„Analízis (MSc) típusfeladatok” változatai közötti eltérés

(6 közbenső módosítás, amit 2 másik szerkesztő végzett, nincs mutatva)

1. sor:

Az [[Analízis ~~I. (MSc) | Analízis I.~~ (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.

Az [[Analízis (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.

= Integrál trafók témakör =

129. sor:

* Amiből:

<math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math>

}}

<big>2)</big> <small>[2016V2]</small> Számítsuk ki az alábbi integrált: <math>\int_0^\infty \frac{\cos t-e^{-t}}{t} dt</math>

{{Rejtett

|mutatott=Megoldás:

|szöveg=

Laplace tulajdonságok miatt <math>\int_0^\infty \frac{f(t)}{t} dt = \int_0^\infty \mathcal{L}(f)(s) ds</math>.

Jelen esetben <math>f(t) = \cos t - e^{-t}</math>, számoljuk ki az integrált:

<math>\int_0^\infty \mathcal{L}(f) ds = \int_0^\infty \frac{s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} ds = \int_0^\infty \frac12 \frac{2s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} = </math>

<math>\left[ \frac12 \ln|s^2+1| - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \sqrt{|s^2+1|} - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \frac{\sqrt{|s^2+1|}}{|s+1} \right]_0^\infty = \ln 1 - \ln 1 = 0</math>

}}

184. sor:

200. sor:

<math> \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx </math>

Az egyenlet x szerinti Fourier ~~trafója tehát~~:

Vegyük az egyenlet x szerinti Fourier trafóját (a deriválás x-ben <math>i \cdot s</math>-el szorzás):

<math> -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0</math>

194. sor:

210. sor:

<math> \lambda^2 = s^2 </math>

Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó:

<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{sy} + c_2(s) e^{-sy} = 0</math>

<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{|s|y} + c_2(s) e^{-|s|y} = 0</math>

Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>.

204. sor:

220. sor:

Tehát:

A kezdeti feltétel Fourier trafója:

215. sor:

231. sor:

Vagyis:

<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-sy}</math>

<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-|s|y}</math>

<math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját:

<math> \hat{u}(s, y) = \mathcal{F}(1) \cdot e^{-|s|y}</math>

<math> u(x, y) = 1 * \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y})</math>

<math> \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{x^2 + y^2}</math>

<math> u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>

<math> u(x, y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>

<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi</math>

Vezessük be a <math>z = \frac{\xi}{y},~d\xi = y dz</math> változót:

<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2 + 1} ydz</math>

<math> u(x, y) = \frac{y}{y \pi} \left[arctg z \right]_{-\infty}^{\infty}</math>

<math> u(x, y) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{\pi} = 1</math>

}}

697. sor:

733. sor:

<math>|g'(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|</math>

<math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt(1 + e^5 + e^{-5})} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math>

<math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt{1 + e^5 + e^{-5}}} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math>

Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
-Az [[Analízis I. (MSc) | Analízis I. (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.
+Az [[Analízis (MSc)]] tárgyban a ZH-kon és vizsgákon tipikusan előforduló számolós feladatok és megoldásaik. Emelett még az elméletet is érdemes átnézni, a számonkérés 10-20%-a elmélet szokott lenni.
 = Integrál trafók témakör =
@@ 129. sor: / 129. sor: @@
 * Amiből:
 <math>lim_{s \to \infty}(f''(0+)) = f''(0+) = 0</math>
+}}
+<big>2)</big> <small>[2016V2]</small> Számítsuk ki az alábbi integrált: <math>\int_0^\infty \frac{\cos t-e^{-t}}{t} dt</math>
+{{Rejtett
+|mutatott=Megoldás:
+|szöveg=
+Laplace tulajdonságok miatt <math>\int_0^\infty \frac{f(t)}{t} dt = \int_0^\infty \mathcal{L}(f)(s) ds</math>.
+Jelen esetben <math>f(t) = \cos t - e^{-t}</math>, számoljuk ki az integrált:
+<math>\int_0^\infty \mathcal{L}(f) ds = \int_0^\infty \frac{s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} ds = \int_0^\infty \frac12 \frac{2s}{s^2+1} - \frac{1}{s+1} = </math>
+<math>\left[ \frac12 \ln|s^2+1| - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \sqrt{|s^2+1|} - \ln |s+1| \right]_0^\infty = \left[ \ln \frac{\sqrt{|s^2+1|}}{|s+1} \right]_0^\infty = \ln 1 - \ln 1 = 0</math>
 }}
@@ 184. sor: / 200. sor: @@
 <math> \hat{u}(s, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u(x, y) e^{-ixs} dx </math>
-Az egyenlet x szerinti Fourier trafója tehát:
+Vegyük az egyenlet x szerinti Fourier trafóját (a deriválás x-ben <math>i \cdot s</math>-el szorzás):
 <math> -s^2 \hat{u}(s,y) + \frac{\partial^2}{\partial y^2}\hat{u}(s, y) = 0</math>
@@ 194. sor: / 210. sor: @@
 <math> \lambda^2 = s^2 </math>
-<math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{sy} +  c_2(s) e^{-sy}</math>
+<math> \hat{u}_s(y) = c_1(s) e^{|s|y} +  c_2(s) e^{-|s|y}</math>
 Tudjuk, hogy ez a kifejezés <math>s \to \infty</math>-ben nullához tart, mert egy Fourier trafó:
-<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{sy} +  c_2(s) e^{-sy} = 0</math>
+<math>lim_{s \to \infty}c_1(s) e^{|s|y} +  c_2(s) e^{-|s|y} = 0</math>
 Ami, tekintve, hogy <math>y \geq 0</math>, csak akkor teljesülhet, ha <math>c_1(s) = 0</math>.
@@ 204. sor: / 220. sor: @@
 Tehát:
-<math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-sy}</math>
+<math> \hat{u}_s(y) = c_2(s) e^{-|s|y}</math>
 A kezdeti feltétel Fourier trafója:
@@ 215. sor: / 231. sor: @@
 Vagyis:
-<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-sy}</math>
+<math> \hat{u}(s, y) = \sqrt{2 \pi} \delta (s) e^{-|s|y}</math>
 <math>u(x, y)</math>-hoz vegyük ennek az x szerinti inverz Fourier trafóját:
+<math> \hat{u}(s, y) = \mathcal{F}(1) \cdot e^{-|s|y}</math>
+<math> u(x, y) = 1 * \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y})</math>
+<math> \mathcal{F}^{-1}(e^{-|s|y}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{x^2 + y^2}</math>
+<math> u(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{y}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>
+<math> u(x, y) = \frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\xi^2 + y^2} d\xi</math>
+<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(\frac{\xi}{y})^2 + 1} d\xi</math>
+Vezessük be a <math>z = \frac{\xi}{y},~d\xi = y dz</math> változót:
+<math> u(x, y) = \frac{1}{y \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{z^2 + 1} ydz</math>
+<math> u(x, y) = \frac{y}{y \pi} \left[arctg z \right]_{-\infty}^{\infty}</math>
+<math> u(x, y) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) \right) = \frac{\pi}{\pi} = 1</math>
 }}
@@ 697. sor: / 733. sor: @@
 <math>|g'(x)| = \left|(\sqrt{1 + coshx} - 2)'\right| = \left|\frac{sinhx}{2\sqrt{1 + coshx}}\right|</math>
-<math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt(1 + e^5 + e^{-5})} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math>
+<math>min_I|g'(x)| \geq \left|\frac{sinh4}{2\sqrt{1 + cosh5}}\right| = \frac{e^4 - e^{-4}}{2 \sqrt{1 + e^5 + e^{-5}}} \approx \frac{e^{1.5}}{2} \geq 1</math>
 Tehát a tartomány egyetlen pontjára se teljesül a konvergencia szükséges feltétele, azaz az iteráció nem konvergens.