„Szerkesztő:Nagy Vilmos/Jelek Előadásjegyzet - 2017 (ősz)” változatai közötti eltérés

← Régebbi szerkesztés

VizuálisWikiszöveges

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-'''Előszó:''' Amíg nem megy a LaTeX képletek renderelése a wikin, addig ezt feltöltöm PDF-ben is, ide: [[:File:jelek_jegyzet_vilmosnagy_latex.pdf]]
 A félévben tervezem letisztázni ide a Jelek (Rendszerelmélet) jegyzeteimet - lehetőleg valami olyan formában, ami az első ZH előtt segít rendesen összefoglalni az anyagot, s egy ponthatáros kettest összehoz.
@@ 6. sor: / 4. sor: @@
 Ez az oldal az előadáson elhangzott dolgokat, s a gyakorlatokon elhangzott elméleti anyagot tartalmazza - már, amit felfogtam belőle. Próbálom időrendi sorrendben tartani, de ha valami szerintem más sorrendben logikus, akkor kérdés nélkül megcserélem. Az gyakorlatjegyzetemet erre találod: [[Szerkesztő:Nagy_Vilmos/Jelek_Gyakorlatjegyzet_-_2017_(ősz)]]
+A képleteket próbálom átnézni, de hibák maradhatnak benne. Tipikusan DI/FI rendszernél az index elnevezések, szögeletes/kapcsos zárójelek, etc. Ha ilyet találsz, javítsd nyugodtan (vagy dobj levelet). TY!
 == Megjegyzések magamnak ==
@@ 215. sor: / 215. sor: @@
 A speciális esetek ugyanúgy felírhatók, mint a diszkrét esetben.
+== Jelek állapotváltozós leírása ==
+=== Diszkrét idejű jelek esetén ===
+==== Állapotváltozós leírás ====
+Egy rendszer általánosságban leírható az alábbi két képlettel:
+* <math>\underline{x[k+1]} = \underline{A} \cdot \underline{x[k]} + \underline{B} \cdot u[k]</math>
+* <math>\underline{y[k]} = \underline{C} \cdot \underline{x[k]} + \underline{D} \cdot u[k]</math>
+Ennek így elsőre semmi értelme, de:
+* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható az impulzusválaszuk
+* ha így írunk fel rendszereket, akkor egyszerűen kiszámolható lesz adott gerjesztésre a válaszuk
+* és ilyet kérdeznek ZH-n, háziban.
+Szóval érdemes begyakorolni, megérteni, etc.
+Amennyiben a rendszerünk egy gerjesztéssel, egy válasszal, és két köztes állapotváltozóval rendelkezik, ez így néz ki:
+* <math>x_1[k+1] = A_{11} \cdot x_1[k] + A_{12} \cdot x_2[k] + B_1 \cdot u[k+1]</math>
+* <math>x_2[k+1] = A_{21} \cdot x_1[k] + A_{22} \cdot x_2[k] + B_2 \cdot u[k+1]</math>
+* <math>y[k] = C_1 \cdot x_1[k] + C_2 \cdot x_2[k] + D \cdot u[k]</math>
+==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
+Az így felírt rendszer impulzusválasza:
+<math>h[k] = d \cdot \delta[k] + \epsilon[k-1] \cdot (\underline{c} \cdot \underline{\underline{A}}^{k-1} \cdot \underline{B})</math>
+===== Mátrix egyszerű hatványozása =====
+Ebből az <math>\underline{\underline{A}}^{k-1}</math> kiszámolása okozhat nekünk gondot. Ennek a matematikai levezetését én sosem értettem meg, és nem is kell a ketteshez (remélem).
+Általánosan egy mátrix hatványozása leírható (legalábbis, nekünk ez így jó lesz):
+<math>\sum_{i=0}^{k} {\lambda_{i}}^k \cdot \underline{\underline{L_i}}</math>
+Ahol az egyes <math>\underline{\underline{L_i}}</math>-k az ''A'' mátrix Lagrange mátrixai, míg a <math>\lambda_{i}</math>-k az ''A'' mátrix sajátértékei.
+A mátrix sajátértékeit kiszámolhatjuk, ha az alábbi egyenletet megoldjuk:
+<math>\det (\mathbf{A} -\lambda \mathbf{I} )=0</math>
+Azaz:
+<math>((A_{11} - \lambda) \cdot (A_{22} - \lambda)) - (A_{12} \cdot A_{21}) = 0</math>
+A Lagrange mátrix pedig általánosságban:
+<math>\underline{\underline{L_{i}}} = \prod_{p=1}^{N} \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_p \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_i - \lambda_p}</math>
+Konkrétabban:
+* <math>\underline{\underline{L_{1}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_2 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_1 - \lambda_2}</math>
+* <math>\underline{\underline{L_{2}}} = \frac{\underline{\underline{A}} - \lambda_1 \cdot \underline{\underline{E}}}{\lambda_2 - \lambda_1}</math>
+Ön-ellenőrzéshez (vagy ha éppen késésben vagy), hasznos tulajdonsága a Lagrange mátrixnak, hogy: \sum \underline{\underline{L_i}} = \underline{\underline{E}}
+=== Folytonos idejű jelek esetén ===
+==== Impulzusválasz állapotváltozós leírásból ====
+Az így felírt rendszer impulzusválasza:
+<math>h(t) = d \cdot \delta(t) + \epsilon(t) \cdot (\underline{c} \cdot e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} \cdot \underline{B})</math>
+<math>e^{\underline{\underline{A}}\cdot t} = \sum_{i=1}^{N} e^{\lambda_i \cdot t} \cdot \underline{\underline{L_{i}}}</math>