„Fizika 1 - Ellenőrző kérdések és válaszok” változatai közötti eltérés

   

==II. Fejezet==

<math> \mbox{Atlagsebesseg} = \frac{\hbox{Osszes ut}}{\hbox{Osszes ido}} </math>

<math> v_{atl} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} </math>

<math> v_{pill} = \dot{x} = \frac{dx}{dt}</math>

<math> a_{atl} = \frac{\Delta v}{\Delta t} </math>

<math> a_{pill} = \dot{v} = \ddot{x} </math>

<math> x(t) = x_{0} + v_{0}t + \frac{a}{2}t^2 </math>

<math> v(t) = v_{0} + at </math>

<math> a(t) = konstans </math>

<math> a(t) = \dot{v}(t) = \ddot{x}(t) </math>

<math> v(t) = v_{0} + \int_{0}^{t} {a}(\tau) \mathrm{d}\tau </math>

<math> x(t) = x_{0} + \int_{0}^{t} {v}(\tau) \mathrm{d}\tau + \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} {a}(\tau) \mathrm{d}\tau^2 </math>

Definícióból következik, hogy az x(t) adott pontbeli érintőjének meredeksége az adott pontbeli v(t) értéke. A v(t) grafikon alatti terület pedig megegyezik a megtett úttal, számértékben természetesen.

Ugyanez elmondható a v(t) és a(t) kapcsolatáról.

==III. Fejezet==

   

* _Matekosabb definíció_: <math> R^3 </math> feletti vektortér i,j,k ortonormált bázisra illesztett koordináta-rendszer.

* _Szövegesebb definíció_: Három, páronként egymásra merőleges, közös origójú számegyenes Descartes-féle derékszögű, jobbsodrású koordináta-rendszert alkot. A pontnak a koordináta-rendszer síkjaitól mért előjeles távolságát _x_, _y_, _z_ betűkkel jelöljük, ezek a pont derékszögű koordinátái.

<math> \Delta \vec{r}(t) = \Delta x \vec{i}+ \Delta y \vec{j}+\Delta z \vec{k}</math>

<math> \vec{v}_{atl} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} </math>

<math> \vec{v}_{pill} = \dot{\vec{r}} </math>

<math> \vec{a}_{atl} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} </math>

   

Két távolsággal és egy szögel definiált vektor:

* _r_: a vektor xy síkbeli vetületének hossza

<math> z = z </math>

(Több fajtája is van, a könyvben lévőt írom ide.)

<math> z = r \cos{\gamma} </math>

'''''Általánosságban:''''' Csak a z tengely irányában van elmozdulás, állandó g gyorsulással. Így ez nem más, mint a már fentebb leírt egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás, ahol a = g.

<math> y_{max} = \frac{v_{0}^2}{2g} </math>

'''''Általánosságban:''''' A tér minden irányában történik elmozdulás. Az elmozgás vektora minden esetben felbontható i,j,k bázisvektorokkal párhuzamos összetevőkre, így a továbbiakban elegendő 3 különálló egydimenziós mozgással foglalkozni.  

<math> y = x \tan \alpha - \frac{g}{2 v_{0}^2 \cos^2 \alpha} </math>

'''''Általánosságban:''''' A ferde hajtás egy speciális esete, amikor a kezdeti sebesség vektor Z koordinátája 0.

   

==IV. Fejezet==

Egy adott _O_ pontból kiinduló félegyenes (polártengely) és egy rá illeszkedő rögzített sík alkotja. E síkban mozgó _P_ pont polárkoordinátái

* a pontban az _O_ pólustól való _r_ távolsága és az  

<math> y = r \sin\varphi </math>

A sebesség vektor mindig érintő irányú. (Erre gondolt vajon?)

Ekkor csak centripetális gyorsulása van, ami a kör középpontja felé mutat, ez a gyorsulás tartja körpályán a testet.

Ekkor a test gyorsulásának van egy tangenciális (érintővel párhuzamos) és egy centripetális összetevője (ami a kör középpontja felé mutat).

(Könyv jelölései: <math> \hat{r} </math> és <math> \hat{\varphi} </math>)

  <math> \frac{de_{\varphi}}{dt} = \frac{v}{R}e_{r} </math>

  <math> v = R \dot{\varphi} = R\omega </math>

  <math> a_{T} = R \ddot{\varphi} = R\alpha </math>

  <math> a_{cp} = R\dot{\varphi}^2 = R \omega^2 </math>

  <math> \vec{v} = \dot{r}e_{\varphi} + 0 e_{r} </math>

  <math> \vec{a} = R\ddot{\varphi}\dot{r}e_{\varphi} + R \omega^2 e_{r} </math>

Egy pálya görbéjének minden egyes pontjához illeszthető simuló (görbületi) kör, ennek sugara a görbületi sugár. (Matematikában a simulókör görbülete a simulókör sugarának reciproka.)  

   

==V. Fejezet==

Létezik olyan inerciarendszer, melyben minden test nyugalomban marad vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez mindaddig, míg ezt az állapotot egy másik test vagy mező meg nem változtatja.

Megfigyelések és kísérletek:

* Ha úgy húzunk egy kocsit, hogy az erő csak a súrlódást egyenlít ki, akkor a kocsi megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását.

Egy pontszerű test 'a' gyorsulása egyenesen arányos a testre ható, a gyorsulással azonos irányú 'F' erővel, és fordítottan arányos a test 'm' tömegével. Ennek két változata él:

* a klasszikus:

* Nyilván, lehet akkorát rúgni az ólomgolyóba, hogy ugyanoda repüljön, mint a focilabda.

Ha egy testre egy másik test F erővel hat, akkor a második test az első testre ugyanekkora nagyságú, ellentétes irányú ellenerővel hat.

Megfigyelések és kísérletek:

* Autó gyorsítása: a kerék "hátrafelé löki" a talajt, az pedig "előrenyomja" a kerekeket.

Az erő vektormennyiség, azaz vektorként adódnak össze és vektorként szorzódik skalárral. Megfigyelések és kísérletek:

* Kötélhúzás.

* Lejtőn lecsúszó test.

<math> \vec{p} = m\vec{v} </math>

Olyan erők, melyek egy közeg atomjait egymástól távolítják, vagy közelítik. A húzó- illetve nyomóerő különböző testek között közvetíthető elhanyagolható tömegű kötél illetve rúd segítségével. ''(Ha van valakinek elfogadott válasza erre, írja fel!)''  

Hooke-törvény:

<math> \vec{F} = -k\vec{r} </math>

ahol _k_ az adott rugóra jellemző rugóállandó és _r_ a kitérés az egyensúlyi állapottól.

<math> \vec{F_{s}} \leq \mu_{0} \vec{F_{ny}} </math>  

* Tömeg: _m_, a mozgásállapot-változtató hatással szembeni ellenállás mérőszáma.

* Súly(erő): _G_, az az erő, mellyel egy test az alátámasztást nyomja, vagy a felfüggesztést húzza.

<math> \vec{G} = m \vec{g} </math>  

==VI. Fejezet==

Az F erő W munkája megegyezik az erő elmozdulás irányába eső komponensének és az elmozdulás nagyságának szorzatával.

<math> W = Fs </math>  

Mértékegysége: [W] = Nm = J (joule).

'''''Ha a mozgás során g állandó:'''''

<math> W = mgh </math>

* _m_ a vizsgált test tömege, _M_ pedig a gravitációs teret keltő test tömege

_A_ és _B_ pontok között:

<math> W = \int_{A}^{B} \sum_i \vec{F_i}(\vec{r})d\vec{r} </math>

<math> W = \frac{1}{2}kx^2 </math>

ahol

* _x_: a kitérés

<math> \sum{W} = \Delta E_{kin} </math>

<math> \Delta W_k = \Delta K + \Delta U_g + \Delta U_r + \Delta U_t </math>

<math> E_{pot}(\vec{r})= \int_{r}^{r_0}\vec{F_{konz}}(\vec{r})d\vec{r} </math>

ahol <math>\vec{r_0}</math> a viszonyítási pont helyvektora. Az az energia, amellyel egy test rendelkezik konzervatív erőtérben.

* Olyan erőtér, melyben ható erő - a konzervatív erő - bármely zárt görbén végzett összes munkája nulla, vagyis <math> \oint \vec{F} d \vec{r} = 0 </math>  

<math> P(t) = \frac{dW}{dt} </math>

   

Tekintsük a hely függvényében változó ''F(x)'' erőt. Az ilyen eredő erő hatására ''x = a'' -tól _b_ -ig elmozduló testen a munkavégzés:

<math> W = \int_{a}^{b} F(x)dx </math>

# <math> \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c \; \; (\forall n \neq -1) </math>

<math> F_s = \mu m g s </math>

<math> \sum{W^{nem\; konzervativ}} = \Delta E_{k} + \sum\Delta E_p </math>

==VII. Fejezet==

Ekvivalens definíciók:

* A konzervatív erő munkája csak a pálya kezdő-, és végpontjától függ, vagyis független a pálya alakjától.

* A konzervatív erő bármely zárt görbén végzett összes munkája nulla, vagyis <math> \oint \vec{F} d \vec{r} = 0 </math>  

Ekvivalens megfogalmazások:

* Az az energia, amellyel egy test rendelkezik konzervatív erőtérben.

* Az a munkamennyiség, amely ahhoz szükséges, hogy a testet (vagy töltést) a potenciális energia 0 szintjéről egy adott helyre mozgassunk.

Ha csak konzervatív erők hatnak:

<math> \Delta E_{k} + \sum\Delta E_p = konstans </math>

<math> \Delta E_{k} + \sum\Delta E_p = \sum{W^{nem\; konzervativ}} </math>

Nem konzervatív, vagyis disszipatív erők.

* Súrlódási erő

* Bármely időtől vagy a tömegpont sebességétől függő erő

* Egy töltéssel rendelkező fém golyó gurul lefelé egy súrlódásmentes lejtőn és egy rugónak csapódik. Miközben lökődik vissza a rugóról odateszünk egy azonos töltésű részecskét és eltaszítjuk egy homogén mágneses térbe, így körpályán kering az idők végezetéig. Az egész jelenség természetesen vákuumban játszódik le. ''(Megjegyzés: ez jópofa, ezért bennhagytam, de helytelen, ugyanis a gyorsuló töltés elektromágneses sugárzást bocsájt ki!)''

* Tökéletesen rugalmas ütközés.

* (Most nem súrlódásmentes) lejtőn leguruló testre ráfingik egy lepke (közegellenállás).  

* Ütközés: a jelentősen lecsökkenő mozgási energia fedezi az ütköző testek deformációját, bizonyos mennyiségű hő is keletkezik.

* Égés: az anyagon belüli molekuláris kötésekben tárolt (kémiai) energia szabadul fel hő-, fény-, hang-, satöbbi energiává, miközben az anyag is átalakul (A dieselből lesz korom, szén-, és nitrogénoxidok, stb.)  

Egy test belső energiájának megváltozása egyenlő a testtel közölt hő és a rajta végzett térfogati munka összegével:

<math> \Delta E = Q + W </math>

==VIII. Fejezet==

Két test kölcsönhatásánál az egyes testek sebességei úgy aránylanak egymáshoz, mint a tömegeik, következésképpen tömegük és sebességváltozásuk szorzata megegyezik. A hatás-ellenhatás elve alapján feltételezhetjük, hogy a dinamikai párkölcsönhatásban a két testet azonos ideig ugyanolyan nagyságú hatás éri, következésképpen dinamikai jellemzőik is azonos mértékben változnak.  

Amennyiben a két test által alkotott rendszert zártnak tekinthetjük, fentiek alapján kijelenthető, hogy a zárt rendszerben a lendületváltozások vektori összege 0, vagyis a rendszer össz lendülete állandó.

<math> \sum_i \Delta p_i = 0 </math>

Az erőlökés a testekre kifejtett mozgásállapot-változtató hatást jellemzi. Egyenesen arányos

* a testre ható erővel

A rakéta testének és a kiáramló hajtógázoknak az összes impulzusa állandó, így a "hátrafelé" kiáramló gázok impulzusa megegyezik a rakétatest impulzusával.   

2 tömegpontra: például 2 golyó ütközik. <br>

Az egymásra ható erők Newton 3. törvénye értelmében megegyeznek: <math> \vec{F_A} = -\vec{F_B} </math>, így:

ahol a 0 index a kezdeti értéket, az index hiánya pedig a tetszőleges _t_ időponthoz tartozó értéket jelöli.

* Rakétamozgás.

* Rugalmas és rugalmatlan ütközés.

Hozzávalók:

* Földhöz rögzített viszonyítási rendszer

<math> v = v_r \ln \left( \frac{m_0}{m} \right) -gt </math>

Az előző pontban elkövetett levezetés eredményét felhasználva rögtön látszik a megoldás:

* a hajtóanyag minél nagyobb sebességgel áramoljék ki a fúvókákon.

* Szállítószalag, melyre árut öntenek.

* Egy lánc, amit lassan a földre eresztünk.

==IX. Fejezet==

Rugalmas ütközés esetén a vizsgált részecskerendszer tagjainak összes kinetikus energiája az ütközés után és előtt megegyező. Tehát a mechanikai energia és a lendületmegmaradás is érvényes.

Ha az ütközés során a kinetikus energia egy része "elvész" (például hővé alakul, vagy deformálódik a test), akkor rugalmatlan ütközésről beszélünk. Itt tehát a mechanikai energia megmaradás nem érvényesül, csak a lendületmegmaradás.

<math> \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2} </math>

A TKP úgy mozog, mintha oda összpontosulna a két részecske együttes tömege, és rá a külső erők vektori összege hatna.

Az <math> \vec{r_1} </math>, <math>\vec{r_2} </math>, <math> \vec{r_2} </math>... helyeken található <math> m_1 </math>, <math>m_2 </math>, <math> m_2 </math>... tömegű pontszerű testek pontrendszert alkotnak.

   

<math> \vec{r}_{TKP}=\frac{\sum_{i} m_{i} r_{i}}{\sum_{i} m_{i}} </math>

A TKP úgy mozog, mintha benne a rendszer teljes _M_ tömege egyesítve lenne, és rá a külső erők vektori összege hatna.

<math> \sum F_{k} = M\vec{a}_{TKP} </math>

<math> p_{TKP} = M\vec{v_{TKP}} </math>  

<math> E_{k} = E_{K}^b + \frac{1}{2}Mv_{TKP}^2 </math>

A TKP nem mozog >> p = 0

<math> E_{k} = E_{K}^b </math>

Így egyszerűbb a számítás.

* Rugalmas: a mechanikai energia és a lendület is megmarad.

* Centrális: az ütközési ponton a két test felületének normál vektora a másik test tömegközéppontjába mutat. (Vagyis "telibe" kapják egymást, nem csak a szélük találkozik.)

* Egyenes: a sebességvektorok párhuzamosak.  

Vegyünk merev, kiterjedt testeket, melyek közül az egyik mozdulatlan, a másik _v_ sebességgel halad felé. A mozgó test sebességvektora és az álló test tömegközéppontján áthaladó, a sebességvektorral párhuzamos egyenes távolsága az ütközési paraméter. Ha az ütközési paraméter zérus, akkor centrális ütközésről beszélünk.

<math> \vec{R} = \vec{R_1} - \vec{R_2} = \vec{v_1} t + \vec{\rho_1} - \vec{v_2} t + \vec{\rho_2} = \vec{v}t + \vec{b} </math>

* <math> \vec{\rho_1} </math> és <math> \vec{\rho_2} </math> a kezdeti koordináták

* <math> \vec{v} </math> a relatív sebesség

==X. Fejezet==

<math> \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} </math>

<math> |M| = rF \sin \theta </math>

A merev test részecskéi megtartják egyméshoz viszonyított helyzetüket.

<math> \vec{r_{sp}} = \frac{\int \vec{r} dm }{\int dm} </math>

<math> \sum_i \vec{F_i} = 0  </math>

<math> \sum_i \vec{M_i} = 0  </math>

* Stabilis: innen kimozdítva a test visszaáll eredeti helyzetébe, pl. kelj fel Jancsi.

* Instabil (labilis): nem áll vissza ugyanoda, egy másik egyensúlyi pontba mozdul tovább, pl. kártyavár.

* Semleges: picit elmozdítva egy másik egyensúlyi helyzetbe kerül, pl. vízszintes felületen egy golyót odébb gurítunk.

==XI. Fejezet==

<math> \omega_{atl} = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}  </math>

<math> \vec{\omega}(t) = \frac{d\vec{\varphi}}{d t}  </math>

<math> \alpha_{atl} = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}  </math>

<math> \vec{\alpha}(t) = \frac{d\vec{\omega}}{d t}  </math>

<math> \vec{v} = \vec{\omega}(t) \times \vec{r}  </math>

<math> v = r \omega </math>

<math> a_{cp} = \omega^2 r  </math>

<math> a_{tg} = \alpha r  </math>

<math> \omega = \omega_0 + \alpha t  </math>

<math> \theta = \theta_0 + \omega_{atl} t  </math>

<math> \alpha = \frac{d \omega}{dt} \Longrightarrow \alpha dt = d \omega  </math>

Csúszás nélküli, tehát a TKP sebessége megegyezik a forgás kerületi sebességével:

A fenti öt egyenlet egyértelműen jellemzi a mozgást.

==XII. Fejezet==

<math> I = \Theta = \sum_i m_i r_i^2  </math>  

A könyv I-vel jelöli, így a továbbiakban én is ezzel fogom

_v_ sebességgel mozgó, _m_ tömegű pontnak adott _O_ pontra vonatkozó perdületén (impulzusnyomatékán, impulzusmomentumán, mozgásmennyiségének nyomatékán) lendületének az _O_ pontra vonatkozó nyomatékát értjük.

<math> \vec{L} =  \vec{r} \times  \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v}) </math>

<math> \Delta \vec{L} = \vec{L_2} - \vec{L_1} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{M} dt </math>

<math> \sum M = I \vec{\alpha}  </math>

<math> \sum \Delta L = 0  </math>

<math> \sum W = \Delta E_{rot}  </math>

   

Tömör, homogén henger _r_ sugárral, _m_ tömeggel és _h_ magassággal: <br>

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Moment_of_inertia_solid_cylinder.png

Ha a henger valamelyik paramétere a feladat szövege szerint elhanyagolható, akkor értelemszerűen 0-ként vesszük figyelembe (például itt a "pálca" szóból lehet gondolni, hogy <math> r \approx 0 </math>.)

Lásd egyel feljebb!

<math> \vec{\omega} = \frac{\vec{v}}{\vec{r}}</math>

==XIII. Fejezet==

<math> \sum F_{kiterjedt} = \frac{dP}{dt} = M a_{tkp} </math>

Egy test tömegközéppontra vett impulzusmomentumának változási sebessége egyenlő a tömegközéppontra vett külső forgatónyomatékok erdőjével, még akkor is, ha a test tömegközéppontja - a gyorsulást is beleértve - elmozdul.

<math> \sum_{tkp} M_{kiterjedt} = \frac{dL}{dt} </math>

A tehetetlenségi nyomaték definíció szerint függ a tengely megválasztásától. A szimmetriatengellyel egybeeső forgástengelyek ismeretében az ezzel párhuzamos tengelyekre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékok közötti összefüggést a Steiner-tétel adja meg:  

* <math> \Theta_d </math> a tömegközépponton átmenő tengellyel párhuzamos, attól _d_ távolságra vélő forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték

Két erő, melyek hatásvonala párhuzamos, egy síkban vannak és ellentétes irányúak, erőpárt alkotnak. Ez a legelemibb erőrendszer, ami nem írható fel egyetlen eredő erővel.  

   

"Az L impulzusmomentum vektor követni igyekszik az _M_ forgatónyomaték vektor irányát"

<math> \vec{M} = \vec{\omega}_p \times \vec{L}</math>

Lásd [http://hu.wikipedia.org/wiki/P%C3%B6rgetty%C5%B1s_ir%C3%A1nyt%C5%B1 itt!]

==XIV. Fejezet==

Ha a koordináta-rendszer gyorsulása <math> a_R </math>:

<math>\vec{F_{teh}}=-m \vec{a_{R}}</math>

<math>\vec{F_{cfg}}=-m \vec{\omega} \times(\vec{\omega} \times \vec{v})</math>

Mindig a forgástengelyre merőlegesen kifelé mutat.

<math>\vec{F_C}=-2m (\vec{\omega} \times \vec{v})</math>

Az északi féltekén jobbra, a déli féltekén balra tereli el a mozgást.

Lásd [http://hu.wikipedia.org/wiki/Foucault-inga itt!]

A Coriolis erő az északi féltekén mozgó légtömegeket jobbra téríti el. Ha egy alacsony nyomású tartomány a környező légtömegeket vonzani kezdi, akkor a Coriolis eltérítés az óramutató járásával ellentétes irányú "örvényt", cikont hoz létre.

==XV. Fejezet==

<math> x(t)=A\sin(\omega t + \varphi) </math>

Hooke törvény:  <math> m \frac{d^2x}{dt^2} = - k x </math>  

<math> \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2=konstans </math>

<math> \sum M = I \alpha </math>

<math> T \approx 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} </math>

<math> M = -mgl \sin\theta </math>

<math> T\approx 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}} </math>

<math> m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0 </math>

<math> A(t) = A_0 e^{-\left(\frac{b}{2m}\right)t} </math>

<math> x(t)=A_{csmax}\mathrm{e}^{-\beta t} \sin(\omega_{cs} t + \varphi_{cs})</math>

ha <math>\beta << \omega_0 </math>

<math> m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0 \sin\omega_gt </math>

<math> A(\omega_g) = \frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_{sz}^2-\omega_g^2)^2 + \left( \frac{\omega_g b}{m} \right)^2}} </math>

Rezonancia (magyarul együttrezgés) akkor jön létre, ha a kényszerítő rezgést végző test frekvenciája megegyezik a kényszerrezgést végző test sajátfrekvenciájával. Rezonancia esetén a kényszerrezgést végző test amplitúdója a más frekvenciákon történő kényszerrezgéseknél előálló amplitúdókhoz képest a lehető legnagyobb. Amennyiben ez a megnövekedett amplitúdó eléri az adott anyag deformálhatóságának a határát, bekövetkezik a rezonanciakatasztrófa.

A rezonancia jelenségére és a rezonanciakatasztrófára példa az Amerikai Egyesült Államok Washington államában lévő Tacoma Narrows Bridge 1940-es összeomlása. A függőhíd szerkezete nem bírta a ki a szél által keltett lökéshullámokat, és az útpálya beszakadt.

Lásd: A01. és A02.

Lásd: A04.

<math> M=-\kappa\theta </math>

ahol <math> \kappa </math> a torziós rugóállandó

<math> \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \left( \frac{\kappa}{I} \right) \theta </math>

<math> T= 2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}} </math>

Lásd A05.

Kritikus csillapítás esetén a csillapítási tényező <math> b = \sqrt{4km} </math>.

<math> x(t)=A_0 (1+b t)e^{-b t} </math>

Túlcsillapítás esetén a csillapítási tényező <math> b > \sqrt{4km} </math>..

Lásd: B08.

* Húzófeszültség: az erő merőleges a felületre.

* Nyírófeszültség: az erő a felület legfelső rétege mentén érintőlegesen hat.

Az anyag feszültség hatására bekövetkező alakváltozása. Fajtái:

* Hosszirányú deformáció: húzó feszültség hatására (ld. B11.).

* Térfogati deformáció: a test térfogati változász szenved, de alakja megmarad.

* Nyírási deformáció: nyírófeszültség hatására (ld. B11.).

==XVI. Fejezet==

Bármely két részecske között fellépő vonzóreő:

<math> \vec{F}_{12} = -\Gamma\frac{mM}{r^2}\frac{\vec{r}_{12}}{|r_{12}|} </math>

Olyan vonzó vagy taszító erő, melynek hatásvonala mindig egy rögzített ponton megy át, például a gravitációs erő, amit a Nap gyakorol a Földre.

A centrumra vonatkoztatott imulzusmomentum megmarad.

(Centrális erőtér: olyan erőtér, amelyben mindig található egy pont (erőcentrum), amelyen minden az erőtérhez tartozó erő hatásvonala átmegy.)

A gravitációs térerősség a _g_ nehézségi gyorsulás:

<math> g = \frac{F}{m} </math>

<math> g = - \left( \frac{\Gamma M}{r^2} \right) \vec{r} </math>

<math> E_g = \int_{r_1}^{r_2} \vec{F}(\vec{r})d\vec{r} = \int_{A}^{B} \Gamma \frac{mM}{r^2} d\vec{r} = \frac{\Gamma m M}{\vec{r_1}} - \frac{\Gamma m M}{\vec{r_2}}</math>

ahol

* _m_ a vizsgált test tömege, _M_ pedig a gravitációs teret keltő test tömege

Az a legkisebb kezdeti sebesség mellyel a Föld felszínéről indított test úgy hagyhatja el a Földet, hogy soha nem tér vissza.

A gömbszimmetrikus tömegeloszlású, gömbalakú testen kívül lévő _m_ tömegű részecskére a gömb által ható gravitációs erő ugyanolyan, mintha a gömb tömege a középpontban lenne koncentrálva.

Az a gravitációs erő, amit a homogén gömbhéj a belsejében tetszés szerinti helyen lévő részecskére gyakorol, zérussal egyenlő.

<math> U = -\Gamma \frac{mM}{r} </math>  

ahol

* _m_ és _M_ a kölcsönhatásban résztvevő testek tömegei

# A bolygók olyan ellipszispályán keringenek, amelynek egyik gyújtóponjában a Nap van.

# A Naptól a bolygóhoz húzott sugár egyenlő időközök alatt egyenlő területeket súrol.

Mesterséges hold energiája:

* Amennyiben E = 0, úgy parabola pályán mozog a szatellit, a test sebessége végtelenben 0-hoz tart.

* Amennyiben E > 0, úgy hiperbola pályán mozog a szatellit, elhagyja a Földet.

==XVII. Fejezet==

K I M A R A D

==XVIII. Fejezet==

* Transzverzális hullám: közeg részecskéi a hullám haladási irányra merőlegesen rezegnek.

* Longitudinális hullám: közeg részecskéi a hullám haladási irányval párhuzamosan rezegnek.

<math> \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}</math>

<math> y = f(x-vt) </math>

<math> y = A \sin\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt) </math>

Hullámszám:

<math> k = \frac{2\pi}{\lambda} </math>

<math> \lambda = v T </math>

A kifeszített húron haladó transzverzális hullám terjedési sebessége:

<math> v = f \lambda = \sqrt{\frac{F}{\mu}} </math>

* <math> \mu </math> a hosszegységre jutó tömeg - lineáris tömegsűrűség

<math> y = [2A \sin(kx)]\cos\omega t </math>

Állóhullámok, ''N = 1'' az alapharmónikus, ''N > 1'' felharmónikusok

Hozzávalók:

* _x_: a lökéshullám terjedési irányába mért koordináta

<math> \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}</math>

G: nyírási modulusz

<math> v = \sqrt{\frac{G}{\rho}} </math>

K: kompresszió modulusz

<math> v = \sqrt{\frac{K}{\rho}} </math>

<math> v = \sqrt{\frac{K_{adiabatikus}}{\rho}} </math>

A hullámfront minden egyes pontja azonos fázisban van (2-3D-s hullámokra van értelme).

A04-es egyenletet ki lehet egészíteni y és z koordinátákra, így 2 ill 3 D-s hulláokat kapunk.

<math> \beta = 10 \lg{\frac{I}{I_0}} </math>

I helyére bármilyen mennyiség kerülhetne, speciálisan hullámokra I az intenzitás, <math> I_0 </math> pedig nemzetközi referencia szint <math> 10^{-12} \frac{W}{m^2} </math>. A hányadosnak és az lg-nek nincs mértékegysége, így a 10-re rá szoktunk akasztani egy dB mértékegységet, jól látszik azonban, hogy így ez nem lesz SI beli.

<math> I_{atl} = \frac{Atlagos \; Teljesitmeny}{Felulet} = \frac{Atlagos \; energia}{Felulet}sebesseg </math>

<center>Egységnyi térfogatra jutó átlagos energia</center>

A húr mentén terjedő hullámok a húr rögzített végéről 180°-os fázisváltozással (ld. A07.), szabad végről azonos fázisban verődnek vissza.

A kúp <math>\Theta</math> félnyílásszögének színusza:

<math> \sin\Theta = \frac{v}{v_{\hbox{forras}}} </math>

Egy <math> \omega_1 </math> és egy <math> omega_2 </math> körfrekvenciájú hullám találkozik, és a két körfrekvencia közti eltérés elég kicsi.

<math> \Delta\omega\;\;kicsi </math>

Jól látszok a fenti függvényből, hogy a rezgés frekvenciája <math> \frac{f_1 + f_2}{2} </math> lesz, amit egy alacsony (<math> \frac{\Delta f}{2} </math>) rezgésszámú szinusz hullám modulál.

==XLI. Fejezet==

Legyen az x tengely mentén mozgó (vesszős) koordinátarendszer sebessége a referenciához képest V. Ekkor:

<math> x' = x - Vt </math>

<math> t' = t </math>

egy esemény: (x,y,z,t)

# A fizika minden törvényének ugyan az a matematika alakja minden inerciarendszerben

# A vákuumbeli fénysebesséég értéke ugyan az minden inerciarendszerben

<math> \beta = \frac{V}{c} </math>

<math> t' = \frac{t-\frac{Vx}{c^2}}{\sqrt{1-\beta^2}} </math>

A relativisztikus tömeg:

<math> m_{rel} = \frac{m_0}{\sqrt{1-\beta^2}} </math>

<math> p = m_{rel}v </math>

<math> E{rel} = m_{rel}c^2 - m_0 c^2 </math>

   

<math> \Delta t_{mozgo} = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\beta^2}} </math>

Kér ikertesó közül az egyik egy közel fénysebességgel haladó ürhajóval járja be az univerzumot, számára a Földihez ékpest sokkal lasabban tellik az idő. Amikor visszaér a testvére már öreg és földig ér a szakálla, míg az utazó csak pár évvel idősebb.  

Az egyidejűség relativitása azt mondja ki, hogy az egyidejűség nem abszolút, hanem függ a megfigyelő helyzetétől.

<math> \Delta x_{mozgo} = \Delta x_0 \sqrt{1-\beta^2} </math>

<math> u = \frac{u' + V}{1+\frac{u'V}{c^2}} </math>

Távolodó fényforrás:

<math> f = f_o\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}} </math>

<math> f = f_o\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} </math>

# A természet törvényei megfogalmazgatóak úgy, hogy tetszőleges tér-idő vonatkoztatási rendszerben bármely megfigyelő szerint azonos matematikai alakúak legyenek (akár gyorsuló vonatkoztatási rendszerben is)

# Tetszőleges pont közelében a gravitációs tér minden tekintetben egyenértékű egy olyan gyorsuló vonatkoztatási rendszerrel, amelyben nincs gravitáció.

==XIX. Fejezet==

A rendszer és környezete között - kizárólag hőmérsékletkülönbség következtében - kicserélődő energia.

Mértékegysége: kalória (cal); 1 cal = 4,184 J

Atomok és molukulák potenciális és kinetikus energiájából adódó energia.

* Fajhő: <math> c = \frac{\Delta Q}{m \Delta T} </math>

* Mólhő: <math> c_m = \frac{\Delta Q}{n \Delta T} </math>

A fázisátalakulás során átvitt hőmennyiség. Mértékegysége: <math> \left[ \frac{J}{kg} \right]</math>

ahol _L_ a látens hő.

<math> \frac{\Delta Q}{\Delta t} = -\lambda A \frac{\Delta T}{\Delta x} \ </math>

A gáz nyomása az a termometrikus tulajdonság, ami hőmérséklet meghatározására alkalmas.<br>

'''Hudson-Nelson 472. oldal 19-17 ábra'''

A gáz megtartja térfogatát, de a nyomása megváltozik. A nyomást a két higanyoszlop közötti _h_ magasságkülönbségből számolhatjuk ki.

Arányossági tényező, megmutatja, hogy 1 fok hőmérséklet növekedés hatására milyen arányban nyúlik meg a test hossza.

<math> \Delta L = L_0\alpha\Delta T \ </math>

Az anyagok melegedése során a molekuláris mozgás egyre hevesebb. Szilárd testben a szomszédos atomok közt működő erők potenciális energia-függvény segítségével adhatók meg. Hőm. növekedésével egyre nagyobb potenciális energiára tesznek szert az atomok. De a potenciális energia görbe nem szimmetrikus, azaz nagyobb távolságban kisebb erő húzza vissza az atomot, mint ami a közelben ellőki. Tehát több időt tölt magyobb távolságban, így átlagban tágulni fog a test. (Ha szimmetrikusan rezegne tovább, csak nagyobb amplitúdóval, attól még átlagosan ugyan annyi maradna.)

A lineáris hőtágulási együttható csak egy adott irányba néztük a tágulást. Valójában természetesen minden irányban történik tágulás, így szügség van egy térfogati hőtágulási együtthatóra, amely a térfogat növekedésének arányát mutatja meg:

<math> \Delta V = V_0\beta\Delta T \ </math>

<math> \beta\approx 3\alpha </math>

<math> \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \alpha A \Delta T </math>

A hőáramlási tényezőben minden olyan változót foglaluk össze, ami a hőáramlást befolyásolhatja (pl felület alakja, orientációja, közeg sőrősége, viszkozitása, hővezetőképessége, fajhője, hőtágulási együtthatója)

<math> \frac{\Delta Q}{\Delta t} = e\sigma A T^4 </math>

A Kelvin skála az abszolút hőmérsékleti skála. Sokkal természetesebb megközelítés, mint a Celsius. Miután matematikailag  bizonyításra került, hogy kb. -273,15 Celsius foknál hidegebb nem lehet semmi, kézen fekvő volt egy olyan skála bevezetése, amin a 0 fok az abszolút nulla, azaz ami alá ténylegesen nem mehet a hőmérséklet. Azért a Celsius skála beosztását megtartották, egész egyszerűen eltolták -273,15 fokkal a nullát.

Hivatalosan a Kelvin skála egy beosztása a víz hármaspontjának az 1/273,16od része, ami gyakorlatilag a Celsius skála beosztása :)

==XX. Fejezet==

pV = nRT

<math> \approx 6*10^{23} </math>  db részecske.  

Egy mól: Bármely anyagból az a mennyiség, ami ugyanannyi elemi részecskét tartalmaz, mint ahány atom található 0,012 kg 12-es C izotrópban.

# A gáz nagyszámú azonos tömegpontból áll

# A részecskék különböző sebességű, véletlen szerű mozgást végeznek, tökéletesen rugalmasan ütköznek egymással és a fallal  

# Az ütközések során semmilyen más erő nem hat, csak ütközés kölcsönhatásából származó, valamint az ütközés elhanyagolható ideig tart

<math> \frac{3}{2}kT = \frac{1}{2}m \overline{v}^2 </math>

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:MaxwellBoltzmann-en.svg

http://web.mit.edu/16.unified/www/FALL/thermodynamics/notes/fig6VaporDomePV_web.jpg

A kritikus pont felett nem lehet különbséget tenni a folyadék és a gőz állapot között, mivel e pontban a gőz sűrűsége eléri a vele egyensúlyban lévő folyadékfázis sűrűségét.

Ahol a három szín találkozik az a hármas pont :)

http://www.rfcafe.com/references/general/images/p-t_rfcafe.gif

A parciális nyomás egy résznyomás, amit akkor fejtene ki a gázelegy adott B komponense, ha az egyedül töltené ki a rendelkezésre álló teljes térfogatot. A B komponens részesedése a rendszer össznyomásából. A komponensek parciális nyomásának összege adja a rendszer össznyomását (Dalton-törvény).

<math>D(v)\,dv = \left ( \frac {m}{2 \pi k T} \right) ^{3/2} 4 \pi v^2 e^{-mv^2/(2kT)}\, dv </math>

==XXI. Fejezet==

A termodinamikai rendszer az anyagi valóság egy, általunk kiválasztott szempont vagy szempontrendszer szerint elhatárolt része. Az elhatárolás történhet egy valóságos fallal vagy egy látszólagos, képzelt elhatároló felülettel.

Két rendszer mindegyike termikus egyensúlyban van egy harmadikkal akkor a két rendszer egymással is termikus egyensúlyban van.

Q pozitív, ha hőt közlünk a rendszerrel <br>

&#916;U pozitív, ha a belső energia növekszik (&#916;Eb = Uv-Uk, Uv>Uk) <br>

visszafordítható, visszafordíthatatlan

'''Irreverzibilisnek''' vagy meg '''nem fordíthatónak''' nevezünk egy olyan folyamatot , melynek lefolytatása után a rendszert eredeti állapotába nem tudjuk úgy visszavinni , hogy a rendszerben vagy környezetében ne jöjjön létre az eredeti állapothoz képest változás

Q = 0

V = áll -> W = 0, <math> \Delta E_b = Q = c_v m \Delta T = C_v n \Delta T </math>

p = áll -> W = p<math>\Delta V</math>, <math>\Delta E_b = Q-W = c_p m \Delta T - p\Delta V </math> <br />

<math> c_v m \Delta T = Q-W = c_p m \Delta T - p\Delta V </math> <br />

<math> C_p - C_v = R </math> (Rober Mayer egyenlet)

T = áll -> pV = áll; --> <math> p = nRT\frac{1}{V} </math> <br />

<math> W = \int_{v_1}^{v_2} p(V) dV = \int_{v_1}^{v_2} nRT\frac{1}{V} dV = nRT [lnV]_{v_1}^{v_2} </math><br />

<math> \displaystyle{W = nRT ln\frac{V_2}{V_1}} </math>

http://sciaga.onet.pl/_i/Fizykasciaga/adiabata_izoterma.jpg

Q = 0;   

<math> \Delta E_b = -W </math>

<math> Tp^{\frac{1-\kappa}{\kappa}} = all. </math>

Az energiatárolás független lehetőségeinek a számát.

Egyensúly esetén minden termodinamikai szabadságfokra azonos energia jut, részecskénként.  

<math> \frac{\varepsilon}{f}=\frac{1}{2}kT</math>

Hudson-Nelson 523.oldal

<math> C_v = 3R </math>

==XXII. Fejezet==

Lehetetlen olyan periódikusan működő gépet készíteni, ami 100%os hatásfokkal alakít át termikus energiát munkává

Lehetetlen olyan periodikusan működőgépet készíteni, ami termikus energiát a hideg testről forró testre visz át anélkül, hogy a környezet munkát végezne rajta.

vagy: a Hő spontán csak a melegebről megy a hideg felé.

http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/Images/carnot.gif

Q2 a betáplált hőmérséklet, Q1 pedig amit  működése során kényszerszerűen lead