</math>.
Egy <math>\mu_r=1</math> relatív permeabilitású vezetőben <math> \omega = 10^4 {1 \over s}</math> körfrekvenciájú síkhullám terjed. Tudjuk a terjedési együttható abszolút értékét, ami <math> \left| \gamma \right| = 5 \; {1 \over mm}</math>.


1 048. sor: 1 528. sor:




Mivel a közeg ó vezetés és relatíve alacsony körfrekvenciájú a síkhullám, így: <math> \sigma >> \omega \varepsilon </math>
Mivel a közeg jó vezető és relatíve alacsony körfrekvenciájú a síkhullám, így: <math> \sigma >> \omega \varepsilon </math>




1 075. sor: 1 555. sor:
2.513 \; \cdot \; e^{j \cdot (\pi / 2)} \; \mu \Omega </math>
2.513 \; \cdot \; e^{j \cdot (\pi / 2)} \; \mu \Omega </math>


}}
=== 114. Feladat: Teljesítményváltozás ===
Egy jó vezető peremén a teljesítménysűrűség 40W/m^3. A peremtől 5 mm távolságban viszont már csak 8 W/m^3.Adja meg a behatolási mélységet!
=== 116. Disszipált teljesítmény alumíniumvezetőben ===
Egy hengeres <math> r = 2mm </math> sugarú és <math> L = 8m </math> hosszúságú alumínium vezetőben <math> I = 3A </math> amplítúdójú szinuszos áram folyik. A vezetőben mért behatolási mélység <math> \delta = 60 \mu m </math> , határozza meg a vezető által disszipált teljesítményt, ha <math> \sigma = 35*10^6 S/m </math>!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg= Mivel a vizsgáztatóm azt mondta a megoldásomra, hogy rossz. de közben áttértünk a tételre, nem írnék le rossz megoldást.
}}
}}


1 107. sor: 1 600. sor:


Behelyettesítés előtt ω és γ értékét alakítsuk megfelelő mértékegységre (1/s és 1/m), illetve figyeljünk hogy <math>\mu = \mu_0 \cdot \mu_r</math>
Behelyettesítés előtt ω és γ értékét alakítsuk megfelelő mértékegységre (1/s és 1/m), illetve figyeljünk hogy <math>\mu = \mu_0 \cdot \mu_r</math>
}}
=== 120. Feladat: Felületen átáramló hatásos teljesítmény számítása ===
Homogén vezető végtelen féltérben síkhullám terjed a határfelületre merőlegesen. E = 25mV/m, H= 5A/m. Adja meg egy adott, a z=0 határfelületen levő A=3m^2 felületre az azon átáramló hatásos teljesítményt!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg= A megoldás ismeretlen.
}}
=== 121. Feladat: EM hullám elektromos térerősségvektorából mágneses térerősségvektor számítása ===
Egy levegőben terjedő elektromágneses hullám komplex elektromos térerősségvektora: <math>\vec{E} =(5 \vec{e}_y - 12 \vec{e}_z ) \cdot e^{j \pi / 3} \;{kV \over m}</math><br/>Adja meg a <math>\vec{H}</math> komplex mágneses térerősségvektort!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A megoldás során a távvezeték - EM hullám betűcserés analógiát használjuk fel!
Először is szükségünk van a levegő hullámimpedanciájára. Mivel levegőben vagyunk, így <math>\sigma << \varepsilon</math>, valamint <math>\mu = \mu_0</math> és <math>\varepsilon = \varepsilon_0</math>
<math>Z_0= \sqrt{{j \omega \mu \over \sigma + j \omega \varepsilon}} \approx \sqrt{{\mu_0 \over \varepsilon_0}} \approx 377 \Omega</math>
Bontsuk most fel a komplex elektromos térerősségvektort a két komponensére:
<math>\vec{E}=\vec{E}_y+\vec{E}_z</math>
<math>\vec{E}_y=5 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_y \;{kV \over m}</math>
<math>\vec{E}_z= - 12 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_z  \;{kV \over m}</math>
Ezek alapján már felírhatóak a komplex mágneses térerősségvektor komponensei (vigyázat az egységvektorok forognak <math>x \rightarrow y \rightarrow z \rightarrow x</math>):
<math>\vec{H}_z={E_y \over Z_0} \cdot \vec{e}_z \approx 13.26 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_z \;{A \over m}</math>
<math>\vec{H}_x={E_z \over Z_0} \cdot \vec{e}_x \approx - 31.83 \cdot e^{j \pi / 3} \cdot \vec{e}_x \;{A \over m}</math>
A két komponens összegéből pedig már előáll a komplex mágneses térerősségvektor:
<math>\vec{H}=\vec{H}_z+\vec{H}_x \approx (13.26 \cdot  \vec{e}_z - 31.83  \cdot \vec{e}_x) \cdot e^{j \pi / 3} \;{A \over m}</math>


}}
}}


=== 124. Feladat: Síkhullám közeghatáron disszipált hatásos teljesítménye ===


A feladat sorszáma NEM biztos, ha valaki meg tudja erősíteni/cáfolni, az javítsa pls!


=== 125. Feladat: Síkhullám közeghatáron disszipált hatásos teljesítménye ===


Egy levegőben terjedő síkhullám merőlegesen esik egy <math>Z_0'=200 \Omega</math> hullámimpedanciájú, ideális szigetelő közeg határfelületére.<br/>A szigetelő közeg a teljes végtelen félteret kitölti, a határfelületen pedig a mágneses térerősség amplitúdója <math>H=0.3 \; {A \over m}</math>.
Egy levegőben terjedő síkhullám merőlegesen esik egy <math>Z_0'=200 \Omega</math> hullámimpedanciájú, ideális szigetelő közeg határfelületére.<br/>A szigetelő közeg a teljes végtelen félteret kitölti, a határfelületen pedig a mágneses térerősség amplitúdója <math>H=0.3 \; {A \over m}</math>.


Adja meg a határfelület <math>3 m^2</math> nagyságú felületén átáramló hatásos teljesítmény!
Adja meg a határfelület <math>3 \; m^2</math> nagyságú felületén átáramló hatásos teljesítmény!


{{Rejtett
{{Rejtett
1 125. sor: 1 661. sor:
Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény:
Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény:


<math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} \</math>
<math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} </math>


Mivel jelen esetben a Poynting-vektor és a felület normálisa párhuzamosak, így a felületintegrál egyszerű szorzássá egyszerűsödik:
Mivel jelen esetben a Poynting-vektor és a felület normálisa párhuzamosak, így a felületintegrál egyszerű szorzássá egyszerűsödik:
1 159. sor: 1 695. sor:
Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény:
Tudjuk, hogy egy elektromágneses hullám által adott <math>A</math> felületen disszipált hatásos teljesítmény:


<math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} \</math>
<math>P=\int_{A} Re \left\{ \vec{S} \right\} \mathrm{d} \vec{s} </math>




1 180. sor: 1 716. sor:
\sqrt{{2PZ_{0}' \over  A} } = \sqrt{{2 \cdot 10 \cdot 200 \over  2} } \approx 44.72 \;{V \over m} </math>
\sqrt{{2PZ_{0}' \over  A} } = \sqrt{{2 \cdot 10 \cdot 200 \over  2} } \approx 44.72 \;{V \over m} </math>


}}
=== 129. Feladat: Elektromágneses síkhullám közeghatáron ===
<math>\varepsilon_r = 2.25</math> relatív permittivitású szigetelőben terjedő elektromágneses síkhullám merőlegesen esik egy levegővel kitöltött végtelen féltér határfelületére.<br/>A határfelületen az elektromos térerősség amplitúdója <math>E=250\; {V \over m}</math>.
Adja meg a <math>H^+</math> értékét a közeghatáron, az első közegben.
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A megoldás során a távvezeték analógiát fogjuk felhasználni.
Először meg kell határoznunk a szigetelő reflexiós tényezőjét, ha a "lezárás" levegő:
<math>r={Z_{0,l} - Z_{0,sz} \over Z_{0,l} + Z_{0,sz}}=
{Z_{0,l} - Z_{0,l}\cdot {1 \over \sqrt{\varepsilon_r} }\over Z_{0,l} + Z_{0,l}\cdot {1 \over \sqrt{\varepsilon_r} }}=
{\sqrt{\varepsilon_r} - 1 \over \sqrt{\varepsilon_r} +1}=
{\sqrt{2.25} -1 \over \sqrt{2.25} +1} = 0.2 </math>
A folytonossági feltételből következik, hogy a határfelületen az elektromos térerősség amplitúdója nem változhat meg:
<math>E^+_l = E^+_{sz} + E^-_{sz} = E^+_{sz} \cdot (1+r)</math>
<math>H^+_{sz} = {E^+_{sz} \over Z_{0,sz}} \longrightarrow E^+_{sz} = H^+_{sz} \cdot Z_{0,sz}</math>
<math>E^+_l = H^+_{sz} \cdot Z_{0,sz} \cdot (1+r) \longrightarrow
H^+_{sz} = {E^+_l \over Z_{0,sz} \cdot (1+r)}=
{E^+_l \over Z_{0,l} \cdot {1\over \sqrt{\varepsilon_r}} \cdot (1+r)}=
{250 \over 120\pi \cdot {1\over \sqrt{2.25}} \cdot (1+0.2)} \approx 0.829 \; {A \over m}</math>
}}
=== 130. Feladat: Elektromágneses síkhullám ideális szigetelőben ===
Egy ideális szigetelőben terjedő elektromágneses hullám időfüggvénye: <math>E(x,t) = 100 \cdot \cos(1.1t - 7.5x) \cdot e_x \frac{V}{m}</math>.
Az idő mértékegysége <math>\mu s</math>, a távolságé <math>km</math>.
Határozza meg a közeg dielektromos állandóját!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A térerősség általános időfüggvénye: <math>E(x,t) = E_0 \cdot \cos(\omega t - \beta x) \cdot e_x</math>.
Ebből látszik, hogy jelen feladatban <math>\omega = 1.1 \frac{Mrad}{s} </math> és <math>\beta = 7.5 \frac{1}{km}</math>.
Tudjuk azt is, hogy <math> v_f = \frac{c}{\sqrt \varepsilon_r} = \frac{\omega}{\beta}</math>. Átrendezve: <math>\varepsilon_r = (\frac{\beta}{\omega} \cdot c)^2 = (\frac{7.5 \cdot 10^-3}{1.1 \cdot 10^6} \cdot 3 \cdot 10^8)^2 = 4.18 </math>.
}}
=== 134. Feladat: Elektromágneses síkhullám szigetelő határfelületén ===
Levegőben terjedő síkhullám merőlegesen esik egy 200 <math>\Omega</math> hullámimpedanciájú ideális szigetelővel kitöltött végtelen féltér határfelületére. Mekkora a levegőben az elektromos térerősség maximális amplitúdója, ha a minimális amplitúdó levegőben 80 <math>{V \over m}</math>?
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
Először a reflexiós tényezőt kell kiszámítani ahol <math> Z_0=377\Omega Z_2=200\Omega </math> <math>  r={Z_2 - Z_0 \over Z_2 + Z_0}\approx 0,3 </math>.
A reflexiós tényezőből ki tudjuk számolni az állóhullámarányt.
<math> SWR= {1+|r| \over 1-|r|} \approx 1,86 </math>
(Ell.: 1 és <math>\infty</math> között van.)
SWR=<math> { |U_{max}| \over |U_{min}| } \Rightarrow |U_{max}|=|U_{min}|*SWR=80*1,86=148,8  {V \over m} </math>
}}
=== 135. Feladat: Elektromágneses síkhullám által gerjesztett áramsűrűség ===
Egy levegőben terjedő síkhullám merőlegesen esik egy végtelen kiterjedésű fémsík felületére. A síktól <math>\lambda \over 8</math> távolságra az elektromos térerősség komplex amplitúdója <math>500 {{V} \over {m}}</math>. Számítsa ki a felületi áramsűrűség nagyságát!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A távvezeték analógiát felhasználva a lezárás rövidzár, így <math>r = -1</math>.
<math>E_2(h) = {E^+_2} \cdot {e^{j \beta (h-z)}} + {r} \cdot {{E^+_2} \cdot {e^{-j \beta (h-z)}}}</math>
<math>{\beta = {{2 \pi} \over {\lambda}}} \Rightarrow  E_2({{\lambda} \over {8}}) = {E^+_2} \cdot {e^{j {{ \pi } \over {4}}}} - {E^+_2} \cdot {e^{-j {{ \pi } \over {4}}}} = E^+_2 \cdot {\sqrt{2}j}</math>
<math>E^+_2 = {{500 {{V}\over{m}}} \over {\sqrt{2}j}} = -353.55i {{V} \over {m}}</math>
<math>|H^+_2| = {{|E^+_2|}\over{120\pi}} = 0.9378 {{A}\over{m}}</math>
Mivel vezetőben <math>H_{1t} = 0</math> és <math>H_{2t} - H_{1t} = K</math> azaz <math>n \times H_2 = K</math>
<math>{{K=H^+_2} \cdot {(1+(-r))} = {{2} \cdot {H^+_2}} = 1.8756 {{A}\over{m}}}</math>
}}
=== 136. Feladat: Elektromágneses síkhullám elektromos térerősségéből mágneses térerősség számítása ===
Egy elliptikusan polarizált levegőben terjedő síkhullám elektromos térerőssége a következő:<math>E = E0*(ex*cos(wt)+3*ey*cos(wt-pi/6))</math>.Adja meg a mágneses térerősség x irányú komponensét!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
Mivel síkhullám ezért z irányú komponense nincs a térerősségeknek. Az elektromos térerősséget Z0-val osztva (ami a levegőben terjedő hullám hullámimpedanciája) megkapjuk a mágneses térerősséget. De térbe a két térerősség merőleges egymásra, ezért Ex-ből Hy, valamint Ey-ból Hx lesz. Z irányú komponense nincs a síkhullámnak.
Tehát:
<math>H = (E0/Z0)*(ey*cos(wt)+3*ex*cos(wt-pi/6))</math>
<math>Hx = (E0/Z0)*(3*ex*cos(wt-pi/6))</math>
//Bilicz azt mondta kell a Hx-hez egy negatív előjel
}}
}}


== Poynting-vektor ==
== Poynting-vektor ==
=== 137. Feladat:  Elektromos energiasűrűség időbeli átlagából a Poynting-vektor időbeli átlagának számítása===
Levegőben síkhullám terjed a pozitív <math>z</math> irányba. A tér tetszőleges pontjában az elektromos energiasűrűség időbeli átlaga <math>w = 9 \; {\mu J \over m^3}</math>.
Adja meg a Poynting-vektor időbeli átlagát!
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg=
A Poynting-vektor időbeli átlaga felírható az energiasűrűség időbeli átlagának és a fénysebességnek a szorzataként:
<math>S = w \cdot c \approx
9 \cdot 10^{-6} \; {J \over m^3} \cdot 3 \cdot 10^8 \; {m \over s} =
2.7 \; {kW \over m^2}</math>
Másik megoldás, ha valaki esetleg nem ismerné a fenti magic képletet:
Az elektromos energiasűrűség időbeli átlaga levegőben definíció szerint felírható az alábbi módon:
<math>w = {1 \over 2} \varepsilon_0 E_{x0}^2 \; \longrightarrow \; E_{x0} =
\sqrt{{ 2w \over \varepsilon_0}} =
\sqrt{{ 2 \cdot 9 \cdot 10^{-6} \over 8.85 \cdot 10^{-12}}} \approx 1426.15 \; {V \over m}</math>
A levegő hullámimpedanciája: <math>Z_0 = 120\pi \; \Omega</math>
Ebből a Poynting-vektor időbeli átlaga már definíció szerint felírható:
<math>S = {1 \over 2} {E_{x0}^2 \over Z_0} =
{1 \over 2 } \cdot {1426.15^2 \over 120\pi} \approx 2.697 \; {kW \over m^2 }</math>
}}
=== 142. Feladat: Hertz-dipólus távoltérben ===
Levegőben álló Hertz-dipólus távolterében az elektromos térerősség amplitúdója az antennától r távolságban, az antenna tengelyétől mért <math>\vartheta </math> elevációs szög alatt <math>E(r, \vartheta)={200V \over r} \cdot sin\vartheta</math>. Adja meg az antenna által kisugárzott összes hatásos teljesítményt! <math>(D=1,5)</math>
{{Rejtett
|mutatott='''Megoldás'''
|szöveg= Hertz-dipólus távoltérben
}}


=== 143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény ===
=== 143. Feladat: Hertz-dipólus által adott irányban kisugárzott teljesítmény ===
1 220. sor: 1 905. sor:
</math>
</math>
}}
}}


=== 149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény ===
=== 149. Feladat: Koaxiális kábelben áramló teljesítmény ===
1 227. sor: 1 913. sor:
<math>\vec{E}(r)=\frac{U_0}{r} \cdot \vec{e_r}</math> és <math>\vec{H}(r)=\frac{I_0}{r} \cdot \vec{e_\varphi}</math>  
<math>\vec{E}(r)=\frac{U_0}{r} \cdot \vec{e_r}</math> és <math>\vec{H}(r)=\frac{I_0}{r} \cdot \vec{e_\varphi}</math>  


(<math>\vec{e_r}, \vec{e_\varphi}</math> és <math>\vec{e_z}</math> a radiális, fi és z irányú egységvektorok)
(<math>\vec{e_r}, \vec{e_\varphi}</math> és <math>\vec{e_z}</math> a radiális, <math>\varphi</math> és <math>z</math> irányú egységvektorok)


Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara <math>r_1</math>, a külső vezető belső sugara <math>r_2</math>, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a z irányú.
Milyen irányú és mekkora az áramló hatásos teljesítmény? A belső ér sugara <math>r_1</math>, a külső vezető belső sugara <math>r_2</math>, a vezetők ideálisak, a kábel tengelye a <math>z</math> irányú.


{{Rejtett
{{Rejtett
A lap eredeti címe: „https://vik.wiki/Elektromágneses_terek_alapjai_-_Szóbeli_feladatok”